2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高一下学期阶段性质量调研(开学考试)数学试题(解析版)

2022-2023学年江苏省常州市华罗庚中学高一下学期阶段性质量调研
（开学考试）数学试题
一、单选题
1．已知集合{}21|ln(23),|33x
A x y x x
B x ⎧⎫==-++=>⎨⎬⎩
⎭，则
B
A =（ ）
A ．()3,+∞
B ．[)3,+∞
C ．()(),13,-∞-⋃+∞
D ．(]
[),13,-∞-+∞
【答案】B
【分析】通过解不等式求得,A B ，结合补集的定义求解
B
A 即可.
【详解】由2230x x -++>，即2230x x --<，解得13x -<<，故{}|13A x x =-<<， 由133
x
>，即133x ->，解得1x >-，故{}|1B x x =>-，
所以[)3,B A =+∞． 故选：B ．
2．已知θ∈R ，则“tan 0θ>”是“点()sin ,cos θθ在第一象限内”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】结合三角函数的想先符号判断即可. 【详解】若tan 0θ>，则θ在第一或三象限， 则sin 0,cos 0θ
θ
或sin 0,cos 0θθ<<，则点()sin ,cos θθ在第一或三象限，
若点()sin ,cos θθ在第一象限， 则sin 0,cos 0θ
θ
，则tan 0θ>.
故“tan 0θ>”是“点()sin ,cos θθ在第一象限内”的必要不充分条件. 故选：B
3．已知函数(1),1()1,1e x f x x f x x +<⎧⎪
=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩，则(1ln 5)f -+的值为（ ）
A ．15
B ．5
C ．e 5
D ．5e
【答案】A
【分析】先判断1ln5-+的范围，然后根据解析式求解即可 【详解】因为2e 5e <<，所以1ln52<<， 所以01ln51<-+<，
所以()()()1
ln5
ln5111ln 51ln 51ln 5e e 5
f f f -⎛⎫
-+=-++====
⎪
⎝⎭， 故选：A
4．《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若图中所示的角为()
045αα<<，且小正方形与大正方形面积之比为1:25，则tan α的值为（ ）
A ．35
B ．34
C ．45
D ．
2425
【答案】B
【解析】设直角三角形较短的直角边长为a ，可得出较长直角边长为
tan a
α
，由此可计算出小正方形和大正方形的边长，进而可得出关于α的三角等式，进而可解得tan α的值. 【详解】设直角三角形较短的直角边长为a ，则较长直角边长为
tan a
α
， 所以，小正方形的边长为11tan a α⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，大正方形的边长为sin a α，
由于小正方形与大正方形面积之比为1:25，所以，111tan cos sin 5sin a a αααα⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
=-=，
由于045α<<，则cos sin 0αα>>，
由已知条件可得221cos sin 5cos sin 1cos sin 0
αααααα⎧
-=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，解得4cos 53sin 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，因此，sin 3tan cos 4ααα=
=. 故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用几何概型的概率公式求解角的正切值，解本题的关键在于将小正方形和大正方形的边长用α表示，并根据已知条件列出方程组求解.
5．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则
512f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．1-
【答案】C
【分析】根据最值可得A ，由零点和最小值点可得周期，进而得ω，代入点的坐标可得ϕ，所以得函数的解析式，从而可求解512f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
【详解】解：由图可知2A 741234T πππ=
-=，即T π=，所以22π
ωπ
==， 所以()()22f x x ϕ+，
因为函数()()22f x x ϕ+的图象过点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以sin 203πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭
，又2πϕ<，
所以3
π
ϕ=
，
所以()223f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
所以5722123652212f ππππ⎛
⎫⨯+== ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭
故选：C.
6．已知0a >且1a ≠，函数()()233,1
log ,1a
a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩，满足12x x ≠时，恒有
11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立，那么实数a 的取值范围（ ）
A ．(1,2)
B ．51,3⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．()1,+∞
D ．5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】D
【分析】由函数单调性的定义可得函数()f x 在R 上单调递增，结合分段函数、对数函数的单调性，列出不等式即可得解.
【详解】因为函数()f x 满足12x x ≠时，恒有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+成立， 即函数()f x 满足12x x ≠时，恒有()[]1212()()0x x f x f x -->成立，
所以函数()()233,1
log ,1a
a x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩在R 上单调递增，
所以()20
1233log 1
a a a a a ⎧->⎪>⎨⎪--+≤⎩
，解得5,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.
故选：D.
