2018年上海市杨浦区中考数学二模试卷(可编辑修改word版)

2018 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）
1．（4 分）下列各数中是无理数的是（）
A．cos60°B．1.
C．半径为1cm 的圆周长D．
2．（4 分）下列运算正确的是（）
A．m•m＝2m B．（m2）3＝m6C．（mn）3＝mn3 D．m6÷m2＝m3 3．（4 分）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
4．（4 分）某校120 名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示．其中阅读时间是8﹣10 小时的组频数和组频率分别是（）
A．15 和0.125 B．15 和0.25 C．30 和0.125 D．30 和0.25 5．（4 分）下列图形是中心对称图形的是（）
A． B．
C． D．
6．（4 分）如图，半径为1 的圆O1 与半径为3 的圆O2 相内切，如果半径为2 的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共12 小题，每题4 分，满分48 分）
7．（4 分）a（a+b）﹣b（a+b）＝．
8．（4 分）当a＜0，b＞0 时．化简：．
9．（4 分）函数y 中，自变量x 的取值范围是．
10．（4 分）如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于．11．（4 分）3 人中有两人性别相同的概率为．
12．（4 分）25 位同学10 秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
那么跳绳次数的中位数是．
13．（4 分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250 米，推车步行的平均速度是每分钟80 米，他家离学校的路程是2900 米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是．
14．（4 分）四边形ABCD 中，向量
15．（4 分）若正n 边形的内角为140°，边数n 为．
16．（4 分）如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D，联结DC．如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC 的周长为．
17．（4 分）如图，正△ABC 的边长为2，点A、B 在半径为的圆上，点C 在圆内，将正△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值为．
18．（4 分）当关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x 的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0 是“倍根方程”，那么m 的值为．
三、解答题（本大题共7 题，满分78 分）
19．（10 分）先化简，再求值：，x1．
20．（10 分）解方程组：．
21．（10 分）已知：如图，在梯形ABCD 中，DC∥B，AD＝BC，BD 平分∠ABC，∠A＝60°．
求：（1）求∠CDB 的度数；
（2）当AD＝2 时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．
22．（10 分）已知A、B、C 三地在同一条路上，A 地在B 地的正南方3 千米处，甲、乙两人分别从A、B 两地向正北方向的目的地C 匀速直行，他们分别和A 地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段l1是（填“甲”或“乙”）的函数图象，C 地在B 地的正北方向千米处；
（2）谁先到达C 地？并求出甲乙两人到达C 地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1 小时到达C 地，求他提速后的速度．
23．（12 分）已知：如图，在▱ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB、CD 于点E、F，过点G 的直线MN 分别交边AD、BC 于点M、N，且∠AGE＝∠ CGN．
（1）求证：四边形ENFM 为平行四边形；
（2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE＝BN．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c 与x 轴交于点A、B，与y 轴交于点C，直线y＝x+4 经过点A、C，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP∥AO 时，求∠PAC 的正切值；
（3）∠当以AP、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标．
25．（14 分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝1，BC＝9，点P 为边BC 上一动点，作PH⊥DC，垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心PH 为半径画圆，交射线PB 于点E．
（1）当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；
（2）分别联结EH 和EA，当△ABE∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P
相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；
（3）当劣弧沿直线EH 翻折交BC 于点F，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值．
2018 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）
1．（4 分）下列各数中是无理数的是（）
A．cos60°B．1.
