2020版高考数学总复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念与线性运算课时冲关

第1节 平面向量的概念与线性运算
1．在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，E 为BC 的中点，则AE →
等于( )
A.23AB →＋12AD →
B.12AB →＋23AD →
C.56AB →＋13
AD → D.13AB →＋56
AD → 解析：A [BC →＝BA →＋AD →＋DC →
＝－23AB →＋AD →，
AE →
＝AB →＋BE →＝AB →＋12
BC →＝AB →＋12⎝
⎛⎭
⎪⎫AD →－23AB →＝23
AB →＋12
AD →
.故选A.]
2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向 解析：D [由题意可设c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )，
(λ－k )a ＝(λ＋1)b .∵a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
λ－k ＝0，
λ＋1＝0.
∴k ＝λ＝－1.∴c 与d 反向．故选D.]
3．D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →
等于( ) A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12BA →
C.BC →－12
BA →
D.BC →＋12
BA →
解析：A [如图，CD →＝CB →＋BD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12
BA →
.]
4．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →
＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则“A ，B ，C 三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：C [A ，B ，C 三点共线等价于AC →，AB →共线，根据向量共线的充要条件知，AC →、AB →
共线，即存在实数λ，使得AC →＝λAB →
，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于向量a ，b 不共线，根据平面向量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A ，B ，
C 三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要条件．]
5．(2017·全国卷Ⅰ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b
D ．|a |>|b |
解析：A [由|a ＋b |＝|a －b |及平行四边形法则得，以向量a ，b 为邻边的平行四边形的两对角线相等，即为矩形，所以a ⊥b .]
6．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →
＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →
C.34AB →＋14
AD → D.12AB →＋34
AD → 解析：B [因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB
→
＋AD →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12
AD →
.故选B.]
7．(2020·济宁市模拟)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →
，则m ＋n 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：B [∵O 为BC 的中点， ∴AO →＝12
(AB →＋AC →)
＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n
2＝1，
∴m ＋n ＝2.]
8．(2020·聊城市质检)设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A ，B ，
D 三点共线，则实数p 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：B [∵BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →
＝2a －b .
又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →
共线． 设AB →＝λBD →，
∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，
∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.]
9．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14 AC →，BM →＝12 MC →，则MN →
＝ ________
(用e 1，e 2表示)．
解析：如图所示，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2 BM →
＝CN →＋23BC →
＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2.
答案：－23e 1＋512
e 2
10．已知D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →
＝b ，给出下列命题：
①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →
＝－12a ＋12b ；
④AD →＋BE →＋CF →
＝0.
其中正确命题的序号为 ________ .
解析：BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →
＝－12a －b ，
BE →
＝BC →＋12CA →
＝a ＋12b ，CF →＝12
(CB →＋CA →
)
＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，∴AD →＋BE →＋CF →
＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0. ∴正确命题为②③④. 答案：②③④
11．(2020·上饶市模拟)已知a ，b 为单位向量，且a ＋b ＋c ＝0，则|c |的最大值为
________ .
解析：因为a ，b 为单位向量，∴|a |＝|b |＝1， 又a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，
∴|c |＝|－a －b |≤|a |＋|b |＝1＋1＝2， ∴|c |的最大值为2. 答案：2。