高考小题分项练(四)

高考小题分项练(四)
1．设A 、B 、C 、D 为空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )
A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
B ．若A
C 与B
D 是异面直线，则AD 与BC 也是异面直线
C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则A
D ＝BC
D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC
答案 C
解析 A 中，若AC 与BD 共面，则A 、B 、C 、D 四点共面，则AD 与BC 共面；B 中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线；C 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，四边形ABCD 可以是空间四边形，AD 不一定等于BC ；D 中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .
2．(2015·福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 m 垂直于平面α，当l ⊂α时，也满足l ⊥m ，但直线l 与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l ∥α，一定有l ⊥m ，必要性成立．故选B.
3．(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13
＋π B.23＋π C.13
＋2π D.23
＋2π 答案 A
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，
V ＝12π×12×2＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13
，选A. 4．已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )
A ．7π
B ．8π
C ．9π
D ．10π
答案 C
解析 依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长，宽，高分别是2,1,2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π.
5．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA
→＋OB →|≥33
|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)
B ．[2，＋∞)
C ．[2，22)
D ．[3，22) 答案 C
解析 当|OA →＋OB →|＝33
|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k
＞0)的距离为1，此时k ＝2；当k ＞2时，
|OA →＋OB →|＞33
|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4存在两交点，故k ＜22，综上，k 的取值范围为[2，22)，故选C.
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 25－y 2
20
＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2
100
＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A
解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ， 因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a
＝2. 又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，
所以－2c ＋10＝0，所以c ＝5.
由⎩⎪⎨
⎪⎧ b a ＝2，c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝5，
b 2＝20. 故双曲线的方程为x 25－y 220
＝1. 7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236
＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218
＝1 D.x 218＋y 29
＝1 答案 D
解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 所以⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1，
x 22a 2＋y 22b 2＝1，运用点差法，
所以直线AB 的斜率为k ＝b 2
a 2， 设直线方程为y ＝
b 2
a 2(x －3)， 联立直线与椭圆的方程得
(a 2＋b 2)x 2－6b 2x ＋9b 2－a 4＝0，
所以x 1＋x 2＝6b 2
a 2＋
b 2＝2； 又因为a 2－b 2＝9，解得b 2＝9，a 2＝18.
8．已知抛物线C ：x 2＝8y 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个
交点，若PF →＝2FQ →，则|QF |等于( )
A ．6
B ．3 C.83
D.43
答案 A
解析 如图，F (0,2)，准线l ：y ＝－2，设准线l 与y 轴交点为N ，过Q 作QM ⊥l 于M ，由PF
→＝2FQ →，得|PF ||PQ |＝23，由QM ∥FN ，得|FN ||QM |＝|PF ||PQ |
，又|FN |＝4， 所以|QM |＝6，所以|QF |＝|QM |＝6.故选A.
9．已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )
A.72 B ．3 C.52
D ．2 答案 C
解析 抛物线的准线方程为
x ＝－12
，由图知，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|MQ |－|QF |＝|2＋3|－|2＋12|＝52
. 10．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )
A ．A ′C ⊥BD
B ．∠BA ′
C ＝90°
C ．CA ′与平面A ′B
D 所成的角为30°
D ．四面体A ′－BCD 的体积为13
答案 B
解析 取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面
A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，
∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，
可证得OC ⊥BD ，矛盾，
∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误，∵CD ⊥BD ，
平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，
A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，
∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，
B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，
C 错误；V A ′－BC
D ＝13S △A ′BD ·CD ＝16
，D 错误，故选B. 11．已知斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝px (p ＞0)的焦点F ，且与y 轴相交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为1，则p 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 C
解析 设直线l 的方程为y ＝2⎝⎛⎭
⎫x －p 4， 令x ＝0，得y ＝－p 2
， 即点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎫0，－p 2. ∴S △OAF ＝12
×|OF |×|OA | ＝12×p 4×p 2＝p 216
＝1， ∴p ＝4.
12．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A.12
B.22
C.14
D.24
答案 C
解析 因为C 在平面ABD 上的射影为BD 的中点O ，在边长为1的
正方形ABCD 中，AO ＝CO ＝12AC ＝22
，所以侧视图的面积等于S △AOC ＝12CO ·AO ＝12×22×22＝14
，故选C. 13．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ＝2，底面是边长为1的正方形，E ，F ，G 分别是棱BB 1，AA 1，AD 的中点．平面A 1DE 与平面BGF 的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
答案 平行
解析 在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱BB 1，AA 1，AD 的中点，所以FG ∥A 1D ，所以FG ∥平面A 1DE ，同理FB ∥平面A 1DE ，又FG ∩FB ＝F ，所以平面BGF ∥平面A 1DE .
14．如图所示是正方体的平面展开图， 在这个正方体中：①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直．以上四个说法中，正确说法的序号依次是________．
答案 ③④
解析 如图所示，逐个判断即可．
15．过抛物线y 2＝4x 的焦点，且被圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0截得弦最长的直线的方程是________． 答案 x ＋y －1＝0
解析 依题意知所求直线过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的圆心．
设所求直线方程为：y ＝k (x －1)，则－1＝k (2－1)，
得：k ＝－1，故所求直线方程为：x ＋y －1＝0.
16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为________．
答案 y 2＝3x
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，作AM ，BN 垂直准线于点M ，N ，则|BN |＝|BF |，又|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BN |，所以∠NCB ＝30°，有|AC |＝2|AM |＝6.
设|BF |＝x ，则2x ＋x ＋3＝6，∴x ＝1，而x 1＋p 2＝3，x 2＋p 2＝1，且x 1x 2＝p 24，所以(3－p 2
)(1－p 2)＝p 24，解得p ＝32，所以抛物线的方程为y 2＝3x .。