2018学年高一数学人教A版必修一 课件 第一章 集合与函数概念 1.2.1 精品

[归纳升华] 1．判断一个对应关系是不是函数关系的方法 (1)A，B 必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在 B 中必须有并且是唯一 的实数和它对应． [注意] A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． 2．函数的定义中“任意一个 x”与“有唯一确定的 y”说明函数中两变量 x，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.
[归纳升华] 求函数值域的方法
求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过 配方转化为能直接看出其值域的方法； (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反 比例函数类”的形式，便于求值域； (4)换元法：对于一些无理函数(如 y＝ax±b± cx±d)，通过换元把它们转化 为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
3．求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝2xx－＋31； (4)y＝2x－ x－1.
解析： (1)(观察法)因为 x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域 为{2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由 x∈[0,3)，再结合函数的图象， 可得函数的值域为[2,6)．
2．函数的定义域与值域 函数 y＝f(x)中，x 叫__自__变__量___，_x_的__取__值___范__围___叫函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做__函__数__值___，函数值的集合_{f_(_x_)|_x_∈__A_}_叫做函数的值 域．显然，值域是集合 B 的_子__集___．
3．函数的定义域是使表达式有意义的自变量的取值集合，一般转化为解 不等式或不等式组的问题．
4．求函数的值域方法较多，常用的有配方法、换元法、分类讨论法和数 形结合法．在利用换元法时，注意新元的取值范围.
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求函数的定义域 多维探究型
求下列函数的定义域：
(1)y＝xx＋＋112－
1－x；(2)y＝
5－x |x|－3 .
解析： (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足1x－＋x1≥≠00，， 解得 x≤1 且 x≠－1，
即函数定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]． (2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足5|x－|－x3≥≠00，， 解得 x≤5， 且 x≠±3， 即函数定义域为(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]．
(3)(分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－ x－33＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0，所以 y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(换元法)设 t＝ x－1，则 t≥0 且 x＝t2＋1，所以 y＝2(t2＋1)－t＝2t－14
2＋15，由 8
t≥0，再结合函数的图象，可得函数的值域为185，＋∞.
[课堂小结] 1．集合表示法和区间表示法都是表示取值范围的方法．一般地，用哪种 方法表示取值范围应该与原题的表示方法保持一致，在没有明确的要求下，一 般选择比较简便的表示法. 2．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l； (2)在定义域内移动直线 l； (3)若 l 与图形有一个交点，则是函数，若有两个或两个以上的交点，则不 是函数．
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
数轴表示
2.实数集 R 的区间表示 实数集 R 可以用区间表示为_(_－__∞__，__＋__∞__)__， “∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”； “＋∞”读作“正无穷大”．
3．无穷大的几何表示 定义
符号 数轴表示
{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b)
[化解疑难] 对函数的理解 (1)符号 y＝f(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量，它 是对应法则所施加的对象；f 是对应法则；y 是自变量的函数，当 x 取某一具 体值时，相应的 y 值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号， 不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”． (2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 x＝a 时，函数 f(x)的值，是一个 常量，而 f(x)是自变量 x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是 f(x)的一 个特殊值.
解析： (1)A 中的元素 0 在 B 中没有对应元素， 故不是集合 A 到集合 B 的函数． (2)对于集合 A 中的任意一个整数 x，按照对应关系 f：x→y＝x2 在集合 B 中都有唯一一个确定的整数 x2 与其对应，故是集合 A 到集合 B 的函数． (3)集合 A 中的负整数没有平方根，在集合 B 中没有对应的元素，故不是 集合 A 到集合 B 的函数． (4)对于集合 A 中任意一个实数 x，按照对应关系 f：x→y＝0 在集合 B 中 都有唯一一个确定的数 0 和它对应，故是集合 A 到集合 B 的函数．
答案： C
3．函数 f(x)＝( x－1－2)0＋ x1－1的定义域是________． 解析： 要使函数有意义，需满足x－x－1>10－，2≠0， 即xx>≠15，， ∴函数的定义域是{x|x>1 且 x≠5}． 答案： {x|x>1且x≠5}
教案·课堂探究
函数的概念 自主练透型 判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数． (1)A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； (2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2； (3)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ x； (4)A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0.
D．f(x)＝x－2(x<－1)
解析： (1)①中，因为在集合 M 中当 1<x≤2 时，在 N 中无元素与之对应， 所以①不是；②中，对于集合 M 中的任意一个数 x，在 N 中都有唯一的数与之 对应，所以②是；③中，x＝2 对应元素 y＝3∉N，所以③不是；④中，当 x＝1 时，在 N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选 B.
(2)对于 A 项，函数 y＝f(m)与 y＝g(x)的定义域与对应关系均相同，故为相 等的函数；对于 B 项，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于 C 项， 两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于 D 项，两函数的定义域与 对应关系都不相同，故也不是相等的函数．
答案： (1)B (2)A
1．下列说法中，不正确的是( ) A．函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B．函数的定义域和值域一定是无限集合 C．定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 D．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
答案： B
2．下列图象中表示函数图象的是( )
解析： 作 x 轴的垂线，只有图象 C 与直线最多有一个交点，即为函数 图象，故选 C.
解析： (1)∵f(x)＝1＋1 x，∴f(2)＝1＋1 2＝13； 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. (2)f[g(2)]＝f(6)＝1＋1 6＝17. (3)f(x)＝x＋1 1的定义域为{x|x≠－1}， ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2，∴值域是[2，＋∞)．
函数相等 如果两个函数的___定__义__域__相__同___，并且__对__应__关__系__完__全__一__致___，就称这两 个函数相等．
区间的概念
1．区间的几何表示
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a<x<b}
开区间 (a，b)
{x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b)
x－1≠0， (3)函数有意义，当且仅当x＋2 1≥0，
x＋1≠0.
∴x>－1 且 x≠1.
∴函数的定义域为{x|x>－1 且 x≠1}．
求函数值和值域 多维探究型
已知 f(x)＝1＋1 x(x∈R，且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求 f(2)、g(2)的值； (2)求 f[g(2)]的值； (3)求 f(x)、g(x)的值域．
[归纳升华] 1．求函数定义域的常用方法 (1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零． (3)若 f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 2．第(1)题易出现 y＝x＋1－ 1－x，错求定义域{x|x≤1}，在求函数定义域 时，不能盲目对函数式变形.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝2＋x－3 2；
(2)y＝ 3－x· x－1；
(3)y＝(x－1)0＋
2 x＋1.
解析： (1)当且仅当 x－2≠0，即 x≠2 时，函数 y＝2＋x－3 2有意义，所 以这个函数的定义域为{x|x≠2}．
(2)函数有意义，当且仅当3x－ －x1≥ ≥00，. 解得 1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．
1．2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念
学案·新知自解
1．理解函数的概念，明确函数的三要素．(重点、难点) 2．能正确使用区间表示数集．(易混点)
函数的概念 1．函数的定义 设 A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的_____任__意__一__个__元__素__x____，在集合 B 中都有__唯__一__确__定__的__元__素__y___和它对 应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作___y_＝__f(_x_)__．
1．(1)设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)下列函数与函数 g(x)＝2x－1(x>2)相等的是( )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．f(m)＝2m－1(m>2)
B．f(x)＝2x－1(x∈R)
C．f(x)＝2x＋1(x>2)