5.1矩形-2024-2025学年初中数学八年级下册(浙教版)上课课件
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当矩形是正方形时，有四条对称轴
典例4 如图所示， 过矩形 对角线的交点 ，且分别交 ， 于点 ， ，如果 ， ，那么阴影部分的面积是___.
3
解析] ∵四边形 是矩形，∴由矩形的中心对称性易知 ， ， .
知识点4 矩形的判定 重点
文字语言
符号语言
图示
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
例题点拨添加条件时注意以下几点：
（1）添加的条件必须明确，如条件“ 是等腰三角形”就是不恰当的，因为没有指出哪两条边是腰，不一定得到有效的条件 .
（2）添加的条件只能是一个，若添加“ 是等边三角形”，则隐含的条件就不止一个，不符合题意.
（3）题目本身已具备的条件不要重复添加.
典例6 如图，平行四边形 的对角线 , 相交于点 ， ， ，连结 , , , ．
知识点1 矩形的定义1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的定义有双重应用：（1）根据定义，可知矩形是特殊的平行四边形，内角为直角；（2）矩形的定义可作为判定矩形的一个依据.
示例
矩形与平行四边形的关系
.
注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，它是平行四边形的内角特殊化之后的图形；（2）小学里学过的长方形、正方形都是矩形.
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
学习目标
1.掌握矩形的概念，理解矩形与长方形、正方形的关系.2.掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”.3.掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”.4.掌握矩形的对称性，并能准确描述对称轴.5.掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”.6.掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”.7.灵活运用矩形的性质和判定方法解决问题.
（或 或 ）（答案不唯一）
[解析] 可添加的一个条件为： .理由如下：∵四边形 是平行四边形， ， 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.可添加的一个条件为： .理由如下：∵四边形 是平行四边形， ， 为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
可添加的一个条件为： .理由如下：∵四边形 是平行四边形， , . ， ， 为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
[解析] 如图，连结 ，∵点 的坐标为 ， .∵四边形 是矩形， .
例题点拨已知点 的坐标，可构造直角三角形（或用两点间的距离公式）求 的长，再由矩形对角线相等可得 ，即可求解．
知识点3 矩形的对称性 难点
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴.如图，对称轴是“过对角线交点，并分别与两条邻边垂直的两条直线”，也可描述为“垂直平分矩形每组对边的直线”,对称中心是两条对角线的交点.
[解析] 如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， .
由题意知 . ， ， .
∵四边形 是矩形， ， .由题意易得， ， ，∴在 中， , .
考点2 矩形的判定
典例8 [2022·泰州中考] 如图，线段 与 分别为 的中位线与中线．
（1）求证： 与 互相平分.
典例1 如图，小天和小元各有一块完全相同的含 角的直角三角板，他们想用这两块三角板拼出平行四边形，能拼出几种不同形状的平行四边形？其中有矩形吗？怎么拼？
解：能拼成三种不同形状的平行四边形，其中有一个矩形.让两个三角板的斜边重合，相等的边处于对边的位置即可拼出矩形.
例题点拨（1）要拼出不同形状的平行四边形，只要每组相等的边分别重合成为对角线就可以了！（2）要拼出一个矩形，根据矩形的定义，知需使三角板的直角成为拼出的平行四边形的内角！
在 中， ， 是矩形.
.
判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形 中， ，∴四边形 是矩形.
.
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
在 中， ， 是矩形.
.
典例5 如图，已知四边形 <m></m> 为平行四边形，对角线 <m></m> 与 <m></m> 交于点 <m></m> ，试添加一个条件____________________________________________________，使 </m> 为矩形．<
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：利用矩形的性质求线段长.
选择题、填空题、解答题
考点2：矩形的判定.
选择题、解答题
考点1 利用矩形的性质求线段长
典例7 [绍兴中考] 图（1）是一种矩形时钟，图（2）是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形 <m></m> 的对角线 <m></m> 上，时钟中心在矩形 <m></m> 对角线的交点 <m></m> 上．若 <m></m> ，则 <m></m> 长为 _ _____ <m></m> （结果保留根号）．
（1）求证：四边形 是矩形.
（2）你所证明结论的依据是______________________________，该依据的逆命题是____命题（填“真”或“假”）．
对角线相等的平行四边形是矩形
真
证明：（1）∵四边形 是平行四边形， ， .又 ， ，即 ， ∴四边形 为平行四边形. ， ，∴四边形 为矩形.
（2）当线段 与 满足怎样的数量关系时，四边形ห้องสมุดไป่ตู้ 为矩形？请说明理由．
（1） 证明： 是 的中位线， ，点 为 的中点. 为 的中线，∴点 是 的中点， 是 的中位线， ， ， ，∴四边形 是平行四边形， 与 互相平分.
（2）解：当 时，四边形 为矩形.理由：∵线段 为 的中位线， ， ， .由（1），得四边形 是平行四边形，∴四边形 为矩形．
知识点2 矩形的性质定理 重点
矩形是特殊的平行四边形，它不但具有一般平行四边形的性质，还具有一些特殊的性质.
文字语言
符号语言
图示
性质定理1
矩形的四个角都是直角.
∵四边形 是矩形， .
.
性质定理2
矩形的对角线相等.
∵四边形 是矩形， .
.
以这两个性质定理为基础，还可以推出矩形特有的很多性质，如：矩形的对角线相等且互相平分，矩形的对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形，且这些三角形的面积都相等.
典例2 如图，矩形 中，点 是 边上一点，连结 ，若 ， ，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ∵四边形 是矩形， ， .在 中， ， .
典例3 如图，矩形 的顶点 的坐标为 ，则 长为( )
A
A. B. C. D.
典例4 如图所示， 过矩形 对角线的交点 ，且分别交 ， 于点 ， ，如果 ， ，那么阴影部分的面积是___.
