【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学文

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学文
一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)
1.(5分)已知集合A={0，1，2，3，4}，B={x||x|＜2}，则A∩B=( )
A. {0}
B. {0，1}
C. {0，2}
D. {0，1，2}
解析：由B中的不等式|x|＜2，解得：-2＜x＜2，即B=(-2，2)，
∵A={0，1，2，3，4}，∴A∩B={0，1}.
答案：B
2.(5分)复数的模长为( )
A.
B.
C.
D. 2
解析：复数，所以===.
答案：B.
3.(5分)已知点A(1，3)，B(4，-1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A.
B.
C.
D.
解析：∵已知点A(1，3)，B(4，-1)，∴=(4，-1)-(1，3)=(3，-4)，||==5，则与向量同方向的单位向量为=，
答案：A.
4.(5分)下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：
p1：数列{a n}是递增数列；
p2：数列{na n}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{a n+3nd}是递增数列；
其中真命题是( )
A. p1，p2
B. p3，p4
C. p2，p3
D. p1，p4
解析：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1-a n=d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题.
对于数列数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于 (n+1)a n+1-na n=(n+1)d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题.
对于数列，第n+1项与第n项的差等于-==，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题.
对于数列数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 a n+1+3(n+1)d-a n-3nd=4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题.
答案：D.
5.(5分)某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100).若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
解析：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50.
答案：B.
6.(5分)在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )
A.
B.
C.
解析：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=，
∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=.
答案：A
7.(5分)已知函数f(x)=ln-3x)+1，则f(lg2)+f=( )
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
解析：函数，
则=f(lg2)+f(-lg2)
=+
=+1+
=+
=2.
答案：D.
8.(5分)执行如图所示的程序框图，若输入n=8，则输出S=( )
A.
B.
C.
D.
解析：当i=2时，S=0+=，i=4；
当i=4时，S=+=，i=6；
当i=6时，S=+=，i=8；
当i=8时，S=+=，i=10；
不满足循环的条件i≤8，退出循环，输出S=.
答案：A.
9.(5分)已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)，若△OAB为直角三角形，则必有( )
A. b=a3
B.
C.
D.
解析：∵=(a，a3-b)，，=(a，a3)，且ab≠0.
①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；
②若，则=b(a3-b)=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；
③若，则=a2+a3(a3-b)=0，得1+a4-ab=0，即.
综上可知：△OAB为直角三角形，则必有.
答案：C.
10.(5分)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为( )
A.
B.
C.
D.
解析：因为三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，所以球的半径为：.
答案：C.
11.(5分)已知椭圆C：的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF，若|AB|=10，|AF|=6，，则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，在△AFB中，由余弦定理可得|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF，
∴，化为(|BF|-8)2=0，解得|BF|=8.
设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′.根据对称性可得四边形AFBF′是矩形.
∴|BF′|=6，|FF′|=10.∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5.∴.
答案：B.
12.(5分)已知函数f(x)满足f(x)=x2-2(a+2)x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设
H1(x)=max{f(x)，g(x)}，H2(x)=min{f(x)，g(x)}(max(p，q)表示p，q中的较大值，min(p，q)表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A-B=( )
A. a2-2a-16
B. a2+2a-16
C. -16
D. 16
解析：取a=-2，则f(x)=x2+4，g(x)=-x2-8x+4.画出它们的图象，如图所示.
则H1(x)的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2(x)的最大值为两图象左边交点的纵坐标，
由解得或，∴A=4，B=20，A-B=-16.
答案：C.
二、填空题
13.(5分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是.
解析：根据三视图可知，该几何体该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，
圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，
四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4.
故其体积为：22π×4-22×4=16π-16，
答案：16π-16.
14.(5分)已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和.若a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，则S6= .
解析：解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4.
因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4.
设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2.
则.
答案：63.
15.(5分)已知F为双曲线C：的左焦点，P，Q为C上的点，若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为44 .
