高三5月内部特供卷 理科数学(一)教师版

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2018届高三5月份内部特供卷
高三理科数学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知复数2i
1i
z =+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．3 B ．2 C ．3
D ．2
【答案】D
2．已知集合{}2
20A x x x =∈-≥R ，{}2
210B x x x =∈--=R ，则()A B =R （ ）
A ．∅
B ．12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
C ．{}1
D ．1 12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
，
【答案】C
3．已知椭圆22
22:1y x E a b
+=（0a b >>）经过点(
)
5 0A
，，()0 3B ，
，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．2
3
B ．
53 C ．49
D ．59
【答案】A
4．已知111 2 3 23α⎧
⎫∈-⎨⎬⎩⎭
，，，，，
若()f x x α=为奇函数，且在()0 +∞，上单调递增，则实数α的值是（ ） A ．1-，3 B ．1
3，3
C ．1-，1
3，3
D ．1
3
，12，3
【答案】B
5．若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
6．已知()()*12n
x n -∈N 展开式中3x 的系数为80-，则展开式中所有项的二项式系数之和为（ ）
A ．64
B ．32
C ．1
D ．1-
【答案】B
7．已知非零实数a ，b 满足a a b b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．33a b > B ．22a b >
C ．
11
a b
< D ．112
2
log log a b <
【答案】A
8．运行如图所示的程序框图，若输出的s 值为10-，则判断框内的条件应该是（ ） A ．3?k <
B ．4?k <
C ．5?k <
D ．6?k <
【答案】C
9．若正项等比数列{}n a 满足()2*12n n n a a n +=∈N ，则65a a -的值是（ ） A ．2 B ．162-
C ．2
D ．162
【答案】D
10．如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有（ ）
A ．24
B ．48
C ．96
D ．120
【答案】C
11．我国古代《九章算术》将上下两面为平行矩形的六面体称为刍童．如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为（ ）
此
卷
只
装
订不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
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A ．125
B ．40
C ．16123+
D ．16125+【答案】D
12．已知函数()22f x x x a =---有零点1x ，2x ，函数()2(1)2g x x a x =-+-有零点3x ，4x ，且3142x x x x <<<，则实数a 的取值范围是（ ） A ．924⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
B ．9 04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
C ．()20-，
D ．()1 +∞，
【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．若实数x ，y 满足条件10
10330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =-的最大值为___________．
【答案】4
14．已知()
23OA =，，()0 2OB =，
，AC t AB =，t ∈R ，当OC 最小时，t =___________． 【答案】3
4
15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若45A =︒，2sin sin 2sin b B c C a A -=，且ABC △的面积等于3，则b =___________． 【答案】3
16．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，若数列{
}
n S n +也是公差为d 的等差数列，则
=n a ___________．
【答案】1n a =-或15
24
n a n =-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数()1π3sin cos cos 223f x x x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭．
（1）求函数()f x 图象的对称轴方程； （2）将函数()f x 图象向右平移
π4个单位，所得图象对应的函数为()g x ．当π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，求函数()g x 的值域． 【答案】（1）ππ
32k x =
+，k ∈Z ；（2）132⎡-⎢⎣⎦
，． 【解析】（1）()1π311π3cos cos 22cos 2sin 223426f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
令ππ2π62x k -
=+，k ∈Z ，解得ππ
32
k x =+
． ∴函数()f x 图象的对称轴方程为ππ
32
k x =+，k ∈Z ．…………………………5分 （2）易知()12πsin 223g x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
∵π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，∴2π2ππ2 333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，，∴2π3sin 213x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，，
∴()12π13sin 2232g x x ⎡⎛⎫
