《师说》系列一轮复习(理科数学)空间直角坐标系与空间向量的运算(人教b版)
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分析 把一个向量用其它向量表示出来的能力，必须具备，注 意运算律．
证明
→ AC1
＝A→C＋C→C1
＝A→C＋A→A1
①
A→C1＝A→D1＋D→1C1＝A→D1＋A→B ②
①＋②得
→ 2AC1
＝A→C＋A→D1＋A→A1
＋A→B＝A→C＋A→D1＋A→B1
即A→C1＝12(A→C＋A→B1＋A→D1)
考点串串讲
1．空间直角坐标系 (1)在平面上画空间直角坐标系 O－xyz 时，一般使∠xOy＝ 135°，∠yOz＝90°. (2)一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直 线，那么就可以利用这三条直线分别作为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系． (3)在建立空间直角坐标系时，应注意点 O 的任意性，原点 O 的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点 的坐标为正值． (4)有了空间直角坐标系，我们就可以建立空间中的任意一点 P 与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系了． (5)空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的 y 坐标、z 坐标等于 0， 所以可记为(x,0,0)，同理，在 y 轴、z 轴上的点的坐标可分别记为(0， y,0)，(0,0，z)．
3．几个重要的定理 (1)由于任意两个向量都是共面向量，所以原有的平面向量有关定 理在空间依然成立(如共线向量定理等)． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与它们共 面的充要条件是存在实数对(x，y)使得 p＝xa＋yb.它的两个推论是：① 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 得M→P＝xM→A＋yM→B；或②对于空间任一点 O，有O→P＝O→M＋xM→A＋ → yMB. 若 x＋y＋z＝1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C 四点共面．故
6．夹角和距离公式
(1)夹角公式
设 a＝(a1，a2，a3)，ba，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
(2)距离公式
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．
则 dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
答案 B 解析 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点的 x 坐标是－1，故为(－ 1,0,0)；点 A(－1,2,1)在 xOy 平面上的投影点的 x、y 坐标不变且 z 坐标是 0，故为(－1,2,0)．故选 B.
题型二 两点间距离公式的应用 例 2 已知 A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值 时 A，B 两点的坐标，并求此时的|AB|. 分析 解答本题可由空间两点间的距离公式建立|AB|关于 x 的 函数，由函数的性质求 x，再确定坐标．
(6)空间直角坐标系中，在 xOy 平面上的点的 z 坐标等于 0，所 以可记为(x，y,0)，同理，在 xOz 平面、yOz 平面上的点的坐标可分 别记为(x,0，z)，(0，y，z)．
(7)一些常用对称点的坐标： ①P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―x―O―y对―称→P1(x，y，－z)； ②P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―y―O―z对―称→P2(－x，y，z)； ③P(x，y，z)―关―于―坐―标 ――平―面―zO―x―对―称→P3(x，－y，z)； ④P(x，y，z)――关―于―x―轴―对―称―→P4(x，－y，－z)； ⑤P(x，y，z)―――关―于―y―轴―对―称――→P5(－x，y，－z)； ⑥P(x，y，z)―― 关―于―z轴―对―称 ―→P6(－x，－y，z)； ⑦P(x，y，z)―关―于―原――点―对―称→P7(－x，－y，－z)．
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 可看成平面 ABC 的一个向量参数方程，其 x＋y＋z＝1，
中 x，y，z 为参数． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么空间
的任意一个向量 p 总能唯一地表示为 p＝xa＋yb＋zc 的形式．
4．两个向量的数量积 (1)数量积的定义 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (其中〈a，b〉为 a 与 b 的夹角，〈a，b〉∈[0，π]) (2)数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中 e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a2＝a·a＝|a|2. 性质①可用来求角；性质②可用来证明线线垂直；性质③可用
(1)试用 a、b、c 表示M→N； (2)求证：MN∥平面 ABB1A1. 分析 (1)本题考查向量的加减法，其关键是利用M→N＝A→1N－ A→1M，A→1M＝12A→1D，A→1N＝12A→1C1等关系，将M→N用 a，b，c 表示出 来；(2)考查共面向量定理．
解析 (1)∵A→1D＝A→D－A→A1＝c－a， ∴A→1M＝12A→1D＝12(c－a)． 同理，A→1N＝12(b＋c)， ∴M→N＝A→1N－A→1M
因为|MA|＝ 3－02＋0－y2＋1－02＝ 10＋y2， |AB| ＝ 1－32＋0－02＋－3－12 ＝ 20 ， 所 以 10＋y2 ＝ 20，解得 y＝± 10. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 为等边三角形，点 M 的坐标为(0， 10，0)或(0，－ 10，0)．
题型三 空间向量的分解 例 3 在如图所示的平行六面体中，求证：A→C1＝12(A→C＋A→B1＋ A→D1)．
解析 由空间两点间的距离公式得|AB|＝
1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2
＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57.