解析：根据题意，双曲线C：的左焦点F(-5，0)，所以点A(5，0)是双曲线的右焦点，虚轴长为：8；双曲线图象如图：
|PF|-|AP|=2a=6①，|QF|-|QA|=2a=6②，而|PQ|=16，①+②得：|PF|+|QF|-|PQ|=12，∴周长为：|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44
答案：44.
16.(5分)为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为.
解析：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，
平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7；
方差s2=[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]÷5=4.
从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①
(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.②
若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：
(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；
若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10.
答案：10.
三、解答题
17.(12分)设向量，，.
(1)若，求x的值；
(2)设函数，求f(x)的最大值.
解析：(1)由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值.
(2)利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为sin(2x-
)+.结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值.
答案：(1)由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，
由，可得 4sin2x=1，即sin2x=.
∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=.
(2)∵函数=(sinx，sinx)·(cosx，sinx)=sinxcosx+sin2x=
sin2x+=sin(2x-)+.
x∈[0，]，∴2x-∈[-，]，
∴当2x-=，sin(2x-)+取得最大值为 1+=.
18.(12分)如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
解析：(1)由PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC，根据直线和平面垂直的判定定理可得结论.
(2)连接OG并延长交AC于点M，则由重心的性质可得M为AC的中点.利用三角形的中位线性质，证明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，从而证明QG∥平面PBC.
答案：(1)AB是圆O的直径，PA⊥圆所在的平面，可得PA⊥BC，
C是圆O上的点，由直径对的圆周角等于90°，可得BC⊥AC.
再由AC∩PA=A，利用直线和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC.
(2)若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，则由重心的性质可得M为AC的中点.
故OM是△ABC的中位线，QM是△PAC的中位线，故有OM∥BC，QM∥PC.
而OM和QM是平面OQM内的两条相交直线，AC和BC是平面PBC内的两条相交直线，故平面OQM∥平面PBC.又QG 平面OQM，∴QG∥平面PBC.
19.(12分)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答.
(1)所取的2道题都是甲类题的概率；
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
解析：(1)根据题意，设事件A为“都是甲类题”，由组合数原理，可得试验结果总数与A包含的基本事件数目，由古典概率公式计算可得答案，
(2)设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，分析可得是组合问题，由组合公式，可得从6件中抽取2道的情况数目与抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，由古典概率公式计算可得答案.
答案：(1)从中任取2道题解答，试验结果有=15种；
设事件A为“所取的2道题都是甲类题”，则包含的基本事件共有C=6种，因此P(A)= .
(2)设事件B为“所取的2道题不是同一类题”，从6件中抽取2道，有C62种情况，而抽出的2道是一个甲类题，一个乙类题的情况数目，有C41·C21=8种情况，
根据古典概型的计算，有P(B)=.
20.(12分)如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py(p＞0)，点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)，当x0=1-时，切线MA的斜率为-.
(Ⅰ)求P的值；
(Ⅱ)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O). 解析：(Ⅰ)利用导数的几何意义，先表示出切线方程，再由M在抛物线上及在直线上两个前提下，得到相应的方程，解出p值.
(Ⅱ)由题意，可先设出A，B两个端点的坐标及中点的坐标，再由中点坐标公式建立方程，直接求解出中点N的轨迹方程
答案：(Ⅰ)因为抛物线C1：x2=4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′=，且切线MA的斜率为-，所以A点的坐标为(-1，)，故切线MA的方程为y=-(x+1)+
因为点M(1-，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0=-(2-)+=-①，∴y0=-=-②，解得p=2
(Ⅱ)设N(x，y)，A(x1，)，B(x2，)，x1≠x2，由N为线段AB中点知x=
③，y==④，
切线MA，MB的方程为y=(x-x1)+，⑤；y=(x-x2)+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交点M(x0，y0)的坐标满足x0=，y0=，
因为点M(x0，y0)在C2上，即x02=-4y0，所以x1x2=-⑦，
由③④⑦得x2=y，x≠0.
当x1=x2时，A，B丙点重合于原点O，A，B中点N为O，坐标满足x2=y
因此中点N的轨迹方程为x2=y.
21.(12分)(1)证明：当x∈[0，1]时，；
(2)若不等式对x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围.
解析：(1)记F(x)=sinx-x，可求得F′(x)=cosx-，分x∈(0，)与x∈(，1)两类讨论，可证得当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥x；记H(x)=sinx-x，同理可证当x∈(0，1)时，sinx≤x，二者结合即可证得结论；
(2)利用(1)，可求得当x∈[0，1]时，ax+x2++2(x+2)cosx-4≤(a+2)x，分a≤-2与a ＞-2讨论即可求得实数a的取值范围.
答案：(1)记F(x)=sinx-x，则F′(x)=cosx-.
当x∈(0，)时，F′(x)＞0，F(x)在[0，]上是增函数；
当x∈(，1)时，F′(x)＜0，F(x)在[，1]上是减函数；
又F(0)=0，F(1)＞0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，即sinx≥x (3)
记H(x)=sinx-x，则当x∈(0，1)时，H′(x)=cosx-1＜0，所以H(x)在[0，1]上是减函数；则H(x)≤H(0)=0，即sinx≤x.
综上，x≤sinx≤x.
(2)∵当x∈[0，1]时，ax+x2++2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-4(x+2)