=-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦
，，
即当π0 2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()g x 的值域为132⎡-⎢⎣⎦
，．…………………………12分 18．（本小题满分12分）
2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行．4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家
口举行．为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名 收看 没收看 男生
60
20
女生 20 20
（1（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动．
（i ）问男、女学生各选取了多少人？
（ii ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X ，写出X 的分布列，并求()E X ． 附：()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++．
()20P K k ≥
0.10 0.05
0.025
0.01
0.005 0k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
【解析】（1）因为()2
2120602020207.5 6.63580408040
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关．………………………5分
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（2）（i ）根据分层抽样方法得，男生3
1294⨯=人，女生11234
⨯=人， 所以选取的12人中，男生有9人，女生有3人．………………………8分 （ii ）由题意可知，X 的可能取值有0，1，2，3．
()3093
312C C 840220C P X ===，()21
93312C C 1081220C P X ===， ()1293
312C C 272220C P X ===，()03
93312
C C 13220C P X ===， ∴X 的分布列是：
X 0 1 2 3
P
84220 108220 27220 1220
∴()8401232202202202204
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………12分
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，1
2
DE AC ∥＝，1AD BD ==．
（1）求AB 的长；
（2）已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．
E
D
C
B
A
【答案】（1）2；（2）
217
． 【解析】（1）∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC AB ⊥，∴AC ⊥平面ABD ． 又∵DE AC ∥
，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE BD ⊥． 注意到BD AE ⊥，且DE AE E =，∴BD ⊥平面ADE ，于是BD AD ⊥．
而1AD BD ==，∴2AB =．………………………5分 （2）∵AD BD =，取AB 的中点为O ，∴DO AB ⊥． 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ．
过O 作直线OY AC ∥，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．
记2AC a =，则12a ≤≤，2 0 0A ⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，2 0 0B ⎫⎪⎪⎝⎭，2 2 0C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，20 0D ⎛ ⎝⎭，，，20E a ⎛- ⎝⎭
，，， ()
2 0BC a =-，，，22 0BD ⎛=- ⎝⎭
，，． 令平面BCD 的一个法向量为()x y z =，，n ．
由00BC BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得220
220x ay ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩．令2x =，得122a =，，n ． 又∵()0 0DE a =-，
，，∴点E 到平面BCD 的距离2
||
14DE d a
⋅==+n
n ．
∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217
1
44
d +．………………………12分 20．（本小题满分12分）
已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，以抛物线上一动点M 为圆心的圆经过点F ．若圆M 的面积最小值为π． （1）求p 的值；
（2）当点M 的横坐标为1且位于第一象限时，过M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，且满足
AMF BMF ∠=∠．若直线AB 恰好与圆M 相切，求直线AB 的方程．
【答案】（1）2；（2）322y x =-+-
【解析】（1）由抛物线的性质知，当圆心M 位于抛物线的顶点时，圆M 的面积最小，
此时圆的半径为2p OF =，∴2ππ4
P =，解得2p =．……………………4分
（2）依题意得，点M 的坐标为()12，，圆M 的半径为2． 由()10F ，
知，MF x ⊥轴． 由AMF BMF ∠=∠知，弦MA ，MB 所在直线的倾斜角互补，∴0MA MB k k +=． 设MA k k =（0k ≠），则直线MA 的方程为()12y k x =-+，∴()1
21x y k
=
-+， 代入抛物线的方程得，()21421y y k ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
，∴24840y y k k -+-=，
∴42A y k +=
，4
2A y k
=-． 将k 换成k -，得4
2B y k
=--，
∴22
44
1444
A B A B AB A B A B A B y y y y k x x y y y y --=
====--+--．
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设直线AB 的方程为y x m =-+，即0x y m +-=． 由直线AB 与圆M