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735， 此时 A(87，277，97)，B(1，272，67)． 点评 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间 两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点 的坐标.
点评 把向量逐步分解，向已知要求靠近，应充分利用向量运
算法则.
变式迁移 3 如图所示，已知正方体 ABCD—A′B′C′D′，点 E、F 分 别是上底面 A′C′和侧面 CD′的中心，求下列各题中 x、y 的值．
(1)AC→′＝x(A→B＋B→C＋CC→′)； (2)A→F＝A→D＋xA→B＋yA→ A′.
＝12(b＋c)－12(c－a) ＝12(b＋a)＝12a＋12b. (2)证明：∵A→B1＝A→A1＋A→B＝a＋b， ∴M→N＝12A→B1，即 MN∥AB1， ∵AB1⊂平面 ABB1A1，MN⊄平面 ABB1A1， ∴MN∥平面 ABB1A1.
变式迁移 4 (1)已知 a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)·m＋8n＋2yp，且 m、n、 p 三个向量不共面，若 a∥b，求实数 x、y 的值； (2)已知平行四边形 ABCD(如图所示)，从平面 AC 外一点 O 引 向量O→E＝kO→A，O→F＝kO→B，O→G＝kO→C，O→H＝kO→D.
轴上，所以可设 M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得 32＋－y2＋12＝
－12＋y2＋32，显然，此式对任意 y∈R 恒成立．这就是说 y 轴上 的所有点都满足|MA|＝|MB|.
(2)假设在 y 轴上存在点 M，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，y 轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝ |AB|就可以使得△MAB 是等边三角形．
解析 (1)A→B＋B→C＋CC→′＝A→C＋CC→′＝AC→′
∴x＝1. (2)A→F＝A→C＋C→F＝A→B＋A→D＋12(CC→′＋C→D) ＝A→B＋A→D＋12AA→′－12A→B ＝A→D＋12A→B＋12AA→′ 又A→F＝A→D＋xA→B＋yAA→′
∴x＝y＝12.
题型四 共线向量问题 例 4 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，A→A1＝a，A→B＝b， A→D＝c，点 M、N 分别是 A1D、B1D1 的中点．
题型五 夹角问题
例 5 已知，E 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 C1D1 中点，试求
向量A→1C1与D→E所成的角．
分析
利用数量积定义，求出A→1C1·D→E及
|A→1C1|和
→ |DE
|，
求出所
成角的余弦值．
解析 设正方体的棱长为 a，
A→B＝a，A→D ＝ b，A→A1 ＝ c. 且 |a|＝ |b|＝ |c|，
解析 要清楚空间直角坐标系中三个坐标平面以及三条坐标轴 上点的特征．
答案 C
变式迁移 1 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐 标分别为( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
(8)平面上的两点之间的线段的中点坐标公式可以推广到空间， 即若两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则其中点坐标为(x1＋2 x2，y1＋2 y2， z1＋2 z2)．
2．空间向量及其加减与数乘运算 (1)空间向量的概念 空间向量同平面向量一样，我们把具有大小和方向的量叫做向 量，仍用有向线段表示向量，同向且等长的有向线段表示同一个向 量或相等向量，空间任意两个向量都可以转化为平面向量． (2)空间向量的运算 空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律与平面向量基本相 同，向量的加法满足交换律、结合律和数乘的分配律． 向量的加法常用平行四边形法则，向量的减法常用三角形法则． 特别地O→An＝O→A1＋A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An. (3)空间向量的加法、减法与数乘运算、运算律． ①加法交换律：a＋b＝b＋a. ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
典 例对 对 碰
题型一 坐标轴及坐标平面内点的特征 例 1 有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在 Ox 轴上的点的坐标一定可记为(0， b,0)； ②在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可记为 (0，b，c)； ③在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标一定可记为 (0,0，c)； ④在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标一定可记为 (a,0，c)． 其中正确叙述的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
来求线段的长．
(3)数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
5．空间向量的直角坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； ②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； ③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)； ④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； ⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； ⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ⑦设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则 A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2 －z1)．
求证：①E、F、G、H 四点共面． ②平面 EG∥平面 AC.
