2023-2024学年广东省广州大学附中高一(下)第三次月考数学试卷+答案解析

2023-2024学年广东省广州大学附中高一（下）第三次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，
，则()
A.
B.
C. D.
2.已知复数满足，则()
A.
B. C.
D.
3.某高校组织大学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，分别是“中华古诗词”“社会主义核心价值观”“科学实践观”“中国近代史”及“创新发展能力”．某参赛队从中任选2个版块作答，则“创新发展能力”版块被该队选中的概率为()
A.
B. C.
D.
4.已知平面向量，其中
，且
与
和
与
的夹角
相等，则()
A. B.1
C.
D.2
5.若，则()
A. B.
C.
D.6.已知的外接圆的圆心为O ，半径为1，，
在
上的投影向量为
，
则()
A.
B.
C.1
D.
7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为，则
估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A.
B.
C.
D.
8.已知三棱锥
的四个顶点在球O 的球面上，
，是边长为2的正三角形，
E ，
F 分别是PA ，AB 的中点，，则球O 的体积为()
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是()
A.数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B.为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本
C.用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D.若样本数据，，⋯，的平均数为2，则，，⋯，的平均数为8
10.已知函数，若函数
的部分图象如图所示，则关于函数，
下列结论正确的是()
A.函数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.函数在区间上的减区间为
D.函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
11.如图，在菱形ABCD中，，，将沿对角
线BD翻折到位置，则在翻折的过程中，下列说法正确的()
A.存在某个位置，使得
B.存在某个位置，使得
C.存在某个位置，使得P，B，C，D四点落在半径为的球面上
D.存在某个位置，使得点B到平面PDC的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.边长为1的正方形内有一内切圆，MN是内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的
长度最大时，的取值范围是______.
13.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为
，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为______.
14.在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱不含端点上的动点，过点A的平面与平面PBC平行．若平面与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.
16.本小题15分
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量单位：，其频率分布直方图如下：
记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.
17.本小题15分
如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，
，，E是的中点，F是平面与直线的交点．
证明，；
证明：平面；
求与平面所成的角的正弦值．
18.本小题17分
已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S是的面积，证明：；
若，且为锐角三角形，求的取值范围.
19.本小题17分
设a为实数，函数
若，求a的取值范围；
求的最小值；
设函数，，求不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意解，可得，
所以，，
则，
故选：
求出集合A，根据集合的并集运算，即可得答案．
本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．
2.【答案】B
【解析】解：
所以，
所以
故选：
先求出复数z，即可求出
本题主要考查复数模公式，共轭复数的定义，复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：从5个板块中任选2个版块作答共有种选法，
“创新发展能力”版块被该队选中共有种选法，
所以所求事件的概率为，
故选：
分别求出总的选取个数以及所求事件的选取个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意，
得，
由于与和与的夹角相等，故，
即，即
故选：
求出向量，根据题意与和与的夹角相等列出等式，化简可得答案．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求，进而求解．
【解答】
解：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以
故选：
6.【答案】B
【解析】解：，则O为BC中点，O又是外接圆圆心，
则为直角三角形，为在上的投影向量，
，
，
，
，
，，
，
的外接圆半径为1，，
，，
，
故选：
先根据条件得为直角三角形，再根据投影向量的公式可得，进而可得三角形中每个角的大小，再通过计算可得答案．
本题考查了向量的数量积，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：小时，该地区中学生每天睡眠时间的方差为：
故选：
根据方差的计算公式求得正确答案．
本题主要考查了分层随机抽样的定义，考查了方差公式，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三棱锥的外接球的体积．
先根据已知条件得到三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，三棱锥放到正方体中，则正方
体的棱长为，则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，由此得到球O的半径，进而求出体积.
【解答】
解：如图，
取AC中点G，连接PG，BG，
易证平面PBG，平面PBG，故，
又E，F分别是PA，AB的中点，故，
由，得，
故，而，
因此平面PAC，
所以，，
又因为，，是全等三角形，
所以三棱锥中PA，PB，PC两两垂直，
将三棱锥放到正方体中，如图，则正方体的棱长为，
则正方体的外接球即为三棱锥的外接球，
易求得正方体的体对角线长为，故球O半径，
则球O的体积，
故选
9.【答案】AD
【解析】解：A，因为，所以第60百分位数为第5个数是9，所以A正确；
B，由题意可知被抽取的200名学生的成绩是样本，所以B错误；
C，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是，所以C错误；D，若样本数据，，⋯，的平均数为2，则，，⋯，的平均数为，
所以D正确．
故选：
对于A，根据百分位数的定义计算判断，对于B，根据样本的定义分析判断，对于C，根据随机抽样的性质分析判断，对于D，根据平均数的性质分析判断．
本题考查了百分位数，概率，平均数的求解，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据函数的部分图象如图所示，函数的最大值为1，最小值为；
所以；
当时，，
故，故，
由于，
所以；
故函数，
对于A：当时，，故A正确；
对于B：当时，，故B正确；
对于C：当时，，由于函数的最小正周期为，故函数在区间上的减区间为，故C正确；
对于D：函数的图象可由函数向左平移个单位，得到
，故D错误．
故选：
首先利用函数的图象求出函数的关系式中的A，的值，进一步求出函数的关系式，最后利用函数的性质确定结果．
本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查空间几何体的线面关系，外接球的的判断，考查空间想象能力，转化思想，以及逻辑推理能力，是中档题．
A，判断菱形的对角线AC的长度，即可判断选项的正误；
B，当点P在平面BCD内的投影为的重心点Q时，可得平面，即可判断；
C，求出底面三角形的外接圆的半径，然后判断外接球的半径与外接球的半径的关系，即可判断C的正误；D，若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即，与是等边三角形矛盾．
【解答】
解：对于A，因为平面四边形ABCD的对角线，所以将沿对角线BD翻折到
位置，则在翻折的过程中，一定垂直一个位置，使得，所以A正确；
对于B，当点P在平面BCD内的投影为的重心点Q时，有平面BCD，，，又，BQ、平面PBQ，平面PBQ，
平面PBQ，，即选项B正确；
对于C，由对称性可知四面体的外接球的球心，在底面三角形BCD的中心的中垂线上，底面三角形的外接
圆半径为：，因为，所以一定存在四面体的外接球，取得半径为：，即C选项正确；
对于D，点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
若
B到平面PDC的距离为，则平面平面平面平面PCD，
则有DB平面PCD，即，与是等边三角形矛盾．即D选项错误.