3
解析] ∵四边形 是矩形，∴由矩形的中心对称性易知 ， ， .
知识点4 矩形的判定 重点
文字语言
符号语言
图示
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
例题点拨添加条件时注意以下几点：
（1）添加的条件必须明确，如条件“ 是等腰三角形”就是不恰当的，因为没有指出哪两条边是腰，不一定得到有效的条件 .
（2）添加的条件只能是一个，若添加“ 是等边三角形”，则隐含的条件就不止一个，不符合题意.
（3）题目本身已具备的条件不要重复添加.
典例6 如图，平行四边形 的对角线 , 相交于点 ， ， ，连结 , , , ．
知识点1 矩形的定义1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的定义有双重应用：（1）根据定义，可知矩形是特殊的平行四边形，内角为直角；（2）矩形的定义可作为判定矩形的一个依据.
示例
矩形与平行四边形的关系
.
注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，它是平行四边形的内角特殊化之后的图形；（2）小学里学过的长方形、正方形都是矩形.
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
学习目标
1.掌握矩形的概念，理解矩形与长方形、正方形的关系.2.掌握矩形的性质定理“矩形的四个角都是直角”.3.掌握矩形的性质定理“矩形的对角线相等”.4.掌握矩形的对称性，并能准确描述对称轴.5.掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”.6.掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”.7.灵活运用矩形的性质和判定方法解决问题.
（或 或 ）（答案不唯一）
[解析] 可添加的一个条件为： .理由如下：∵四边形 是平行四边形， ， 为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.可添加的一个条件为： .理由如下：∵四边形 是平行四边形， ， 为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
可添加的一个条件为： .理由如下：∵四边形 是平行四边形， , . ， ， 为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
[解析] 如图，连结 ，∵点 的坐标为 ， .∵四边形 是矩形， .
例题点拨已知点 的坐标，可构造直角三角形（或用两点间的距离公式）求 的长，再由矩形对角线相等可得 ，即可求解．
知识点3 矩形的对称性 难点
矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它至少有两条对称轴.如图，对称轴是“过对角线交点，并分别与两条邻边垂直的两条直线”，也可描述为“垂直平分矩形每组对边的直线”,对称中心是两条对角线的交点.
[解析] 如图，过点 作 ， ，垂足分别为 ， .
由题意知 . ， ， .
∵四边形 是矩形， ， .由题意易得， ， ，∴在 中， , .
考点2 矩形的判定
典例8 [2022·泰州中考] 如图，线段 与 分别为 的中位线与中线．
（1）求证： 与 互相平分.
典例1 如图，小天和小元各有一块完全相同的含 角的直角三角板，他们想用这两块三角板拼出平行四边形，能拼出几种不同形状的平行四边形？其中有矩形吗？怎么拼？
解：能拼成三种不同形状的平行四边形，其中有一个矩形.让两个三角板的斜边重合，相等的边处于对边的位置即可拼出矩形.
例题点拨（1）要拼出不同形状的平行四边形，只要每组相等的边分别重合成为对角线就可以了！（2）要拼出一个矩形，根据矩形的定义，知需使三角板的直角成为拼出的平行四边形的内角！
在 中， ， 是矩形.
.
判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形 中， ，∴四边形 是矩形.
.
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形.
在 中， ， 是矩形.
.
典例5 如图，已知四边形 <m></m> 为平行四边形，对角线 <m></m> 与 <m></m> 交于点 <m></m> ，试添加一个条件____________________________________________________，使 </m> 为矩形．<
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：利用矩形的性质求线段长.
选择题、填空题、解答题
考点2：矩形的判定.
选择题、解答题
考点1 利用矩形的性质求线段长
典例7 [绍兴中考] 图（1）是一种矩形时钟，图（2）是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形 <m></m> 的对角线 <m></m> 上，时钟中心在矩形 <m></m> 对角线的交点 <m></m> 上．若 <m></m> ，则 <m></m> 长为 _ _____ <m></m> （结果保留根号）．
（1）求证：四边形 是矩形.
（2）你所证明结论的依据是______________________________，该依据的逆命题是____命题（填“真”或“假”）．
对角线相等的平行四边形是矩形
真
证明：（1）∵四边形 是平行四边形， ， .又 ， ，即 ， ∴四边形 为平行四边形. ， ，∴四边形 为矩形.
（2）当线段 与 满足怎样的数量关系时，四边形ห้องสมุดไป่ตู้ 为矩形？请说明理由．
（1） 证明： 是 的中位线， ，点 为 的中点. 为 的中线，∴点 是 的中点， 是 的中位线， ， ， ，∴四边形 是平行四边形， 与 互相平分.
（2）解：当 时，四边形 为矩形.理由：∵线段 为 的中位线， ， ， .由（1），得四边形 是平行四边形，∴四边形 为矩形．
知识点2 矩形的性质定理 重点
矩形是特殊的平行四边形，它不但具有一般平行四边形的性质，还具有一些特殊的性质.
文字语言
符号语言
图示
性质定理1
矩形的四个角都是直角.
∵四边形 是矩形， .
.
性质定理2
矩形的对角线相等.
∵四边形 是矩形， .
.
以这两个性质定理为基础，还可以推出矩形特有的很多性质，如：矩形的对角线相等且互相平分，矩形的对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形，且这些三角形的面积都相等.
典例2 如图，矩形 中，点 是 边上一点，连结 ，若 ， ，则 的长为( )
C
A. B. C. D.
[解析] ∵四边形 是矩形， ， .在 中， ， .
典例3 如图，矩形 的顶点 的坐标为 ，则 长为( )
A
A. B. C. D.