7．已知函数21()ln(1||)1f x x x =+-+在区间[)0,∞+上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的x
的取值
范围是（ ） A ．12,33⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．12,33⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】A
【分析】由函数奇偶性的定义判断()f x 的奇偶性，再由函数奇偶性与单调性将不等式转化为1
213
x -<，即可求解x 的取值范围.
【详解】解：函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-
+， 则()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，
因为()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，
所以1(|21|)3f x f ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，则1213x -<，
解得：12
33
x <<，
即满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是12,33⎛⎫
⎪⎝⎭
.
故选：A.
8．已知0x 是方程()e 2x
f x x =+-的零点（其中e 2.71828
=为自然对数的底数），下列说法错误的
是（ ） A ．()00,1x ∈
B ．()00ln 2x x -=
C ．0
20
e x x ->
D ．0
0e
0x x --<
【答案】C
【分析】根据给定条件确定0x 所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】函数()e 2x f x x =+-在R 上单调递增，而()0
0e 210f =-=-<
，1
2113
()e 20222
f =+-=>， 而0x 是方程()e 2x
f x x =+-的零点，则01(0,)2
x ∈，即()00,1x ∈，A 正确；
由()00f x =得：002e x
x -=，整理得：00)n(2l x x -=，B 正确；
因0102
x <<
，021x ->，则0201x
x -<，C 不正确； 因0102x <<，则有0
00
001e 12e 0e e x x x x x x ---=<<，D 正确. 故选：C
【点睛】思路点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且
()()·0f a f b <，有时还需结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)一起解决．
二、多选题
9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若
22
a b
c c >，则a b > C ．若a b >，则22a b > D ．若a b >，则22a b >
【答案】BC
【分析】取特殊值可判断AD ，利用不等式性质判断B ，根据指数函数的单调性判断C. 【详解】对于A ，0c 时，22ac bc >不成立，故A 错误； 对于B ，由不等式性质知，
22a b
c c
>两边同时乘以20c >，可得a b >，故B 正确； 对于C ，因为2x y =为R 上的单调增函数，所以a b >可得22a b >，故C 正确； 对于D ，取1,2a b =-=-，可知22a b >不正确，故D 错误. 故选：BC
10．为了得到函数cos 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只要把函数cos y x =图象上所有的点（ ）
A ．向左平移4π
个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍 B ．向左平移4
π个单位长度，再将横坐标变为原来的1
2倍
C ．横坐标变为原来的1
2倍，再向左平移8
π个单位长度
D ．横坐标变为原来的1
2倍，再向左平移4
π个单位长度
【答案】BC
【解析】由题意利用三角函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】要得到函数cos 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
可将y ＝cos x 的图象上所有点向左平移
4
π
个单位长度， 然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，纵坐标不变而得到．
也可将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，纵坐标不变， 然后将所得图象上所有点向左平移8
π
个单位长度而得． 故选：BC ．
【点睛】易错点：y ＝A cos(ωx +φ)(ω>0)的图像是由y ＝A cos(ωx )(ω>0）向左平移φ
ω
个单位长度而得的,而不是向左平移ϕ个单位长度.
11．已知函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，下述正确的是（ ）
A ．函数12y f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭为偶函数
B ．函数()y f x =的最小正周期为π
C ．函数()y f x = 在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1
D ．函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
【答案】ACD
【分析】对于A ，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；
对于B ，由函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的周期，求得函数()y f x =的最小正周期；
对于C ，由已知求得52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质可求得函数()y f x = 在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上的最大值； 对于D ，由+22+22
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤-
≤
，求解即可得函数()y f x =的单调递增区间.
【详解】解：因为()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以
对于A ，2sin 22cos 212231x x y f x πππ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭⎭⎢⎥⎝⎣⎦
，又()cos 2cos2x x -=，所以函数
12y f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭为偶函数，故A 正确；
对于B ，函数()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为
22ππ=，所以函数()y f x =的最小正周期为2π，故B 不正确；
对于C ，当,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，所以
[]2sin 22,13x π⎛
⎫-∈- ⎪⎝
⎭，
所以函数()y f x = 在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，故C 正确；
对于D ，令+22+2232k x k πππππ-≤-≤，解得51212
+k x +k ππ
-π≤≤π，所以函数()y f x =的单调递增
区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦，故D 正确，
故选：ACD.