2=
，解得3m =±
经检验3m =+
3m =+舍去．
∴所求直线AB
的方程为3y x =-+-……………………12分 21．（本小题满分12分）
已知函数()21
e 2
x
f x x ax =--有两个极值点1x ，2x （e 为自然对数的底数）．
（1）求实数a 的取值范围； （2）求证：()()122f x f x +>．
【答案】（1）()1 +∞，；（2）见解析．
【解析】（1）∵()21
e 2
x f x x ax =--，∴()e x f x x a '=--． 设()e x
g x x a =--，则()e 1x
g x '=-．
令()e 10x
g x '=-=，解得0x =．
∴当() 0x ∈-∞，
时，()0g x '<；当()0x ∈+∞，时，()0g x '>． ∴()()min 01g x g a ==-．
当1a ≤时，()()0g x f x '=≥，∴函数()f x 单调递增，没有极值点；
当1a >时，()010g a =-<，且当x →-∞时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞． ∴当1a >时，()()e x
g x f x x a '==--有两个零点12x x ，．
不妨设12x x <，则120x x <<．
∴当函数()f x 有两个极值点时，a 的取值范围为()1 +∞，
．…………………5分 （2）由（1）知，1x ，2x 为()0g x =的两个实数根，120x x <<，()g x 在() 0-∞，
上单调递减． 下面先证120x x <-<，只需证()()210g x g x -<=．
∵()2
22e 0x g x x a =--=，得22e x a x =-，∴()222
222e e e 2x x x g x x a x ---=+-=-+．
设()e e 2x x h x x -=-+，0x >，
则()1
e 20e
x x h x '=--+<，∴()h x 在()0 +∞，
上单调递减， ∴()()00h x h <=，∴()()220h x g x =-<，∴120x x <-<．
∵函数()f x 在()1 0x ，
上单调递减，∴()()12f x f x >-． ∴要证()()122f x f x +>，只需证()()222f x f x -+>，即证2
2
2
2e e 20x x x -+-->．
设函数()2e e 2x x k x x -=+--，()0x ∈+∞，
，则()e e 2x x k x x -'=--． 设()()e e 2x x x k x x ϕ-'==--，则()e e 20x x x ϕ-'=+->，
∴()x ϕ在()0+∞，
上单调递增，∴()()00x ϕϕ>=，即()0k x '>． ∴()k x 在()0+∞，
上单调递增，∴()()00k x k >=． ∴当()0x ∈+∞，时，2e e 20x x x -+-->，则2
2
22e e 20x x x -+-->，
∴()()222f x f x -+>，∴()()122f x f x +>．………………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为11x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=⎪⎩
（t 为参数），圆C 的方程为 ()
()2
2
215x y -+-=．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l 及圆C 的极坐标方程；
（2）若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求cos AOB ∠的值． 【答案】（1）见解析；（2
【解析】（1）由直线l
的参数方程11x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪
=⎪⎩
得，其普通方程为2y x =+， ∴直线l 的极坐标方程为sin cos 2ρθρθ=+． 又∵圆C 的方程为()()2
2
215x y -+-=， 将cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
代入并化简得4cos 2sin ρθθ=+，
∴圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+．……………………5分 （2）将直线l ：sin cos 2ρθρθ=+，
与圆C ：4cos 2sin ρθθ=+联立，得()()4cos 2sin sin cos 2θθθθ+-=，
整理得2sin cos 3cos θθθ=，∴π
2
θ=或tan 3θ=． 不妨记点A 对应的极角为
π
2
，点B 对应的极角为θ，且tan =3θ．
于是π
cos cos sin 2AOB θθ⎛⎫
∠=-= ⎪⎝⎭．……………………10分
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-． （1）解不等式()1f x x ≤+；
（2）设函数()f x 的最小值为c ，实数a b ，满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22
111
a b a b +≥++．
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【答案】（1）[]1 5，；（2）见解析．
【解析】（1）()1f x x ≤+，即131x x x -+-≤+． ①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥． 又∵1x <，∴x ∈∅；
②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥． 又∵13x ≤≤，∴13x ≤≤．
③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤． 又∵3x >，∴35x <≤．
综上所得，13x ≤≤或35x <≤，即15x ≤≤．
∴原不等式的解集为[]1 5，
．…………………5分 （2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴2c =，即2a b +=．
令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，
()()22
222
111144
41112m n a b m n a b m n m n mn m n --+=+=+++-=≥=+++⎛⎫ ⎪⎝⎭
，当且仅当2m n ==时取等号， 原不等式得证．…………………10分
【安徽合肥2018届高三第三次质量检测理数试题用稿】。