高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识集锦
单选题
1、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）
A ．{x |0<x <3}
B ．{x |x <0或x >3}
C ．{x |1<x <3}
D ．{x |−1<x <3} 答案：A
分析：由题知{b
a =−1
c
a
=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，
所以a <0，且{
(−1)+2=−b
a (−1)×2=
c a ，即{b
a =−1
c
a
=−2
②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c
a −b
a )<0③．
将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A
2、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ） A ．{x |x 〉1或x <−1
6}B ．{x |−1
6<x <1} C ．{x |x 〉1或x <−3}D ．{x |−3<x <2} 答案：B
分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−1
6<x <1，故原不等式的解集为{x |−1
6<x <1}．
法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．
3、若不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则a +b =（ ） A ．−2B ．0C ．1D ．2 答案：D
分析：根据一元二次不等式与一元二次方程的关系以及韦达定理列方程组，可解出答案． 不等式ax 2+bx −2<0的解集为{x|−2<x <1}，则方程ax 2+bx −2=0根为−2、1， 则{−b
a =−2+1−2
a =−2×1，解得a =1,
b =1，∴a +b =2， 故选：D
4、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D
分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，
所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D
5、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．a
b
<1B ．b
a
+a
b
>2
C ．
1
ab
2<
1a 2b
D ．a 2+a <b 2+b
答案：C
分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答. 取a =−2,b =−1，满足a <b ，而a
b =2>1，A 不成立；
取a =−2,b =1，满足a <b ，而b
a +a
b =−1
2+(−2)=−5
2<2，B 不成立； 因1
ab 2−1
a 2
b =a−b
a 2
b 2<0，即有1
ab 2<1a 2b ，C 成立；
取a =−2,b =−1，满足a <b ，而a 2+a =2,b 2+b =0，即a 2+a >b 2+b ，D 不成立． 故选：C
6、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ） A ．4×
x 0.5≥100B ．4×
x 0.5≤100
C ．4×x
0.5>100D ．4×x
0.5<100 答案：C
分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x
0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×
x 0.5
m ．
由题意可得4×x
0.5>100． 故选：C. 7、不等式
x−1x+2
<0的解集为（ ）
A ．{x|x >1}
B ．{x|x <−2}
C ．{x|−2<x <1}
D ．{x|x >1或x <−2} 答案：C
解析：由x−1
x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，进而可求出不等式的解集. 由题意，
x−1x+2<0等价于(x −1)(x +2)<0，解得−2<x <1， 所以不等式x−1x+2
<0的解集为{x|−2<x <1}.
故选：C.
小提示：本题考查分式不等式的解集，考查学生的计算能力，属于基础题. 8、下列说法正确的为（ ） A ．x +1
x ≥2 B ．函数y =
2√x 2+3
的最小值为4
C ．若x >0,则x(2−x)最大值为1
D．已知时，a+4
a−3≥2√a⋅4
a−3
，当且仅当a=4
a−3
即a=4时，a+4
a−3
取得最小值8
答案：C
分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；
对于选项B,y=2
√x2+3=2
√x2+3
=2√x2+3
√x2+3
√x2+3=t(t≥√3)，
即y=2t+2
t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3+
√3
=8√3
3
,
则B不正确；
对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；
对于选项D,当时，a+4
a−3=a−3+4
a−3
+3≥2√(a−3)⋅4
a−3
+3=7，当且仅当
a−3=4
a−3
时，即a=5，等号成立，则D不正确.
故选：C.
