《信号与系统引论》郑君里版第一章课后答案

1-1分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
第
L f (t)
N
0 ■
(a) t
只取1, 2, 3, 4值4
3
2
1
(b)
i
L f (t) 只取1, 2, 3值
3, ! H I
2
I h I i
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
(C)
1 I
只取0,
P
1
1值
___________________ k.
0 12345678 n"
1L f (t)
h
■-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 t
(d)
X (n)
只取-1, 1值
1
4 5 6 8 ■0 1 2 3 7 n r -1 4 JI-
(f)
申X
(n)
图1-
2
解信号分类如下:
（a ） 连续信号（模拟信号）； （b ） 连续（量化）信号； （C ）离散信号，数字信号； （d ） 离散信号；
（e ） 离散信号，数字信号； （f ） 离散信号，数字信号。

1-2分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复 1-1题所示问） （1） e at Sin （ t ）； （2） e nτ ； （3） cos （n ）；
（4） Sin （n 。

）（。

为任意值）； （5） I 2。

2
解
由1-1题的分析可知： （1） 连续信号； （2） 离散信号；
（3） 离散信号，数字信号； （4） 离散信号； （5） 离散信号。

1-3分别求下列各周期信号的周期T ： （1） COs （Iot ） cos （30t ）； （2） e j10t ； （3） [5sin （8t ）]2 ；
（4） （ 1）n u （t nT ） u （t nT T ）（ n 为整数）。

n 0
解判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察 各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数； 若不存在，
信号
离散
模拟：幅值、时间均连 量化：幅值离散，时间 续（例见图1 2（ a ））
抽样 数字 时间离散，幅值 幅值、时间均离 连续（例见图1 连续（例见图1
囂）图1-1
所示信号分别为 散（例见图1 2（ d ））
则该复合信号为非周期信号。

(1)
对于分量CoS(Iot)其周期T I ;对于分量cos(30t),其周期T 2。

由于 5
15
—为T 1∖ T 2的最小公倍数，所以此信号的周期 T -O 5 5 (2) 由欧拉公式 e j t cos( t) jsin( t) 即 e j10t cos(10t) jsin(10t) 得周期T
2 O
10 5
(3)因为 2
5s in (8t) 25 1 cos(16t)
2
25 25
cos(16t)
2 2
所以周期T 2
O
16 8
(4)由于
原函数
1,2 nT t 1,(2 n 1)T
(2n 1)T t (2n 2)T
为正整数
图1-3
1-4对于教材例1-1所示信号，由f(t)求f(-3t-2),但改变运算顺序，先求f(3t)或先求f(- t),
讨论所得结果是否与原例之结果一致。

解原信号参见例1-1 ,下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f(t)的波形求 得f(-3t-2)的波形。

两种方法分别示于图1-4和图1-5中。

图1-4
图1-5
1-5已知f(t),为求f(t 。

at)应按下列那种运算求得正确结果
(1) f ( at)左移
t ； (2) f (at)右移 t o
； (3) f (at)左移 to ；
a (4) f ( at)右移 to
a
1-6绘出下列各信号的波形：
1
(1) 1 1SIn( t) S ∣n(8 t)；
2
(2) 1 sin( t) Sin(8 t)。

方法一:
倍乘
反褶
倍乘
--
(式中t 0,a 都为正值)？
解(1)因为f( at)左移t o ，得到的是f 算不行。

(2) 因为f(at)右移t o ,得到的是f a(t (3) 因为f (at)左移t 0，得到的是f a(t
a
(4) 因为f ( at)右移-0 ,得到的是f
a
a(t t o )
f( at at o )，所以采用此种运
t o ) f (at at o ),所以采用此运算不行。

tL ) f(at
t o ),所以采用此运算不行。

a
a(t 5) f(t o at),所以采用此运算不 a
f(3t) 1
f(-3t)
1 0
3
*t
f(-3t)
1 0
3 2^t
解(1
)波形如图1-6
所示(图中f(t) 1 1sin( t) Sin(8 t))
(2)波形如图所示 1-7 (图中 f(t) 1 sin( t) Sin (8 t))
1-7绘出下列各信号的波形：
4
(1) u(t) u(t T) Sin(—t);
4
(2)
u(t) 2u(t T) u(t 2T) Sin( t)。

4 T
解sin(— t)的周期为一。

T 2
(1) 波形如图1-8(a )所示(图中u(t) u(t
f(t)
1.5 1
11 I
；
Jri
r I
f I
Λ
f Λ A A
0.5 I E
I \
A
I I I t 2 ^8^ ___
I I
i! I 1 I
t 'r
ft
「I
• V l
- I I V
⅛ ；
I I I 'J
I IIj
;\
V
V
J
≡
i i '.J
I
-
图1-6
f(t)
4
T) Sin(-Tt) )0 在区间 0,T ,内，包
4
含有Sin(〒t)的两个周期
f(t) f(t)
1 1
T 0
t T
T
2
∖1
1 1
⑻
(b)
]u(t (0 t )
t
e )d e O
a (I
a (a (t o
t o )
-(1 e a(t a
at ) t o ) e
at X
e ) at
)
2T t
at a (t t o ) u(t) e u(t t o )]
t
o )
)
at [e
1
a (
tt
o )[
—[1 e ]u(t t o ) a
1
[1 e a(tt O
) ]u(t t o ) a
t
f( 图1-8
4
(2)波形如图 1-8(b )所示(图中 u(t) 2u(t T) u(t 2T) S in(〒t))。

