2018-2019学年人教A版选修2-2 第一章 导数及其应用 小结与复习 学案

第一章导数及其应用--小结与复习
------------ 学 案
一、学习目标
1、进一步理导数的概念，掌握导数在研究函数单调性及极值和最值中的应用，完善学生对数的认识。

2、理解导数和定积分中体现的数学思想“以直代曲”； 二、自主学习 （1）.知识框图
（2）课前小测
1．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( ) A ．b ≤0 B ．b <2 C ．b ≥2 D ．b >2
答案 A
2．已知y ＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π
3处有极值，则( )
A ．a ＝－2
B ．a ＝2
C ．a ＝23
3
D ．a ＝0 答案 B
3．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( ) A ．－1 B ．0 C ．－239 D.3
3
答案 C
解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－3
3
(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：
所以当x ＝
33时，4.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )
答案 D
解析 应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图象．
5．若f (x )在(a ，b )内存在导数，则“f ′(x )<0”是“f (x )在(a ，b )内单调递减”的 条件． 答案 充分不必要
解析 对于导数存在的函数f (x )，若f ′(x )<0，则f (x )在区间(a ，b )内单调递减，反过来，函数f (x )在(a ，b )内单调递减，不一定恒有f ′(x )<0，如f (x )＝－x 3在R 上是单调递减的，但f ′(x )≤0. 三、合作探究
题型一 函数与其导函数之间的关系
例1 对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a n
n ＋1}的前n 项
和的公式是 ． 答案 2n ＋
1－2
解析 由k ＝y ′|x ＝2＝－2n －
1(n ＋2)，得切线方程为y ＋2n ＝－2n －
1(n ＋2)(x －2)，
令x ＝0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为y 0＝(n ＋1)2n ，所以a n
n ＋1＝2n ，
则数列{a n
n ＋1
}的前n 项和S n ＝
－2n 1－2
＝2n ＋
1－2.
反思与感悟 找切点，求斜率是求切线方程的关键．
跟踪训练1 如图，曲线y ＝f (x )上任一点P 的切线PQ 交x 轴于Q ，过P 作PT 垂直于x 轴于T ，若△PTQ
的面积为1
2
，则y 与y ′的关系满足( )
A ．y ＝y ′
B ．y ＝－y ′
C ．y ＝y ′2
D ．y 2＝y ′ 答案 D
解析 S △PTQ ＝12×y ×|QT |＝12，∴|QT |＝1y ，Q (x －1
y ，0)，根据导数的几何意义，
k PQ ＝
y －0
x －x －
1
y
＝y ′∴y 2＝y ′.故选D.
题型二 利用导数研究函数的单调性、极值、最值
例2 已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋48(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称． (1)求a ，b 的值；
(2)求f (x )的单调区间及极值； (3)当x ∈[1,5]时，求函数的最值．
解 ∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，
得－ax 3＋(a －1)x 2－48(a －2)x ＋b ＝－ax 3－(a －1)x 2－48(a －2)x －b ，
于是2(a －1)x ＋
2b ＝0恒成立，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1＝0
b ＝0，解得a ＝1，b ＝0；
(2)由(1)得f (x )＝x 3－48x ，∴f ′(x )＝3x 2－48＝3(x ＋4)(x －4)，
令f ′(x )＝0，得x 1＝－4，x 2＝4，令f ′(x )<0，得－4<x <4，令f ′(x )>0，得x <－4或x >4. ∴f (x )的递减区间为(－4,4)，递增区间为(－∞，－4)和(4，＋∞)， ∴f (x )极大＝f (－4)＝128，f (x )极小＝f (4)＝－128.
(3)由(2)知，函数在[1,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，对f (4)＝－128，f (1)＝－47，f (5)＝－115，所以函数的最大值为－47，最小值为－128.
小结 (1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f ′(x )>0得增区间，解f ′(x )<0得减区间． (2)求极值时一般需确定f ′(x )＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．
(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．
跟踪训练2 已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3.
(1)求a ，b 的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在[－1,1]的最值． 解 y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，
y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪
⎧
3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3
，a ＝－6，b ＝9.
(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ＝－18x 2＋18x ，令y ＝0，得x ＝0，或x ＝1， ∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.
(3)由(1)知，函数y ＝f (x )＝－6x 3＋9x 2，又f (－1)＝15，f (0)＝0，f (1)＝3， 所以函数的最大值为15，最小值为0.
题型三 导数的综合应用
例3 已知函数f (x )＝x 3－ax －1.
(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求a 的取值范围；
(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－a ，
因为f (x )在R 上是增函数，所以f ′(x )≥0在R 上恒成立． 即3x 2－a ≥0在R 上恒成立．即a ≤3x 2，而3x 2≥0，所以a ≤0. 当a ＝0时，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，符合题意． 所以a 的取值范围是(－∞，0]．
(2)假设存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，
则f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立．即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，即a ≥3x 2，
又因为在(－1,1)上，0≤3x 2<3，所以a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )＝3x 2－3，在(－1,1)上，f ′(x )<0， 所以f (x )在(－1,1)上单调递减，即a ＝3符合题意，
所以存在实数a ，使f (x )在(－1,1)上单调递减，且a 的取值范围是[3，＋∞)．
反思与感悟 在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f ′(x )能恒等于0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出的参数的取值范围来确定． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤－12，1
2，则实数a 的值是多少？ (2)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎡⎦⎤－12，1
2上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？ 解 (1)f ′(x )＝12x 2－a ，∵f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－12，1
2， ∴x ＝±1
2
为f ′(x )＝0的两个根，∴a ＝3.
(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎡⎦⎤－12，1
2上恒成立， 即12x 2－a ≥0在⎣⎡⎦
⎤－12，1
2上恒成立，
∴a ≤12x 2在⎣⎡⎦
⎤－12，1
2上恒成立，∴a ≤(12x 2)min ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立(只有x ＝0时f ′(x )＝0)．∴a ＝0符合题意． 若f (x )在⎣⎡⎦
⎤－12，1
2上为单调减函数， 则f ′(x )≤0在⎣⎡⎦⎤－12，12上恒成立，即12x 2－a ≤0在⎣⎡⎦⎤－12，1
2上恒成立， ∴a ≥12x 2在⎣⎡⎦
⎤－12，1
2上恒成立，∴a ≥(12x 2)max ＝3. 当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±1
2时f ′(x )＝0)．
因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3. 四、自主小测
1．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1
3，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，1
3 C.⎣⎡⎭
⎫1
3，＋∞ D.⎝
⎛⎦⎤－∞，13 2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )
3．设f (x )、g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( ) A ．f (x )g (x )>f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )>f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )
D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )
4．函数f (x )＝x 3－1
2x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1,2]，都有f (x )<m ，则实数m 的取值范围是 ．
参考答案 1答案 C
解析 若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，只需y ′＝3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即Δ＝4－12m ≤0， ∴m ≥13.
2答案 D
解析 若函数在给定区间上是增函数，则y ＝f ′(x )>0，若函数在给定区间上是减函数，则y ＝f ′(x )<0. 3答案 C
解析 由条件，得⎝⎛⎭⎫f x g x ′＝f
x g
x －f x g
x [g x 2
<0.
∴
f x
g x 在(a ，b )上是减函数．∴f b g b <f x g x <f a
g a
，∴f (x )g (b )>f (b )g (x )． 4答案 (7，＋∞)
解析 f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )＝0，得x ＝－2
3或x ＝1.
可判断求得f (x )max ＝f (2)＝7.∴f (x )<m 恒成立时，m >7.。