12．已知函数2()1f x x mx =+-，则下列说法中正确的是（ ） A ．若12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，且
21
12
3x x x x +=，则5m =± B ．若方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，则实数m 的取值范围是5(,2]2
-- C ．若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则实数m 的取值范围是(2,2)- D ．若[],1x m m ∀∈+，()0f x <，则实数m
的取值范围是(
【答案】ABD
【分析】对于A ，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B ，结合二次方程的实根分布可求；对于C ，由已知不等式分离参数可得1
m x x
<+，然后结合基本不等式可求；对于D ，由已知结合二
次函数的性质可求.
【详解】对于A ，因为12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，即12,x x 是方程250x mx ++=的两实数根，
所以满足1212
5x x m
x x +=-⎧⎨⋅=⎩，
因为222112121212()2()25
35
x x x x x x m x x x x +---⨯+=
==，
则5m =±，此时2450m ∆=-⨯>，故A 正确；
对于B ，因为方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，即方程210x mx ++=的两实数根都在(0,2)， 所以需满足222022400010
2210
m m m m ⎧<-<⎪⎪⎪-⎨⎪+⋅+>⎪+⋅+>⎪⎩，可得5
22m -<-，故B 正确；
对于C ，因为(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则210x mx -+>， 即1m x x
<+，因为1
2x x +，则2m <，故C 错误； 对于D ，因为2()1f x x mx =+-图像开口向上， [x m ∀∈，1]m +，都有()0f x <，
所以()0
(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即22
210(1)(1)10m m m m ⎧-<⎨+-+-<⎩，
解得0m <<， 故D 正确. 故选：ABD.
三、填空题
13．已知幂函数()y f x =的图象过点(2,4)，则12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为___________.
【答案】1
4
##0.25
【分析】设幂函数为()(R)f x x α
α=∈，代入点(2,4)，求得()f x ，进而可求得结果. 【详解】设幂函数的解析式为()(R)f x x α
α=∈，
因为幂函数()y f x =的图象经过点(2,4)，可得24α=，解得2α=， 即()2
f x x =，所以1124
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.
故答案为：1
4
.
14．已知函数3()x f x a x -=+(0a >且1a ≠)的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin cos sin cos θθ
θθ
-=+_____________.
【答案】1
7
【分析】求出指数型函数f (x )经过的定点A ，根据三角函数的定义即可求出式子的值. 【详解】令303x x -=⇒=，则()3134f =+=， 故()3,4A ，∵A 在θ的终边上，∴4tan 3
θ=
， ∴
41
sin cos tan 11
34sin cos tan 17
13θθθθθθ---===+++. 故答案为：1
7
.
15．已知正实数a ，b 满足1a b +=，则121a
a b ++的最小值为___________.
【答案】5
2
##2.5
【分析】将目标式转化为14
21
a b +-+，应用柯西不等式求141a b ++的取值范围，进而可得目标式的
最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设，1a b =-，则1212214
21
11a
b a b a b a b -+
=+=+-+++，
又
2
14(1)()91a b a b +++==+， ∴
14912
a b +≥+，当且仅当12b a +=时等号成立，
∴12952122a a b +
≥-=+，当且仅当12
23b a +==时等号成立. ∴
121
a a
b ++的最小值为52.
故答案为：5
2
.
16．设函数()1
421x x f x +=-+-，()()2lg 41g x ax x =-+，若对1x ∀∈R ，都2x ∃∈R ，使得()()12f x g x =，
则实数a 的最大值为______． 【答案】4
【分析】根据恒能成立的思想可知()f x 的值域是()g x 值域的子集，令2x t =，结合二次函数性质可求得()f x 的值域为(],0-∞，由对数型复合函数值域的求法可知若241y ax x =-+的值域为B ，则
(]0,1B ⊆；分别在0a =、0a >和a<0的情况下，根据二次函数的性质构造不等式求得a 的范围，进
而确定最大值.
【详解】对1x ∀∈R ，都2x ∃∈R ，使得()()12f x g x =，f x 的值域是()g x 值域的子集；
令2x t =，则0t >，令()()2
2211h t t t t =-+-=--， ∴当1t =，即0x =时，()max 0=h t ，
f x 的值域为(],0-∞；
设()g x 的值域为A ，则(],0-∞⊆A ；
设241y ax x =-+的值域为B ，若(],0-∞⊆A ，则(]0,1B ⊆； 当0a =时，41y x =-+的值域B =R ，满足(]0,1B ⊆； 当0a >时，
241y ax x =-+的对称轴为42
02a a
--
=>，1640a ∴∆=-≥， 解得：4a ≤，04a ∴<≤； 当a<0时，
241y ax x =-+的最大值为
4164
114a a a
-=->，(]0,1B ∴⊆，满足题意； 综上所述：实数a 的取值范围为(],4∞-，则a 的最大值为4. 故答案为：4.
