高中数学人教B版数学必修5课后强化作业：3-5-1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》

3-5-1《二元一次不等式(组)所表示的平面区域》
基 础 巩 固
一、选择题
1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞2
x －y ＋3＜0
表示的平面区域是( )
[答案] D
2．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
3．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2 3，请木工需付工资每人50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人数的约束条件是( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ≤5
x 、y ∈N
*
B.⎩⎨⎧
50x ＋40y ≤2000
x y ＝23
C.⎩⎨⎧
5x ＋4y ≤200
x y ＝23x 、y ∈N
*
D.⎩⎨⎧
5x ＋6y ＜100x y ＝23
[答案] C
[解析] 因为请木工每人工资50元，瓦工每人工资40元，工资
预算为2 000元，∴50x ＋40y ≤2 000即5x ＋4y ≤200.x 、y 表示人数∴x 、y ∈N *，∴答案为C.
4．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0
－1≤x ≤4表示的平面区域是( )
A ．两个三角形
B ．一个三角形
C ．梯形
D ．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图，∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图A 所示的对角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图B.
5．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) [答案] B
[解析] ∵Ax ＋By ＋C ＞0与Ax ＋By ＋C ＜0分别表示直线Ax ＋By ＋C ＝0两侧的点的集合．∴(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0∴－7＜a ＜24.
6．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0
x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0 C.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0 D.⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0 [答案] A
[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D.
O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C . ∴选A. 二、填空题
7．不等式|2x －y ＋m |＜3表示的平面区域内包含点(0,0)和点(－1,1)，则m 的取值范围是________．
[答案] 0＜m ＜3
[解析] 将点(0,0)和(－1,1)代入不等式中解出0＜m ＜3.
8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．
[答案]
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3
三、解答题
9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －6≥0
x －y ≥0
y ≤3
x ＜5
表示的平面区域．
[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的
点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －6≥0
x －y ≥0
y ≤3
x ＜5
表示的平面区域为如图阴
影部分．
能 力 提 升
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≥0x －1≤0
ax －y ＋1≥0(a 为常数)
所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )
A ．－5
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] D
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1
x ＝1，得A (1，a ＋1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
x ＋y －1＝0，得B (1,0)， 由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1x ＋y －1＝0，得C (0,1)． ∵S △ABC ＝2，且a >－1， ∴S △ABC ＝1
2|a ＋1|＝2，∴a ＝3.
2．若A
为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0y ≥0
y －x ≤2
表示的平面区域，则当a 从－2
连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )
A.3
4 B ．1 C.74 D ．2
[答案] C
[解析] 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．
S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝7
4. 二、填空题
3．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为35
5，且点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.
[答案] 3
[解析] 由题意，得|1－2a ＋2|5
＝35
5，
∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示区域内， ∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 4．不等式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤1x －y ＋1≥0
2x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．
[答案] 6
[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，
S △ABC ＝12·|BC |·d ＝1
2×6×2＝6.
(d 表示A 到直线BC 的距离．
)
三、解答题
5．画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1＞0x ＋2y ＋1≥0
1＜|x －2|≤3
表示的平面区域．
[解析] 不等式x －2y ＋1＞0表示直线x －2y ＋1＝0右下方的点的集合；
不等式x ＋2y ＋1≥0表示直线x ＋2y ＋1＝0上及其右上方的点的集合；
不等式1＜|x －2|≤3可化为－1≤x ＜1或3＜x ≤5，它表示夹在两平行线x ＝－1和x ＝1之间或夹在两平行线x ＝3和x ＝5之间的带状区域，但不包括直线x ＝1和x ＝3上的点．所以，原不等式表示的区域如下图所示．
6．求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ＜3
2y ≥x 3x ＋2y ≥6
3y ＜x ＋9
表示的平面区域的面积．
[解析] 不等式x ＜3表示直线x ＝3左侧点的集合．
不等式2y ≥x ，即x －2y ≤0表示直线x －2y ＝0上及左上方点的集合．
不等式3x ＋2y ≥6，即3x ＋2y －6≥0表示直线3x ＋2y －6＝0上及右上方点的集合．
不等式3y ＜x ＋9即x －3y ＋9＞0表示直线x －3y ＋9＝0右下方点的集合．
综上可得，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示． 因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A 、B 、C 、D ，如图．
可知A (0,3)、B (32，34)、C (3，3
2)、D (3,4) S 四边形ABCD ＝S 梯形AOED －S △COE －S △AOB ＝12(OA ＋DE )·OE －12OE ·CE －12OA ·x B ＝12(3＋4)×3－12×3×32－12×3×32＝132.。