解析 (1)由已知 b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝λ(3m－2n－4p)， ∴x＋3 1＝－82＝－2y4，∴x＝－13，y＝8. (2)①证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以A→C＝A→B＋A→D. E→G＝O→G－O→E ＝kO→C－kO→A ＝kA→C＝k(A→B＋A→D) ＝k(O→B－O→A＋O→D－O→A) ＝O→F－O→E＋O→H－O→E ＝E→F＋E→H. 所以 E、F、G、H 四点共面．
变式迁移 2 在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,1)和 B(1,0，－3)，试问： (1)在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|＝|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在， 试求出点 M 的坐标．
解析 (1)假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|＝|MB|.因为 M 在 y
证明
→ AC1
＝A→C＋C→C1
＝A→C＋A→A1
①
A→C1＝A→D1＋D→1C1＝A→D1＋A→B ②
①＋②得
→ 2AC1
＝A→C＋A→D1＋A→A1
＋A→B＝A→C＋A→D1＋A→B1
即A→C1＝12(A→C＋A→B1＋A→D1)
考点串串讲
1．空间直角坐标系 (1)在平面上画空间直角坐标系 O－xyz 时，一般使∠xOy＝ 135°，∠yOz＝90°. (2)一般地，在所给几何图形中，如果出现了三条两两垂直的直 线，那么就可以利用这三条直线分别作为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系． (3)在建立空间直角坐标系时，应注意点 O 的任意性，原点 O 的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能使点 的坐标为正值． (4)有了空间直角坐标系，我们就可以建立空间中的任意一点 P 与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系了． (5)空间直角坐标系中，在 x 轴上的点的 y 坐标、z 坐标等于 0， 所以可记为(x,0,0)，同理，在 y 轴、z 轴上的点的坐标可分别记为(0， y,0)，(0,0，z)．
3．几个重要的定理 (1)由于任意两个向量都是共面向量，所以原有的平面向量有关定 理在空间依然成立(如共线向量定理等)． (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与它们共 面的充要条件是存在实数对(x，y)使得 p＝xa＋yb.它的两个推论是：① 空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使 得M→P＝xM→A＋yM→B；或②对于空间任一点 O，有O→P＝O→M＋xM→A＋ → yMB. 若 x＋y＋z＝1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C 四点共面．故
6．夹角和距离公式
(1)夹角公式
设 a＝(a1，a2，a3)，ba，b〉＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b23
(2)距离公式
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．
则 dAB＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
答案 B 解析 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点的 x 坐标是－1，故为(－ 1,0,0)；点 A(－1,2,1)在 xOy 平面上的投影点的 x、y 坐标不变且 z 坐标是 0，故为(－1,2,0)．故选 B.