四、解答题
17．R U =，{}
2
560A x x x =-+<，非空集合{}
22B x a x a =<<+．
(1)1a =时，求
U
A B .
(2)若x B ∈是x A ∈的必要而不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(1,2]； (2)12a ≤≤或1a ≤-.
【分析】（1）先求出集合A 、B ，再求出
U
A ，根据交集运算即可；
（2）由题意可知A B ⊆，列出不等式组求解即可．
【详解】（1）对于集合A ，2560x x -+<⇔(2)(3)0x x --<，解得23x <<， 所以(2,3)A =，当1a =时，集合(1,3)B =， 因为
(,2][3,)U
A =-∞+∞，所以
(1,2]U
A B =；
（2）若x B ∈是x A ∈的必要条件，可知A B ⊆．
因为非空集合{}
2
2B x a x a =<<+，(2,3)A =，
故2223a a ≤⎧⎨+≥⎩
，解得： 12a ≤≤或1a ≤-， 故a 的取值范围为12a ≤≤或1a ≤-.
18．已知tan 3.θ=
(1)求2sin (sin 2cos )cos 1
θθθθ--的值； (2)求32sin (π)tan(3π)sin()
π3πcos()cos()22
θθθθθ+--+-的值． 【答案】(1)13
- (2)275
-
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可；
（2）利用诱导公式进行化简，然后由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可
【详解】（1）222sin (sin 2cos )sin 2sin cos cos 1sin θθθθθθθθ--=--2cos 221111;sin tan 33θθθ=-+=-+=-+=- （2）
332sin (π)tan(3π)sin()(2sin )(tan )(sin )π3π(sin )(sin )cos()cos()22
θθθθθθθθθθ+-----=--+-2222
2226sin 6tan 54272sin tan 6sin sin cos tan 1105
θθθθθθθθ=-=-=-=-=-=-++ 19．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭
的图象经过点π12⎛ ⎝，其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为π2
． (1)求出()f x 的解析式，并求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域； (2)求()f x 在[]0,π上的单调增区间．
【答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭；[]1,2-； (2)π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【分析】（1）根据函数()f x 最大值与最小值的差为4，求得A ，再由相邻两个零点之间的距离为π2
，求得ω，然后由函数()f x
的图象经过点π12⎛ ⎝，求得函数的解析式；利用正弦函数的性质求得值域；
（2）令πππ2π22π,Z 262
k x k k -+≤+≤+∈，结合[]0,πx ∈，利用正弦函数的性质求解． 【详解】（1）因为函数()f x 最大值与最小值的差为4，所以A ＝2， 又相邻两个零点之间的距离为π2
，所以πT =，所以2π2πω==，
所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数()f x 的图象经过点π12⎛ ⎝，
所以()π2sin 212f x ϕ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭sin 6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2π63k ϕ+=+或π2π2π63
k ϕ+=+，Z k ∈， 解得π2π6
k ϕ=+或π2π2k ϕ=+，Z k ∈， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域为[]1,2-. （2）令πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36
k x k k -+≤≤+∈， 因为[]0,πx ∈，所以π06x ≤≤或2ππ3x ，
所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3． 20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()12x f x a =-⋅．
(1)求a 的值；
(2)求()f x 在R 上的解析式；
(3)若函数()()2x g x f x k =-⋅有零点，求实数k 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)12,0()12,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩
(3)1k >-
【分析】（1）由()00f =求得a .
（2）根据()f x 的奇偶性求得()f x 的解析式.
（3）由()()20x g x f x k =⋅=-分离常数k ，利用构造函数法，结合函数的单调性以及指数函数、二次函数的性质求得k 的取值范围.
【详解】（1）由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
所以()001210,1f a a a =-⋅=-==.
