湖南省浏阳一中2010届高三5月月考数学理(附答案)

浏阳一中2010年下学期高三模拟考试
数 学（理）
时量：120分钟 分值：150分 命题人：黄六合 审题人：袁怀庆
一、选择题：(8小题，每小题5分，共40分)
1．tan(-990°)=( )
A ．0
B ．3
C ．3-
D ．不存在
2． 在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高（单位：cm ）分布的茎叶图如图．已知记录的平均身高为174cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为 （ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
3．一几何体的正视图和侧视是全等的等腰梯形，上下底边长分别为2和4，腰长为5，俯视图为二个同心圆，则该几何体的体积为（ ）
A ．14π
B ．
π3
14 C ．
π3
28 D ．
53
7π
4．定义：适合条件a>b 的复数a+bi (a,b ∈R)称为“实大复数”，若复数99
1i i
a +-+为“实大复
数”，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（-∞，0）
B ．（0，+∞）
C ．[0，+∞）
D ．（2，+∞）
5．在数列{a n }中，a 1=1，数列{a n a n+2}是以3为公比的等比数列，则log 3a 2011等于（ ）
A ．1003
B ．1004
C ．1005
D ．1006
6．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位从“0000”到“9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后四位带数字“4”或“7”的一律作为“优惠”卡来销售，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）
A ．2000
B ．4096
C ．5904
D ．8320
7．设双曲线122
22=-b
y a x （a>0,b>0）的左、右焦点分别是F 1、F 2，过点F 2的直线交双曲线
右支于点M 、N ，若21F F ⋅=01212
3
，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．6
B ．2
C ．3
D ．
3
3 8．若函数y=f(x) (x ∈R)满足f(x+1)+f(x)=1，当x ∈[-1,1]时，f(x)=1-x 2，函数
g(x)=⎩
⎨⎧=≠)0(1)0(||lg x x x ，则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内的零点的个数为（ ）
A ．9
B ．11
C ．13
D ．14
二、填空题：(7小题，每小题5分，共35分)
9．已知随机变量X~N(2,σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.3，则X 在(4,+∞)内的概率为 。

10．当a=1，b=3时执行完右边这段程序后x 的值是 。

11．已知函数f(x)=|x-k|+|x-2k|，若对任意的x ∈R ，f(x )≥f(3)=f(4)都成立，则k 的取值范围为 。

12．已知函数3
1)(a
x
x f -=的定义域是非零实数，且在（-∞，0）上是增函数，在（0，+∞）
上是减函数，则最小的自然数a 等于 。

13．已知：如下图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E 两点，过点E 作E F ⊥CD 交CB 延长线于点F ，若CD=2，CB=22，则CE= ，EF= 。

14．已知点O 在△ABC 内部，且满足32=++，向△ABC 内任抛一点M ，
则点M 落在△AOC 内的概率为 。

15．某资料室在计算机使用中，如下表所示以一定规则排列的编码，且从左至右以及从上到下都是无限的，此表中，主对角线上数列1,2,5,10,17,…的通项公式为 ，编码100共出现 次。

三、解答题：(6小题，第16,17,18题每题12分，第19,20,21题每题13分，共75分)
16．已知函数f(x)=sinx+cosx ，f `(x)是f(x)的导函数。

⑴ 求函数F(x)=f(x)f`(x)+[f(x)]2
的最大值和最小正周期；
⑵ 若f(x)=2f`(x)，求x
x x x
cos sin cos sin 12
2-+的值。

17．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： ⑴求分数在[70，80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； ⑵统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
⑶若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)记0分，在[60,80)记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。

18．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，点F 在DE 上，且AF ⊥DE ，若圆柱的侧面积与△ABE 的面积之比等于4π.
（Ⅰ）求证：AF ⊥BD ；
（Ⅱ）求二面角A ―BD ―E 的正弦值.
19．某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种
型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为
1
ln(1)10
a,m b +万元（m ＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元．
（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义
域；
（2）求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？
20．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，其
中右焦点F 2也是拋物线C 2：y 2 = 4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2| = 53
． （1）求椭圆C 1的方程；
（2）设102E ,⎛⎫
⎪⎝⎭
，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 1交于A 、B 两点，且|AE | =
|BE |？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．已知321cos 34)(2
3
+
-=θx x x f ，其中x ∈R ，θ为参数，且0≤θ≤2
π。

（1）当cos θ=0时，判断函数)(x f 是否有极值；
（2）要使函数)(x f 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数)(x f 在区间(2a – 1, a )内都是增函数，求实数a 的取值范围。

答 案（数学理科）
DCBA CCCC
ξ的可能取值是0，1，2，3，4
8分
则2152607(0)118C P C ξ===，11152726027(1)118C C P C ξ===，1121518272
60207
(2)590C C C P C ξ+===， 11271826081(3)295C C P C ξ===，2182
6051
(4)590
C P C ξ=== 所以ξ的分布列为 11分
（2）
110(1)[(101)]
()
11010(1)10(1)
m m x x m
f x
x x x
-+---
'=-==
+++
，令y′=0得x=10m–1……7分
1°若10m–1≤1即0＜m≤1
5
，则f（x）在[1，9]为减函数，当x=1时，f（x）有最大值；
2°若1＜10m–1＜9即1
1
5
m
<<，则f（x）在[1，10m–1]是增函数在[10m–1，9]是减函
数，当x=10m–1时，f（x）有最大值；3°若10m–1≥9即m≥1，则f (x)在[1，9]是增函数，当x=9时，f（x）有最大值．
………………12分
21．解：（1）当cos θ=0时，32
1
4)(3+
=x x f ，所以212)(x x f ='≥0， 则)(x f 在),(+∞-∞内是增函数，故无极值。

（2）θcos 612)(2x x x f -='，令)(x f '=0，得x 1=0或2cos 2θ=x ， 由0≤θ≤2
π
及（1）知，只需考虑cos θ>0的情况，
当x 变化时，)(x f '、)(x f 的变化情况如下表：。