人教A版高中数学选修1-1课时提升作业(四) 1.2.1 充分条件与必要条件 探究导学课型 Word版含答案

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课时提升作业(四)
充分条件与必要条件
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·宁波高二检测)已知a，b∈R，下列条件中，使a>b成立的必要条件是
( ) A.a>b-1 B.a>b+1
C.|a|>|b|
D.>
【解析】选A.a>b时，一定有a>b-1，因此a>b-1是a>b的必要条件.
【补偿训练】2x2-5x-3<0的一个必要条件是( )
A.-<x<3
B.-<x<0
C.-3<x<
D.-1<x<6
【解析】选D.解2x2-5x-3<0得，-<x<3，当x满足-<x<3时，必然满足-1<x<6，故选D.
2.命题p：(a+b)·(a-b)=0，q：a=b，则p是q的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选B.由命题p：(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出|a|=|b|，故p是q的必要不充分条件.
3.有以下说法，其中正确的个数为( )
(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(2)“tanA=tanB”是“A=B”的充分条件.
(3)“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.(1)由于“m是有理数”⇒“m是实数”，因此“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.(3)由于“x=3”⇒“x2-2x-3=0”，故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件.(2)不正确.
4.(2015·成都高二检测)已知α，β是两个不同的平面，则“平面α∥平面β”成立的一个充分条件是( )
A.存在一条直线l，l⊂α，l∥β
B.存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β
C.存在一条直线l，l⊥α，l⊥β
D.存在一个平面γ，γ∥α，γ⊥β
【解析】选C.A.存在一条直线l，l⊂α，l∥β，此时α，β可能相交.
B.若γ⊥α，γ⊥β，则α与β可能平行，可能相交.
C.存在一条直线l，l⊥α，l⊥β，则α∥β成立，反之不一定成立.满足条件.
D.若γ∥α，γ⊥β，则α⊥β，所以不满足条件.
5.(2015·广州高二检测)已知f(x)=x-x2，且a，b∈R，则“a>b>1”是“f(a)<f(b)”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.画出函数f(x)=x-x2的图象，如图所示：
由图象得：f(x)在上递减，
所以a>b>1时，f(a)<f(b)，是充分条件，反之不成立.
如f(0)=0<f=，不是必要条件.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.“b2=ac”是“a，b，c”成等比数列的__________条件.
【解析】由b2=ac⇒/a，b，c成等比数列，如b2=ac=0时不成立，但由a，b，c成等比数列⇒b2=ac，故“b2=ac”是“a，b，c”成等比数列的必要条件.
答案：必要
7.(2015·长春高二检测)若“x>a”是“x>2”的充分条件，则实数a的取值范围是__________. 【解析】由题意得{x|x>a}⊆{x|x>2}，所以a≥2.
答案：
8.“若a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题，则“c≤d”是“e≤f”的________条件. 【解析】因为“a≥b⇒c>d”为真，所以它的逆否命题“c≤d⇒a<b”也是真命题，又“a<b ⇒e≤f”也是真命题，所以“c≤d⇒a<b⇒e≤f”.故“c≤d”是
“e≤f”的充分条件.
答案：充分
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.设函数f(x)=lg(x2-x-2)的定义域为集合A，函数g(x)=的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x+p<0，且α是β的充分条件，求实数p的取值范围.
【解析】依题意，得
A={x|x2-x-2>0}=(-∞，-1)∪(2，+∞)，
B==(0，3]，
于是可解得A∩B=(2，3].
设集合C={x|2x+p<0}=.
由于α是β的充分条件，
所以A∩B⊆C.
则满足3<-⇒p<-6.
所以，实数p的取值范围是(-∞，-6).
10.(2015·烟台高二检测)有一个圆A，在其内又含有一个圆 B.请回答：命题：“若点在B 内，则点一定在A内”中，“点在B内”是“点在A内”的什么条件；“点在A内”又是“点在B内”的什么条件.
【解析】它的逆否命题是：若“点不在A内”，则“点一定不在B内”.
如图，因为“点不在A内⇒点一定不在B内”为真，所以“点在B内”
是“点在A内”的充分条件；“点在A内”是“点在B内”的必要条件.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2015·厦门高二检测)使|x|=x成立的一个必要条件是( )
A.x<0
B.x2≥-x
C.lo(x+1)>0
D.2x<1
【解析】选B.因为由|x|=x得x≥0，
所以选项A不正确，选项C，D均不符合题意.
对于选项B，因为由x2≥-x得x(x+1)≥0，
所以x≥0或x≤-1.
故选项B是使|x|=x成立的必要条件.
2.(2015·温州高二检测)已知集合A={x∈R|<2x<8}，B=，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m 的取值范围是( )
A.m≥2
B.m≤2
C.m>2
D.-2<m<2
【解析】选A.A=={x|-1<x<3}，
因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，
所以A⊆B，所以3≤m+1，即m≥2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ=”的__________________条件(填“充分”或“必要”).
【解题指南】先由f(x)是奇函数可以得到φ的取值，再由φ=判断f(x)是否为奇函数，最后再判断.