（2）由（1）得()12(0)x f x x =-≥，当0x <时，0x ->，
所以()()()1212(0)x x f x f x x --=--=--=-+<，
所以12,0()12,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩
（3）函数()()2x g x f x k =-⋅有零点等价于方程()20x f x k -⋅=有根， 分离参数得()2x
f x k =，原问题等价于y k =与()2x f x y =的图象有公共点， 所以求k 的范围，即求函数()2x f x y =
的值域， 记()()2x f x h x =，即()
211,02()11,022x x x x h x x ⎧-≥⎪⎪=⎨-+<⎪⎪⎩， ①当0x ≥时，显然1()12x
h x =-在[0,)x ∈+∞上单调递减，所以11(1,0]2x -∈-， 所以0x ≥时，()(1,0]h x ∈-，
②当0x <时，令1(0)2x
t x =<，则(1,)t ∈+∞， 记2()t t t ϕ=-，(1,)t ∈+∞， 因为对称轴112
t =<，所以()t ϕ在(1,)t ∈+∞上单调递增， 所以()(1)110t ϕϕ>=-=，即()(0,)t ϕ∈+∞，
所以0x <时，()(0,)h x ∈+∞，
综上所述，()h x 的值域为(1,)-+∞，
所以当1k >-时，函数()()2x g x f x k =-⋅有零点．
21．已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-（0a >，1a ≠，R t ∈）．
(1)当2t =，[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值；
(2)当01a <<，[]1,2x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．
【答案】(1)a 的值为2；
(2)实数t 的取值范围是[1,)+∞．
【分析】（1）根据2t =得到()log (4)a F x x =，然后分01a <<和1a >两种情况列方程，解方程求a 即可；
（2）将()()f x g x ≥在[]1,2上恒成立转化为()min 22
t x -≤，然后根据复合函数()22
x x ϕ=的单调性得到()(1)1x ϕϕ≥=-，列不等式求t 的范围即可. 【详解】（1）当2t =时，2
4()2log (2)log log log (4)a a a a x F x x x x x
=-==．
若01a <<，则()()min 2log 82a F x F ===，解得a =
若1a >，则()()min 1log 42a F x F ===，解得2a =，
综合上述，所求2a =．
（2）由()()f x g x ≥得log 2log (22)a a x x t ≥+-22x t +-，22t x -≤，
令()22x x ϕ=t ⎡∈⎣，222y t t =--，
函数t =[]1,2上单调递增，函数222y t t =--在⎡⎣上单调递增，
所以函数()22x x ϕ=在[1,2]上是增函数，
所以()(1)1x ϕϕ≥=-，所以1t --≤，即1t ≥，
所以实数t 的取值范围为[)1,+∞．
22．已知()241f x x ax =-+，()log a g x x =，其中0a >且1a ≠．
(1)若x ∀∈R ，()0f x >，求实数a 的取值范围；
(2)用{}max ,a b 表示,a b 中的最大者，设()()(){}()max ,0h x f x g x x =>，讨论()h x 零点个数．
【答案】(1)()()0,11,4⋃
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次函数值域可知Δ0<，结合0a >且1a ≠可得结果；
（2）当01a <<或14a <<时，由（1）可知()h x 无零点；当4a =时，由()()()2
210h x f x x ≥=->，
结合411max 0,log 022h ⎛⎫⎧⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭可知()h x 恰有1个零点；当45a <<和5a ≥时，结合零点存在定理可确定()h x 的零点个数.
【详解】（1）对x ∀∈R ，()0f x >恒成立，2160a ∴∆=-<，解得：44a -<<，
又0a >且1a ≠，则实数a 的取值范围为()()0,11,4⋃.
（2）①若01a <<或14a <<，则由（1）知：()()0h x f x ≥>恒成立，此时()h x 无零点； ②若4a =，则当1
2x ≠时，()()()2
2441210h x f x x x x ≥=-+=->， 又41111max ,max 0,log 02222h f g ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩
⎭⎩⎭，()h x ∴恰有1个零点； ③若45a <<，则当()1,x ∈+∞时，()()0h x g x ≥>；
当()0,1x ∈时，()0g x <，又()010f =>，210816a a f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()150f a =->，f x 在区间()
0,1内恰有2个零点，则()h x 在区间()0,1内恰有2个零点；
又()()(){}{}1max 1,1max 5,050h f g a a ==-=->，()h x ∴恰有2个零点；
④若5a ≥，则当()1,x ∈+∞时，()()0h x g x ≥>；
当()0,1x ∈时，()0g x <，又()010f =>，210816a a f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()150f a =-≤，f x 在区间()
0,1内恰有1个零点，则()h x 在区间()0,1内恰有1个零点；
又()()(){}{}1max 1,1max 5,00h f g a ==-=，()h x ∴恰有2个零点．
综上所述：当()()0,11,4a ∈⋃时，()h x 的零点个数为0；当4a =时，()h x 的零点个数为1；当()
4,a ∈+∞时，()h x 的零点个数为2．
【点睛】思路点睛：本题考查含参数函数零点个数的讨论，解题的基本思路是根据二次函数和对数函数的单调性，通过对参数范围的讨论，结合零点存在定理确定零点的个数.。