故答案选：
12.【答案】
【解析】解：作图如下：
不妨设正方形ABCD的内切圆圆心为O，当弦MN的长度最大时，MN为圆O的一条直径，
则，当P为正方形ABCD的某边中点时，，即，
则
故答案为：
作图，易知MN为内切圆O的一条直径，转化可得，根据图形可得的范围，进而得解．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的概率乘法公式求出以上4个事件的概率，设事件A表示“星队”在两轮活动中猜对3
个成语”，则，再利用独立事件的概率乘法公式即可求出结果．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
【解答】
解：由题意，设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，
则，
，
，
，
设事件A表示“星队”在两轮活动中猜对3个成语”，
则，且与互斥，与，与分别相互独立，
，
即“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为，
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：过点A的平面与平面PBC平行．
若平面与平面
ABD，平面ACD的交线分别为m，n，由于平面平面PBC，平面平面，平面平面，
所以，，
所以或其补角即为m，n所成的平面角，
设正四棱锥ABCD的棱长为1，，，则，
在中，由余弦定理可得
，
同理可得，
故在中，由余弦定理可得，
，
由于，则，从而可得，当时取等号，
故的最小值为，
所以，
故的最大值为，
故答案为：
根据面面平行的性质可得，，进而得或其补角即为m，n所成的平面角，结合余弦定理即可求解余弦的最小值，即可求解正弦的最值．
本题主要考查了平面与平面平行的性质，异面直线所成角的求解，属于中档题．
15.【答案】
【解析】
16.【答案】解：由频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
，
所以事件A的概率估计值为；
由频率分布直方图可得，旧养殖法100个网箱的箱产量的平均数为：
，
新养殖法100个网箱的箱产量的平均数为：
，
因为，
所以新养殖法更加优于旧养殖法．
【解析】通过计算旧养殖法的箱产量低于50kg的频率来估计其概率；
利用平均数进行比较判断即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的定义，属于中档题．
17.【答案】证明：，平面，平
面，
又平面，平面平面，
，；
证明：平面，，
又，，
平面，面，
，
在矩形中，F是的中点，，
即，故
所以平面；
解：设与交点为H，
连接，由知平面，
所以是与平面所成的角．
在矩形中，，，得，
在中，，，
所以与平面所成的角的正弦值是
【解析】本题考查空间直线、平面位置故选的判定，线面角求解．考查空间想象能力、推理论证能力、转化、计算能力．属于中档题．
先由证明平面，再由线面平行的性质定理得出，证出
易通过证明平面得出，再由，即
，得出所以平面；
设与交点为H，连接，由知平面，所以是与平面所成的角．在中求解即可．
18.【答案】证明：因为，在中，可得，
而，
即，，所以，
再由余弦定理可得：，
即，
所以，所以，
有正弦定理可得：，
则，整理可得，整理可得：，
而A，B，，
则，
即；
解：由正弦定理可得：，且，
可得，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，
所以，则，
由，，所以，则，
且，
设，，
设，则，，
因为，，
所以，为减函数，
所以
【解析】由诱导公式，三角形面积公式代入后得，再结合余弦定理得，然后由正弦定理化边为角后，利用两角和与差的正弦公式化简变形可证；
由三角形是锐角三角形得出C的范围，由正弦定理用C角表示出c，从而求得c的取值范围，再由可用c表示出b，可把表示为c的函数，利用函数的单调性得范围．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，函数的单调性的应用，属于中档题．
19.【答案】解：若，则，
，
当时，，
，
如图所示：
当时，，
综上所述：
时，，
得，
当或时，，；
当时，，得：
即
进而分3类讨论：
①当时，，
此时不等式的解集为；
②当时，；
此时不等式的解集为；
③当时，此时，
此时不等式的解集为，
综上可得，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
【解析】本题考查了分段函数，二次函数的最值，含参一元二次不等式的解法，属于难题．
再去绝对值求a的取值范围，
分和两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
转化为，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分情况讨论求得对应解集即可．。