题型二 两点间距离公式的应用 例 2 已知 A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，求|AB|取最小值 时 A，B 两点的坐标，并求此时的|AB|. 分析 解答本题可由空间两点间的距离公式建立|AB|关于 x 的 函数，由函数的性质求 x，再确定坐标．
(6)空间直角坐标系中，在 xOy 平面上的点的 z 坐标等于 0，所 以可记为(x，y,0)，同理，在 xOz 平面、yOz 平面上的点的坐标可分 别记为(x,0，z)，(0，y，z)．
(7)一些常用对称点的坐标： ①P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―x―O―y对―称→P1(x，y，－z)； ②P(x，y，z)―关―于―坐―标―平―面―y―O―z对―称→P2(－x，y，z)； ③P(x，y，z)―关―于―坐―标 ――平―面―zO―x―对―称→P3(x，－y，z)； ④P(x，y，z)――关―于―x―轴―对―称―→P4(x，－y，－z)； ⑤P(x，y，z)―――关―于―y―轴―对―称――→P5(－x，y，－z)； ⑥P(x，y，z)―― 关―于―z轴―对―称 ―→P6(－x，－y，z)； ⑦P(x，y，z)―关―于―原――点―对―称→P7(－x，－y，－z)．
O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C， 可看成平面 ABC 的一个向量参数方程，其 x＋y＋z＝1，
中 x，y，z 为参数． (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么空间
的任意一个向量 p 总能唯一地表示为 p＝xa＋yb＋zc 的形式．
4．两个向量的数量积 (1)数量积的定义 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 (其中〈a，b〉为 a 与 b 的夹角，〈a，b〉∈[0，π]) (2)数量积的性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中 e 为单位向量； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③a2＝a·a＝|a|2. 性质①可用来求角；性质②可用来证明线线垂直；性质③可用
(1)试用 a、b、c 表示M→N； (2)求证：MN∥平面 ABB1A1. 分析 (1)本题考查向量的加减法，其关键是利用M→N＝A→1N－ A→1M，A→1M＝12A→1D，A→1N＝12A→1C1等关系，将M→N用 a，b，c 表示出 来；(2)考查共面向量定理．
解析 (1)∵A→1D＝A→D－A→A1＝c－a， ∴A→1M＝12A→1D＝12(c－a)． 同理，A→1N＝12(b＋c)， ∴M→N＝A→1N－A→1M
因为|MA|＝ 3－02＋0－y2＋1－02＝ 10＋y2， |AB| ＝ 1－32＋0－02＋－3－12 ＝ 20 ， 所 以 10＋y2 ＝ 20，解得 y＝± 10. 故 y 轴上存在点 M 使△MAB 为等边三角形，点 M 的坐标为(0， 10，0)或(0，－ 10，0)．
题型三 空间向量的分解 例 3 在如图所示的平行六面体中，求证：A→C1＝12(A→C＋A→B1＋ A→D1)．
解析 由空间两点间的距离公式得|AB|＝
1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2
＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57.
当 x＝87时，|AB|有最小值 57＝ 735， 此时 A(87，277，97)，B(1，272，67)． 点评 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间 两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点 的坐标.
点评 把向量逐步分解，向已知要求靠近，应充分利用向量运
算法则.
变式迁移 3 如图所示，已知正方体 ABCD—A′B′C′D′，点 E、F 分 别是上底面 A′C′和侧面 CD′的中心，求下列各题中 x、y 的值．
(1)AC→′＝x(A→B＋B→C＋CC→′)； (2)A→F＝A→D＋xA→B＋yA→ A′.
＝12(b＋c)－12(c－a) ＝12(b＋a)＝12a＋12b. (2)证明：∵A→B1＝A→A1＋A→B＝a＋b， ∴M→N＝12A→B1，即 MN∥AB1， ∵AB1⊂平面 ABB1A1，MN⊄平面 ABB1A1， ∴MN∥平面 ABB1A1.
变式迁移 4 (1)已知 a＝3m－2n－4p≠0，b＝(x＋1)·m＋8n＋2yp，且 m、n、 p 三个向量不共面，若 a∥b，求实数 x、y 的值； (2)已知平行四边形 ABCD(如图所示)，从平面 AC 外一点 O 引 向量O→E＝kO→A，O→F＝kO→B，O→G＝kO→C，O→H＝kO→D.
轴上，所以可设 M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|，可得 32＋－y2＋12＝
－12＋y2＋32，显然，此式对任意 y∈R 恒成立．这就是说 y 轴上 的所有点都满足|MA|＝|MB|.
