2016年高考数学专题精解课件：2.2.基本初等函数的性质及应用

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3.求参数的取值(范围)
【例 3】 (1)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) (A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞) (C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)
(2)当 0<x≤ 1 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( ) 2
即 1>log32>log52>0,而 c=log23>log22=1,因此 c>a>b,故选 D.
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3.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记
a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
解析:(1)由指数函数 y=0.6x 在(0,+∞)上单调递减, 可知 0.61.5<0.60.6,由幂函数 y=x0.6 在(0,+∞)上单调递增,可知 0.60.6<1.50.6,所以 b<a<c,故选 C.
(2)选项 A,由于函数在区间上为增函数,由单调性定义可知
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,故 A 错误;
2016年高考数学专题精解
（文）
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第二部分
2. 基本初等函数的性质及应用
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考点
年份 2011
求函数值及比较函数值 的大小
求参数的取值(范围)
2012 11
2013 2014 ⅠⅡⅠⅡ
8 12
2015 ⅠⅡ 10
13
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(2)已知函数 f(x)=ln x,x1,x2∈(0, 1 ),且 x1<x2,则下列结论中正确的是( ) e
(A)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
(B)f( x1 x2 )< f x1 f x2
2
2
(C)x1f(f(x1)
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(A) (0, 2 ) (B) ( 2 ,1)
2
2
(C)(1, 2 ) (D)( 2 ,2)
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解析:(1)因为 2x>0,所以由 2x(x-a)<1 得 x-a< 1 =2-x. 2x
在坐标系中,作出函数 f(x)=x-a,g(x)=2-x 的图象,
当 x>0 时,g(x)=2-x<1,所以如果存在 x>0,使 2x(x-a)<1,则 有-a<1,即 a>-1,故选 D.
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1.指数与对数式的七个运算公式 (1)am·an=am+n; (2)(am)n=amn; (3)loga(MN)=logaM+logaN;
(4)loga M =logaM-logaN; N
(5)logaMn=nlogaM;
(6) aloga N =N; (7)logaN= logb N (a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0).
3x 1
3x 1
得函数 f(x)是奇函数,设 g(x)=2x+sin x,h(x)= 3x 1 ,因为 g′(x)=2+cos x>0, 3x 1
则 g(x)在 R 上是增函数,因为 h(x)=1- 2 ,则 h(x)在 R 上是增函数, 3x 1
所以函数 f(x)在 R 上是增函数,又 f(x1)+f(x2)>0,即 f(x1)>-f(x2)=f(-x2), 所以 x1>-x2,即 x1+x2>0,故选 D.
2
2
故选 B.
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方法技巧 利用指、对数函数的图象与性质可求解以下两类问题
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区 间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合 法求解.
选项 B,由函数图象的凸凹性可知 f( x1 x2 )> f x1 f x2 ,故 B 错误;
2
2
选项 C,令 g(x)= f x = 1nx ,由于 g′(x)= 11nx ,
x
x
x2
当 x∈(0, 1 ),g′(x)>0,即函数 g(x)在区间(0, 1 )上为增函数,
e
e
故 x1<x2 g(x1)<g(x2) f x1 < f x2 x2f(x1)<x1f(x2),故 C 正确;
因为 f′(x)=3x2-3x·ln 3,所以 f′(3)=27-27ln 3<0,
f′(4)=48-81ln 3<0,所以函数 f(x)在(3,4)上是单调减函数,
所以 f(π)<f(3)=0,所以π3-3π<0,即π3<3π,所以 a<b;所以 a<b<c,故选 A.
(2)由 f(-x)=-2x+sin(-x)+ 3x 1 =-(2x+sin x+ 3x 1 )=-f(x),
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1.怎么考 (1)对指数函数、对数函数及幂函数的考查多以指数与对数的运算、求指数 型或对数型函数的定义域、比较函数值大小等问题为主. (2)利用指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质, 由函数零点(方程的实根)的存 在情况确定相关参数的取值或取值范围. 2.怎么办 (1)熟练掌握指数与对数的运算性质是学好该部分知识的基础. (2)熟练掌握指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质.
1.已知函数
f(x)=
2x1 log2
2, x 1,
x 1,
x
1,
且
f(a)=-3,则
f(6-a)等于(
A
)
(A)- 7 (B)- 5 (C)- 3 (D)- 1
4
4
4
4
解析:因为
f(x)=
2x1 log2
2, x 1,
x 1,
x
1,
f(a)=-3,所以
a
1, log2
a
1
(2)由
0<x≤
1
,且
logax>4x>0,可得
0<a<1,由
1
42
=loga
1
可
2
2
得 a= 2 .令 f(x)=4x,g(x)=logax,若当 0<x≤ 1 时,4x<logax,
2
2
则说明当 0<x≤ 1 时,f(x)的图象恒在 g(x)图象的下方(如 2
图所示),此时需 a> 2 .综上可得 a 的取值范围是( 2 ,1).
log
2
3
2 = log2
3
3 2
=
27 =3
3.