C．半径为1cm 的圆周长D．
【解答】解：A、cos60°是有理数，错误；
B、是有理数，错误；
C、半径为1cm 的圆周长是2π，是无理数，正确；
D、2 是有理数，错误；
故选：C．
2．（4 分）下列运算正确的是（）
A．m•m＝2m B．（m2）3＝m6 C．（mn）3＝mn3 D．m6÷m2＝m3【解答】解：A、m•m＝m2，故此选项错误；
B、（m2）3＝m6，正确；
C、（mn）3＝m3n3，故此选项错误；
D、m6÷m2＝m4，故此选项错误；
故选：B．
3．（4 分）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）
A．x+y＞0 B．x﹣y＞0 C．x+y＜0 D．x﹣y＜0
【解答】解：两边都除以3，
得x＞﹣y，
两边都加y，得
x+y＞0，
故选：A．
4．（4 分）某校120 名学生某一周用于阅读课外书籍的时间的频数分布直方图如图所示．其中阅读时间是8﹣10 小时的组频数和组频率分别是（）
A．15 和0.125 B．15 和0.25 C．30 和0.125 D．30 和0.25
【解答】解：由频数分布直方图可知，阅读时间是8﹣10 小时的频率＝0.125×2＝0.25，频数为120×0.25＝30，
故选：D．
5．（4 分）下列图形是中心对称图形的是（）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图
形．故选：B．
6．（4 分）如图，半径为1 的圆O1 与半径为3 的圆O2 相内切，如果半径为2 的圆与圆O1和圆O2都相切，那么这样的圆的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：观察图象可知，满足条件的圆有三个，
故选：C．
二、填空题（本大题共12 小题，每题4 分，满分48 分）
7．（4 分）a（a+b）﹣b（a+b）＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a（a+b）﹣b（a+b）＝（a+b）（a﹣b）．
8．（4 分）当a＜0，b＞0 时．化简：﹣a ．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，
∴a．
故答案为：﹣a．
9．（4 分）函数y 中，自变量x 的取值范围是x≥﹣2 且x≠1 ．
【解答】解：由题意得，1﹣x≠0，x+2≥0，
解得，x≥﹣2 且x≠1，
故答案为：x≥﹣2 且x≠1．
10．（4 分）如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），
∴2y1＝k，3y2＝k，
∴2y1＝3y2，
∴，
故答案为：．
11．（4 分）3 人中有两人性别相同的概率为 1 ．
【解答】解：性别情况有两种，3 人中有两人性别必然有相同的；故其是必然事件，其概率为1．
12．（4 分）25 位同学10 秒钟跳绳的成绩汇总如下表：
那么跳绳次数的中位数是 20 ．
【解答】解：∵共有25 位同学跳绳，把这些数从小到大排列，最中间的数是第13 个数，∴跳绳次数的中位数是20 次；
故答案为：20．
13．（4 分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250 米，推车步行的平均速度是每分钟80 米，他家离学校的路程是2900 米，设他推车步行的时间为x 分钟，那么可列出的方程是250 （15﹣x）+80x＝2900 ．
【解答】解：设他推车步行的时间为x 分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，根据题意得出：
250（15﹣x）+80x＝2900．
故答案为：250（15﹣x）+80x＝2900．
14．（4 分）四边形ABCD 中，向量
【解答】解：如图连接AC．
∵，，
∴
故答案为
15．（4 分）若正n 边形的内角为140°，边数n 为 9 ．
【解答】解：∵正n 边形的每个内角都是140°，
∴正n 边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，
∴n＝360÷40＝
9．故答案为9．
16．（4 分）如图，△ABC 中，∠A＝80°，∠B＝40°，BC 的垂直平分线交AB 于点D，联结DC．如果AD＝2，BD＝6，那么△ADC 的周长为14 ．
【解答】解：∵BC 的垂直平分线交AB 于点D，
∴CD＝BD＝6，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝80°，