(2)假设在 y 轴上存在点 M，使△MAB 为等边三角形． 由(1)可知，y 轴上任一点都满足|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝ |AB|就可以使得△MAB 是等边三角形．
解析 (1)A→B＋B→C＋CC→′＝A→C＋CC→′＝AC→′
∴x＝1. (2)A→F＝A→C＋C→F＝A→B＋A→D＋12(CC→′＋C→D) ＝A→B＋A→D＋12AA→′－12A→B ＝A→D＋12A→B＋12AA→′ 又A→F＝A→D＋xA→B＋yAA→′
∴x＝y＝12.
题型四 共线向量问题 例 4 如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，A→A1＝a，A→B＝b， A→D＝c，点 M、N 分别是 A1D、B1D1 的中点．
题型五 夹角问题
例 5 已知，E 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 C1D1 中点，试求
向量A→1C1与D→E所成的角．
分析
利用数量积定义，求出A→1C1·D→E及
|A→1C1|和
→ |DE
|，
求出所
成角的余弦值．
解析 设正方体的棱长为 a，
A→B＝a，A→D ＝ b，A→A1 ＝ c. 且 |a|＝ |b|＝ |c|，
解析 要清楚空间直角坐标系中三个坐标平面以及三条坐标轴 上点的特征．
答案 C
变式迁移 1 点 A(－1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐 标分别为( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0) B．(－1,0,0)，(－1,2,0) C．(－1,0,0)，(－1,0,0) D．(－1,2,0)，(－1,2,0)
(8)平面上的两点之间的线段的中点坐标公式可以推广到空间， 即若两点 P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则其中点坐标为(x1＋2 x2，y1＋2 y2， z1＋2 z2)．
2．空间向量及其加减与数乘运算 (1)空间向量的概念 空间向量同平面向量一样，我们把具有大小和方向的量叫做向 量，仍用有向线段表示向量，同向且等长的有向线段表示同一个向 量或相等向量，空间任意两个向量都可以转化为平面向量． (2)空间向量的运算 空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律与平面向量基本相 同，向量的加法满足交换律、结合律和数乘的分配律． 向量的加法常用平行四边形法则，向量的减法常用三角形法则． 特别地O→An＝O→A1＋A→1A2＋A→2A3＋…＋An－1An. (3)空间向量的加法、减法与数乘运算、运算律． ①加法交换律：a＋b＝b＋a. ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． ③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.
典 例对 对 碰
题型一 坐标轴及坐标平面内点的特征 例 1 有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在 Ox 轴上的点的坐标一定可记为(0， b,0)； ②在空间直角坐标系中，在 yOz 平面上的点的坐标一定可记为 (0，b，c)； ③在空间直角坐标系中，在 Oz 轴上的点的坐标一定可记为 (0,0，c)； ④在空间直角坐标系中，在 xOz 平面上的点的坐标一定可记为 (a,0，c)． 其中正确叙述的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
来求线段的长．
(3)数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②a·b＝b·a(交换律)； ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
5．空间向量的直角坐标运算
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 ①a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)； ②a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)； ③λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)； ④a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； ⑤a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； ⑥a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ⑦设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)则 A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2，z2)－(x1，y1，z1)＝(x2－x1，y2－y1，z2 －z1)．
求证：①E、F、G、H 四点共面． ②平面 EG∥平面 AC.
解析 (1)由已知 b＝λa，即(x＋1)m＋8n＋2yp＝λ(3m－2n－4p)， ∴x＋3 1＝－82＝－2y4，∴x＝－13，y＝8. (2)①证明：因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以A→C＝A→B＋A→D. E→G＝O→G－O→E ＝kO→C－kO→A ＝kA→C＝k(A→B＋A→D) ＝k(O→B－O→A＋O→D－O→A) ＝O→F－O→E＋O→H－O→E ＝E→F＋E→H. 所以 E、F、G、H 四点共面．
变式迁移 2 在空间直角坐标系中，已知 A(3,0,1)和 B(1,0，－3)，试问： (1)在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|＝|MB|? (2)在 y 轴上是否存在点 M，使△MAB 为等边三角形？若存在， 试求出点 M 的坐标．
解析 (1)假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|＝|MB|.因为 M 在 y