多选题
9、若a,b均为正数，且a+2b=1，则下列结论正确的是（）
A．ab的最大值为1
8
B．1
a +2
b
的最小值为9
C．a2−b2的最小值为−1
3
D．a2+b2的最小值为1
5
答案：ABD
分析：对于A，B，利用均值不等式或“1”的妙用计算判断；对于C，D化成关于b的二次函数即可判断作答. 因a,b均为正数，且a+2b=1，
则有ab=1
2⋅a⋅2b≤1
2
⋅(a+2b
2
)2=1
8
，当且仅当a=2b=1
2
时取“=”，即ab的最大值为1
8
，A正确；
1 a +2
b
=(a+2b)(1
a
+2
b
)=5+(2b
a
+2a
b
)≥5+2√2b
a
⋅2a
b
=9，当且仅当a=b=1
3
时取“=”，即1
a
+2
b
的最小值为
9，B正确；3
a>
3
a>
显然0<b <12
，a 2−b 2=(1−2b)2−b 2=3b 2−4b +1在b ∈(0,1
2
)上单调递减，无最小值，C 不正确；
a 2+
b 2=(1−2b)2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15≥15，当且仅当b =25时取“=”，即a 2+b 2的最小值为1
5，D 正确. 故选：ABD
10、已知a >0，b >0，则下列命题成立的有（ ） A ．若ab =1，则a 2+b 2≥2B ．若ab =1，则1
a +1
b ≥2 C ．若a +b =1，则a 2+b 2≤1
2D ．若a +b =1，则1
a +1
b ≥4 答案：ABD
分析：利用基本不等式逐项判断.
A.若ab =1，则a 2+b 2≥2ab =2，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；
B.若ab =1，则1
a
+1
b ≥2√
1
ab
=2当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；
C.若a +b =1，则a 2+b 2≥1
2(a +b )2=1
2，当且仅当a =b =1时，等号成立，故错误； D.若a +b =1，则1
a +1
b =a+b ab
=1ab ≥
1(
a+b 2
)2
=4，当且仅当a =b =1时，等号成立，故正确；
故选：ABD
11、（多选）已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a +b √
ab ≥3B ．(a +b )(1a +1
b
)≥4 C ．
22√ab
≥a +b D ．√a+b
≥√ab
答案：AD
分析：A 选项，利用基本不等式a +b ≥2√ab 和2√ab +
√
ab
≥2√2√ab √ab
可得出该不等式的正误；B 选项，
将不等式左边展开，然后利用基本不等式可验证该选项中的不等式是否成立；C 选项，利用基本不等式a 2+b 2
≥
(a+b )2
2
以及√ab ≤
a+b 2
可验证该选项中的不等式是否成立；D 选项，取特殊值验证该选项中的不等式是否
成立.
对于A ，a +b √
ab
≥2√ab +
√
ab
≥2√2<3，当且仅当a =b =√2
2
时等号同时成立；对于B ，(a +b )(1
a +
1b
)=2+a b +b a ≥2+2√a b ⋅b
a =4，当且仅当a =
b 时取等号； 对于C ，
22√ab
≥
22√ab
≥
(a+b )2a+b
=a +b ，当且仅当a =b 时取等号； 对于D ，当a =12
，b =13
时，
√a+b
=
1
3
√
6
=√215
，√ab =√16
，√16
>√2
15
，
所以
√a+b
<√ab .
故选AD.
小提示：本题考查利用基本不等式验证不等式是否成立，再利用基本不等式时要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查推理能力，属于中等题. 12、下列命题不正确的（ ）
A ．1
a <1
b <0⇒|a|>|b|B ．a
c >b
c ⇒a >b
C ．a 3>b 3ab >0}⇒1a <1b
D ．a 2>b 2ab >0
}⇒1a <1b 答案：ABD
分析：利用不等式的性质，结合特殊值法、比较法逐一判断即可.