∴∠ADC＝∠A＝80°，
∴AC＝CD＝6，
∴△ADC 的周长为：AD+DC+AC＝2+6+6＝
14．故答案为：14．
17．（4 分）如图，正△ABC 的边长为2，点A、B 在半径为的圆上，点C 在圆内，将正△ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，旋转角的正切值为．
【解答】解：如图，分别连接OA、OB、OD；
∵OA＝OB，AB＝2，
∴△OAB 是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°；
同理可证：∠OAD＝45°，
∴∠DAB＝90°；
∵∠CAB＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴旋转角的正切值是，
故答案为：．
18．（4 分）当关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”．如果关于x 的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0 是“倍根方程”，那么m 的值为﹣4 或﹣1 ．
【解答】解：∵x2+（m﹣2）x﹣2m＝0，
∴（x+m）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣m，x2＝2，
由题意﹣m＝2×2 或2＝2（﹣m），
∴m＝﹣4 或﹣1，
故答案为﹣4 或﹣1．
三、解答题（本大题共7 题，满分78 分）
19．（10 分）先化简，再求值：，x1．
【解答】解：原式•
当x1 时，
原式
20．（10 分）解方程组：．
【解答】解：，
由②得：（x+y）（x﹣y）﹣2（x+y）＝0，
（x+y）（x﹣y﹣2）＝0，
x+y＝0 或x﹣y﹣2＝0，
则或，
解得：，，．
∴方程组的解为：，，．
21．（10 分）已知：如图，在梯形ABCD 中，DC∥B，AD＝BC，BD 平分∠ABC，∠A＝60°．
求：（1）求∠CDB 的度数；
（2）当AD＝2 时，求对角线BD 的长和梯形ABCD 的面积．
【解答】解：（1）∵在梯形ABCD 中，DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，
∴∠CBA＝∠A＝60°．
∵BD 平分∠ABC，
∴∠CDB＝∠ABD∠CBA＝30°，
（2）
在△ABD 中，∵∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝90°．
∴BD＝AD•tan A＝2tan60°＝2，
过点D 作DH⊥AB，垂足为H，
∴DH＝AD•sin A＝2sin60°．
∵∠CDB＝∠CBD∠CBD＝30°，
∴DC＝BC＝AD＝2．
∵AB＝2AD＝4，
∴S 梯形ABCD（AB+CD）DH（4+2）3．
22．（10 分）已知A、B、C 三地在同一条路上，A 地在B 地的正南方3 千米处，甲、乙两人分别从A、B 两地向正北方向的目的地C 匀速直行，他们分别和A 地的距离s（千米）与所用的时间t（小时）的函数关系如图所示．
（1）图中的线段l1是乙（填“甲”或“乙”）的函数图象，C 地在B 地的正北方向 3 千米处；
（2）谁先到达C 地？并求出甲乙两人到达C 地的时间差；
（3）如果速度慢的人在两人相遇后立刻提速，并且比先到者晚1 小时到达C 地，求他提速后的速度．
【解答】解：（1）由题意可得，
图中的线段l1是乙的函数图象，C 地在B 地的正北方向6﹣3＝3 千米处，
故答案为：乙、3；
（2）由图象可得，
甲先到达C 地，
甲到达C 地的时间为：6÷（4÷1）＝1.5 小时，
乙到达C 地的时间为：（6﹣3）÷[（4﹣3）÷1]＝3 小时，
∵3﹣1.5＝1.5，
∴甲乙两人到达C 地的时间差是1.5 小时；
（3）由题意可得，
他提速后的速度是：（6﹣4）÷（1.5+1﹣1）千米/时，
答：他提速后的速度是千米/时．
23．（12 分）已知：如图，在▱ABCD 中，点G 为对角线AC 的中点，过点G 的直线EF 分别交边AB、CD 于点E、F，过点G 的直线MN 分别交边AD、BC 于点M、N，且∠AGE＝∠ CGN．
（1）求证：四边形ENFM 为平行四边形；
（2）当四边形ENFM 为矩形时，求证：BE＝BN．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MAG＝∠NCG，
∵AG＝CG，∠AGM＝∠CGN，
∴△AGM≌△CGN，
∴GM＝GN，同法可证GE＝FG，
∴四边形ENFM 是平行四边形；
（2）∵四边形ENFM 是矩形，