≤(a+2)x+x2+-4(x+2)=(a+2)x，
∴当a≤-2时，不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]恒成立， (9)
下面证明，当a＞-2时，不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立.
∵当x∈[0，1]时，ax+x2++2(x+2)cosx-4
=(a+2)x+x2+-4(x+2)
≥(a+2)x+x2+-4(x+2)
=(a+2)x-x2-
≥(a+2)x-x2
=-x[x-(a+2)].
所以存在x0∈(0，1)(例如x0取和中的较小值)满足ax0+++2(x0+2)cosx0-4＞0，
即当a＞-2时，不等式ax+x2++2(x+2)cosx≤4对x∈[0，1]不恒成立.
综上，实数a的取值范围是(-∞，-2].
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.(10分)(选修4-1几何证明选讲)
如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF 垂直于AB于F，连接AE，BE，证明：
(1)∠FEB=∠CEB；
(2)EF2=AD·BC.
解析：(1)直线CD与⊙O相切于E，利用弦切角定理可得∠CEB=∠EAB.由AB为⊙O的直径，可得∠AEB=90°.又EF⊥AB，利用互余角的关系可得∠FEB=∠EAB，从而得证. (2)利用(1)的结论及∠ECB=90°=∠EFB和EB公用可得△CEB≌△FEB，于是CB=FB.同理可得△ADE≌△AFE，AD=AF.在Rt△AEB中，由EF⊥AB，利用射影定理可得EF2=AF·FB.等量代换即可.
答案：(1)∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB.
∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°.∴∠EAB+∠EBA=90°.
∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°.∴∠FEB=∠EAB.∴∠CEB=∠EAB.
(2)∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，又∠CEB=∠FEB，EB公用.∴△CEB≌△FEB.∴CB=FB.同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF.
在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF·FB.∴EF2=AD·CB.
23.在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos()=2.
(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标；
(Ⅱ)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值.
解析：(I)先将圆C1，直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；
(II)由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0，2)，(1，3)，从而直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0，由参数方程可得y=x-+1，从而构造关于a，b的方程组，解得a，b的值. 答案：(I)圆C1，直线C2的直角坐标方程分别为 x2+(y-2)2=4，x+y-4=0，
解得或，∴C1与C2交点的极坐标为(4，).(2，).
(II)由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0，2)，(1，3)，故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0，由参数方程可得y=x-+1，∴，解得a=-1，b=2.
24.已知函数f(x)=|x-a|，其中a＞1
(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值.
解析：(1)当a=2时，f(x)≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥4，直接求出不等式
|x-2|+|x-4|≥4的解集即可.
(2)设h(x)=f(2x+a)-2f(x)，则h(x)=.由|h(x)|≤2解得
，它与1≤x≤2等价，然后求出a的值.
答案：(1)当a=2时，f(x)≥4-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|≥4，
当x≤2时，得-2x+6≥4，解得x≤1；
当2＜x＜4时，得2≥4，无解；
当x≥4时，得2x-6≥4，解得x≥5；故不等式的解集为{x|x≥5或x≤1}.
(2)设h(x)=f(2x+a)-2f(x)，则h(x)=，由|h(x)|≤2得
，
又已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集{x|1≤x≤2}，所以，
故a=3.
考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生
谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。

在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。

有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。

读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。

一是学会合理定位考试成绩
你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。

像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。

因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。

像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。

二是认真审题，理清题意
每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。

做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。

要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。

像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。

三是要活用草稿纸
有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。

不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。

考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。

就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。

在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。

只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。

大家一定要记住一点：只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。

四是学会沉着应对考试
无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。

就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。

考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。

考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。