【解析】f(x)是奇函数⇒φ=+kπ，k∈Z；φ=⇒f(x)是奇函数，所以“f(x)是奇函数”是“φ=”的必要条件.
答案：必要
【补偿训练】“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的________条件(填“充分”或“必要”).
【解析】若m=，两直线斜率之积等于-1，得两条直线垂直；若两条直线垂直，可得(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0，解得m=-2或m=，故“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的充分条件.
答案：充分
4.(2015·衡水高二检测)已知p：(x-3)(x+1)>0，q：x2-2x+1-m2>0(m>0)，若p是q的必要条件，则实数m的取值范围是__.
【解析】p：x>3或x<-1，q：x>1+m或x<1-m，要使p是q的必要条件，则q⇒p，即有
⇒⇒m≥2.
答案：m≥2
【补偿训练】设p：-1≤4x-3≤1；q：(x-a)·(x-a-1)≤0，若p是q的充分条件，则实数a 的取值范围是____________.
【解析】p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1，
又p是q的充分条件，
所以所以0≤a≤.
答案：0≤a≤
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.分别判断下列“若p，则q”命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由.
(1)p：sinθ=0，q：θ=0.
(2)p：θ=π，q：tanθ=0.
(3)p：a是整数，q：a是自然数.
(4)p：a是素数，q：a不是偶数.
【解析】(1)由于p：sinθ=0⇐q：θ=0，p：sinθ=0⇒/q：θ=0，所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件.
(2)由于p：θ=π⇒q：tanθ=0，
p：θ=π⇐/ q：tanθ=0，
所以p是q的充分条件，p是q的不必要条件.
(3)由于p：a是整数⇒/ q：a是自然数，
p：a是整数⇐q：a是自然数，
所以p是q的必要条件，p是q的不充分条件.
(4)由于p：a是素数不能推出q：a不是偶数，而q：a不是偶数也不能推出p：a是素数. 所以p是q的不充分条件，p是q的不必要条件.
6.(2015·天津高二检测)已知p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0，且p是q的充分条件，求a的取值范围.
【解析】由x2-4ax+3a2<0且a<0得3a<x<a，
所以p：3a<x<a.
由x2-x-6≤0得-2≤x≤3，
由x2+2x-8>0得x<-4或x>2，
所以q：x<-4或x≥-2.
因为p是q的充分条件，
所以p⇒q，所以a≤-4或0>3a≥-2，
解得：a≤-4或-≤a<0，
所以a的取值范围是(-∞，-4]∪.
【补偿训练】已知全集U=R，非空集合A={x|(x-2)<0}，B={x|(x-a2-2)(x-a)<0}.p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
【解析】若q是p的必要条件，即p⇒q，可知A⊆B，
由a2+2>a，得B={x|a<x<a2+2}，
当3a+1>2，即a>时，A={x|2<x<3a+1}，
解得<a≤；
当3a+1=2，即a=时，A=∅，符合题意；
当3a+1<2，即a<时，A={x|3a+1<x<2}.
解得-≤a<；
综上，a∈.
【拓展延伸】充分条件和必要条件的应用
(1)若p是q的充分条件，则p⇒q，此时还可以得出q是p的必要条件；若p是q的必要条件，则q⇒p，此时还可以得出q是p的充分条件.
(2)充分条件在解题中，通常作为一个条件来使用，结合有关知识点进行运算、化简、推导.
(3)必要条件一般在解答题中不出现，需要判断必要条件时，通常是由结论推导出此条件.
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第一章章末总结
知识点一四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1 判断下列命题的真假．
(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题； (2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题； (3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．
知识点二 充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．
例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？
例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0. q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.
且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
知识点三 逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假． 利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一． 例4 判断下列命题的真假．
(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0； (2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.
例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝
⎛⎭⎫ax 2－x ＋1
16a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词． 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 例6 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)3＝2； (2)5>4；
(3)对任意实数x ，x >0； (4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.
(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．
(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3， ∴0≤|x －2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真． 否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.
例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52
<3. 故否命题为假．
(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题． 逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题． 否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．
例2 解 若a ＝－1，b ＝1
2，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，
故p ⇒q .若关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，
则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b . 于是0<－a <2,0<b <1，
即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .
所以，p 是q 的必要不充分条件．
例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0} ＝{x |x <－4或x ≥－2}．
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．
∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－4a <0或⎩⎪⎨⎪⎧
3a ≥－2a <0， 解得－2
3
≤a <0或a ≤－4.
故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－2
3，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；
(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0， ∴命题为假．
例5 解 p ：由ax 2－x ＋1
16
a >0恒成立得
⎩⎪⎨⎪⎧
a >0Δ＝1－4×a ×a 16
<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，
令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－1
2
，
∴t <1＋a ·t 2－1
2
，
∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．
∴2<a (t ＋1)，∴a >2
t ＋1
，∴a ≥1.
∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假． 若p 真q 假，a >2且a <1不存在．
若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2. 故a 的取值范围为1≤a ≤2. 例6 解 (1)3≠2，真命题； (2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题； (4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.
要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立， 只需m >－4即可．
故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4. (2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立， 只需m >f (x )min .
又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4. 所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。