∴GE＝GM，∠MEN＝90°，
∵∠AGE＝∠CGN＝∠AGM，
∴AG⊥EM，AG 平分EM，
∴AE＝AM，∠GAE＝∠GAM＝∠GCN，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵EM⊥EN，
∴EN∥AC，
∴∠BEN＝∠BAC，∠BNE＝∠BCA，
∴∠BEN＝∠BNE，
∴BE＝BN．
24．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c 与x 轴交于点A、B，与y 轴交于点C，直线y＝x+4 经过点A、C，点P 为抛物线上位于直线AC 上方的一个动点．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图（1），当CP∥AO 时，求∠PAC 的正切值；
（3）∠当以AP、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时，求出此时点P 的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝x+4＝4，则C（0，4），
当y＝0 时，x+4＝0，解得x＝﹣4，则A（﹣4，0），
把A（﹣4，0），C（0，4）代入yx2+bx+c 得，解得，
∴抛物线解析式为yx2﹣x+4；
（2）抛物线的对称轴为直线x1，
而PC∥OA，
∴点P 与点C 关于直线x＝﹣1 对称，
∴P（﹣2，4），PC＝2，
作PH⊥AC 于H，如图1，
∵OA＝OC＝4，
∴△OAC 为等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，AC＝4，
∵PC∥OA，
∴∠PCA＝∠OAC＝45°，
∴△PCH 为等腰直角三角形，
∴PH＝CH2，
∴AH＝AC﹣CH＝43，
在Rt△PAH 中，tan∠PAH，
即∠PAC 的正切值为；
（3）以AP、AO 为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q，如图2，∵四边形APQO 为平行四边形，
∴PQ∥OA，PQ＝OA＝4，
设P（t，t2﹣t+4），则Q（t+4，t2﹣t+4），
把（t+4，t2﹣t+4）代入yx2﹣x+4 得（t+4）2﹣（t+4）+4t2﹣t+4，解得t＝﹣3，
∴此时P 点坐标为（﹣3，）．
25．（14 分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝1，BC＝9，点P 为边BC 上一动点，作PH⊥DC，垂足H 在边DC 上，以点P 为圆心PH 为半径画圆，交射线PB 于点E．
（1）当圆P 过点A 时，求圆P 的半径；
（2）分别联结EH 和EA，当△ABE∽△CEH 时，以点B 为圆心，r 为半径的圆B 与圆P 相交，试求圆B 的半径r 的取值范围；
（3）当劣弧沿直线EH 翻折交BC 于点F，试通过计算说明线段EH 和EF 的比值为定值，并求出此定值．
【解答】解：（1）作AM⊥BC 于点M，连接AP，
∵梯形ABCD 中，AD∥BC，且AB＝DC＝5、AD＝1、BC＝9，
∴BM＝4、AM＝3，
∴tan B＝tan C，
∵PH⊥DC，
∴设PH＝3k，则CH＝4k、PC＝5k，
∵BC＝9，
∴PM＝BC﹣BM﹣PC＝5﹣5k，
∴AP2＝AM2+PM2＝9+（5﹣5k）2，
∵PA＝PH，
∴9+（5﹣5k）2＝9k2，
解得：k＝1 或k，
当k 时，CP＝5k9，舍去；
∴k＝1，
则圆P 的半径为3．
（2）如图2，
由（1）知，PH＝PE＝3k、CH＝4k、PC＝5k，∵BC＝9，
∴BE＝BC﹣PE﹣PC＝9﹣8k，
∵四边形ABCD 是梯形，且AB＝DC，
∴∠ABC＝∠DCB，
∵△ABE∽△CEH，
∴∠BAE＝∠ECH，∠ABE＝∠CEH，
∴∠ECH＝∠CEH，
∴HC＝HE＝4k，
又，即，
解得：k（k＝0 舍去），
则PH，即圆P 的半径为，
∵圆B 与圆P 相交，且BE＝9﹣8k，
∴r；
（3）在圆P 上取点F 关于EH 的对称点G，连接EG，作PQ⊥EG 于G，HN⊥BC 于N，
则EG＝EF、∠1＝∠3、EQ＝QG、EF＝EG＝2EQ，∴∠GEP＝2∠1，
∵PE＝PH，
∴∠1＝∠2，
∴∠4＝∠1+∠2＝2∠1，
∴∠GEP＝∠4，
∴△EPQ≌△PHN，
∴EQ＝PN，
由（1）知PH＝3k、HC＝4k、PC＝5k，
∴sin C、cos C，
∴NCk、HNk，
∴PN＝PC﹣NCk，
∴EF＝EG＝2EQ＝2PNk，EHk，
∴，
故线段EH 和EF 的比值为定值．。