A ：∵1
a <1
b <0∴ab >0且−1
a >−1
b >0，因此−1
a ⋅a
b >−1
b ⋅ab >0⋅ab ， 即−b >−a >0⇒|−b |>|−a |>0⇒|b |>|a |，故本命题不正确； B ：因为
4−2>
8
−2
，显然4>8不成立，所以本命题不正确；
C ：由a 3>b 3⇒a 3−b 3=(a −b)(a 2+ab +b 2)>0，而ab >0， 所以有a >b ，而1
a −1
b =
b−a ab
<0⇒1a <1
b ，故本命题正确；
D ：若a =−2,b =−1，显然{a 2>b 2ab >0
成立，但是1−2<1
−1不成立，故本命题不正确，
故选：ABD
小提示：方法点睛：关于不等式是否成立问题，一般有直接运用不等式性质法、特殊值法、比较法. 13、已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a >b ，c >d ，则a -d >b -c B ．若a >b ，c >d 则ac >bd C ．若ab >0，bc -ad >0，则c
a >d
b D ．若a >b ，
c >
d >0，则a
d >b
c
答案：AC
分析：根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案. 解：由不等式性质逐项分析：
A 选项：由c >d ，故−c <−d ，根据不等式同向相加的原则a −d >b −c ，故A 正确
B 选项：若a >0>b ，0>c >d 则ac <bd ，故B 错误；
C 选项：ab >0，bc −ad >0，则
bc−ad ab
>0，化简得c a
−d
b
>0，故C 正确；
D 选项：a =−1，b =−2，c =2，d =1则a
d =b
c =−1，故D 错误. 故选：AC 填空题 14、函数f(x)=√ax 2+3ax+1
的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．
答案：[0,4
9)
分析：由题知不等式ax 2+3ax +1>0恒成立，进而分a =0和a ≠0两种情况讨论求解即可. 解：因为函数f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2+3ax +1>0恒成立．
所以，当a =0时，不等式等价于1>0，显然恒成立；
当a ≠0时，则有{a >0Δ<0，即{a >0
9a 2−4a <0
，解得0<a <49.
综上，实数a 的取值范围为[0,4
9).
故答案为: [0,4
9)
15、方程x 2−(2−a )x +5−a =0的两根都大于2，则实数 a 的取值范围是_____． 答案：−5<a ≤−4
分析：根据一元二次方程根的分布即可求解.
解：由题意，方程x 2－(2－a)x +5－a =0的两根都大于 2， 令f (x )=x 2－(2－a)x +5－a ，
可得{△≥0
f(2)>0
2−a 2>2
，即{
a2≥16
a+5>0
2−a>4
，解得－5<a≤－4．
所以答案是：−5<a≤−4.
16、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.
答案：10≤V≤40
分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.
第一次操作后，利下的纯药液为V−10，
第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10
V
×8，由题意可知：
V−10−V−10
V
×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，
因为V≥10，所以10≤V≤40，
所以答案是：10≤V≤40
解答题
17、解关于x的不等式：x2−(3a−1)x+2a2−2a>0．
答案：见解析
分析：根据条件得[x−(a−1)](x−2a)>0，讨论a−1与2a的大小,求解即可.
原不等式可化为[x−(a−1)](x−2a)>0，
讨论a−1与2a的大小．
（1）当a−1>2a，即a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；
（2）当a−1=2a，即a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；
（3）当a−1<2a，即a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.
综上：当a<−1时，不等式的解为{x|x〉a−1或x<2a}；当a=−1时，不等式的解为{x∈R|x≠−2}；当a>−1时，不等式的解为{x|x〉2a或x<a−1}.
18、已知关于x的不等式mx2+5x+m<0，m∈R．
（1）若m =2，则求上述不等式的解集；
（2）若上述不等式对一切x ∈R 恒成立，则求m 的取值范围． 答案：（1）(−2,−1
2)；（2）m <−5
2．
分析：（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；
（2）由不等式在x ∈R 上恒成立，讨论m =0、m ≠0，结合二次函数的性质求m 的范围． （1）将m =2代入不等式，得：2x 2+5x +2<0，即(2x +1)(x +2)<0，得−2<x <−1
2， ∴不等式的解集为(−2,−1
2
)；
（2）∀x ∈R,mx 2+5x +m <0恒成立，
1）当m =0时，有5x <0，显然不恒成立，舍去；
2）当m ≠0时，由二次函数的性质得：{m <0
Δ=25−4m 2
<0
，解得m <−52； ∴综上，有m <−5
2.。