2
2
(2)因为 2015=503×4+3,所以 f(2015)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=( 1 )-1=2.
2
答案:(1)- 1 3 3 (2)2 2
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2.比较函数值的大小
【例 2】 (1)设 a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则 a,b,c 的大小关系是( ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)b<c<a
B
(A)a<b<c
(B)c<a<b
(C)a<c<b
(D)c<b<a
解析:由于f(x)为偶函数,所以m=0,即f(x)=2|x|-1,其图象过原点,且关于y轴对称, 在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递增.又a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),b=f(log25), c=f(0),且0<log23<log25,所以c<a<b.故选B.
的是( )
(A)x1>x2 (B)x1<x2 (C)x1+x2<0 (D)x1+x2>0
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解析:(1)因为 a=π3,b=3π,c=(2e)π,函数 y=xπ是 R 上的增函数,且 2e>3,
所以 3π<(2e)π,即 b<c;设 f(x)=x3-3x,则 f(3)=0,所以 x=3 是 f(x)的零点.
a>1 时,在(0,+∞)上单调递增;0<a<1 时,在(0,+∞)上单调递减 0<a<1,当 x>1 时,y<0,当 0<x<1 时,y>0
a>1,当 x>1 时,y>0;当 0<x<1 时,y<0
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温馨提示 (1)指数、对数运算时,千万不要忽视字母的正负.(2)利用指数函数、对 数函数的单调性时,易忽视对底数的讨论.(3)幂函数y=xα的图象与性质需分幂指 数α>0,α<0两种情况.
4
4
42
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(2)设
a=sin(2015π-
π 6
),函数
f(x)=
ax , x 0,
f
x,
x
0,
则
f(log2
1 6
)的值等于
()
(A) 1 4
(B)4
(C) 1
(D)6
6
解析:(2)a=sin(2015π- π )=sin(2014π+π- π )=sin(π- π )=sin π = 1 ,
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4.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在
0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保
鲜时间是( )
C
(A)16小时
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举一反三 2-1: (1)已知 a=π3,b=3π,c=(2e)π,则 a,b,c 的大小关系为( )
(A)a<b<c (B)a<c<b
(C)b<c<a (D)b<a<c
(2)已知函数 f(x)=2x+sin
x+ 3x 1 3x 1
(x∈R),f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式正确
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1.基本初等函数的有关运算
【例 1】
(1)设
f(x)=
1
2
x
,
x
x,
x 0,
0，则
f(f(-2))等于(
)
(A)-1
(B) 1 4
(C) 1 2
(D) 3 2
解析:(1)因为 f(-2)=2-2= 1 ,所以 f(f(-2))=f( 1 )=1- 1 = 1 ,故选 C.
x1
x2
同理,令 h(x)=xf(x)=xln x,可知 x1f(x1)>x2f(x2),D 错误.故选 C.
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方法技巧 三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结 合图象比较大小.
3
或
a 1, 2a1
2
3,
解得
a=7,所以
f(6-a)=f(-1)=2-1-1-2=-
7 4
,故选
A.
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2.设a=log32,b=log52,c=log23,则( )
D
(A)a>c>b (B)b>c>a
(C)c>b>a
(D)c>a>b
解析:因为 1<log23<log25,所以 1> 1 > 1 >0, log2 3 log2 5
6
6
6
62
则 f(x)=
f
1 2
x
,
x
x,
0, x 0,
得
f(log2
1 6
)=f(log26)=
1 2
log2
6
=
1 6
,故选
C.
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方法技巧 已知函数的解析式求函数值,常用代入法.代入时,一定要注意函数的对 应法则与自变量取值范围的对应关系,有时要借助函数性质与运算性质进行转 化.
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举一反三 1-1:
(1)计算:log2 2 =
2 , = log2 3log4 3
.
2
(2)已知函数 f(x)=
1 2
x
,
x
0,
则 f(2015)=
.
f
x
4
,
x
0,
解析:(1)log2
2
1
=log2 2 2
=-
1
, 2log2 3 log4 3
2 = 3 2
logb a
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2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数
对数函数
图象
单调性
函数值 性质
0<a<1 时,在 R 上单调递 减;a>1 时,在 R 上单调递增 0<a<1,当 x>0 时,0<y<1;当 x<0 时,y>1 a>1,当 x>0 时,y>1;当 x<0 时,0<y<1
(B)20小时
(C)24小时
(D)28小时
解析:依题意有 192=eb,48=e22k+b=e22k·eb,
所以 e22k= 48 = 48 = 1 ,所以 e11k= 1 或- 1 (舍去),
eb 192 4
22
于是该食品在 33 ℃的保鲜时间是
e33k+b=(e11k)3·eb=( 1 )3×192=24(小时).故选 C. 2