在区间 T,2T 4 4 内是 Sin( — t),相当于将Sin (〒t)倒像。

O u(t 为 1-8试将教材中描述图1-15波形的表达式(1-16)和(1-17)改用阶越信号表示。

解表达式(1-16)为 当 0 t t o t O
)
当 t 0 t 若借助阶越信 t o ) at e f
(t) at a(t
e e
这是一个分段函数 Qt f(t) e u(t)
表达式(1-17) 号，则可将其表示为 a(t t o ) e
e at
)[u(t) u(t t o )]
t f( )d I —(1 a
借助阶越信号，可将其表示为
丄(1 a
e at
)u(t)
(1)
f(t) (2 e t )u(t)； (2) f(t) (3e
t 6e 2t )u(t)； (3) f(t) (5e t 5e 3t )u(t)； (4) f(t)
t
e cos(1o t)[u(t 1) u(t 2)]
1-9粗略绘出下列各函数式的波形图:
(1) 信号波形如图1-9 (a )所示 (2) 信号波形如图1-9 (b )所示 (3) 信号波形如图1-9 (C )所示
(d )所示。

在区间［1 , 2］包含CoS(Io t)的5个周期 1-10写出如图所示各波形的函数式。

解(a )由图1-10 (a )可写出
图1-9
(4)信号波形如图1-9 f f(t)
f(t)
图 1-10
* f(t)
(C )
1
1 t (
2 t 0) 2 1
f(t) 1 2 (Ot 2)
0 (其它) 于是 f(t) 1 号[u(t 2) u(t 2)] (b ) 由图1-10 (b ) 可写出
(t 0)
f(t)
1 (0 t
1)
2 (1 t 2)
3 t 2
于是 f(t)
[u(t) u(t 1)] 2[u(t 1) u(t 2)] 3u(t 2) u(t) u(t 1) u(t 2)
实际上，可看作三个阶越信号u(t), u(t 1), u(t 2)的叠加，见图1-11 ,因而可直接 写出其函数表达式为
↑ u(t)
↑ u(t-1) A u(t-2)
1 - +
——► 一
t
图 1-11
f(t) u(t) u(t 1) u(t 2)
(C )由图1-10(a )可写出
于是 f(t) ESin — t [u(t) u(t T)] T 1-11绘出下列各时间函数的波形图: (1) te t u(t)；
(2) e (t I)[u(t 1) u(t 2)]； (3) [1 cos( t)][u(t) u(t 2)]；
f(t)
E
Sin T t (O t T )
(其它)
(4)
(5)u(t) 2u(t 1) u(t 2); Sin a(t t o)；
7
a(t t°)
(6)解—[e t Sin tu(t)]。

dt
i f(t)
(2)
(3)
(4) 信号波形如图
信号波形如图
信号波形如图
1-12(b)
1-
12(C)
1-12(d)
所示,
所示,
所示,
图1-12
图中f(t)
图中f(t)
图中f(t)
(5)信号波形如图1-12(e)所示，图中f(t)e (t I)[u(t 1) u(t 2)] 0
[1 cos( t)][u(t) u(t 2)] o u(t)
2u(t 1) u(t 2) o
Sina(t tO)
,信
号关于t t0
a(t t o)
偶对
称。

(6)因为
d t
[e Sin tu(t)]
dt
e t Sin tu(t) e t costu(t) e t Si nt (t)
e t Sin tu(t)
1
t COS tu(t)——CoSt
√2 4
e t u(t)
所以该信号是衰减正弦波。

其波形如图1-12(f)所示，图中f(t) — [e t Sintu(t)]。

dt
1-12绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区间:
(1)t[u(t) u(t 1)];
(2)t u(t 1)；
(3)t[u(t) u(t 1)] u(t 1)；
(4)(t 1)u(t 1)；
(5)(t 1)[u(t) u(t 1)]；
(6)t[u(t 2) u(t 3)]；
(7)(t 2)[u(t 2) u(t 3)]。

图1-13
(2) 信号波形如图1-13(b)所示，图中f(t)
(3) 信号波形如图1-13(C)所示，图中f(t)
(4) 信号波形如图1-13(d)所示，图中f(t)
(5) 信号波形如图1-13(e)所示，图中f(t)
(6) 信号波形如图1-13(f)所示，图中f(t)
(7) 信号波形如图1-13(g)所示，图中f(t) t u(t 1)。

t[u(t) u(t 1)] u(t 1) (t 1)u(t 1)。

(t 1)[u(t) u(t 1)]。

t[u(t 2) u(t 3)]。

(t 2)[u(t 2) u(t 3)]
1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别: (1) f 1 (t) sin( t) u(t)；
(2) f
2 (t) sin( (t t
o)) U(t)；
(3) fβ(t) sin( t) u(t t O)；
(4)f1 (t) sin( (t t O)) U(t - t o)。

(2)信号波形如图1-14(b)所示。

(3) 信号波形如图1-14(C)所示。

(4) 信号波形如图1-14(d)所示。

1-14应用冲激函数的抽样特性，求下列表示式的函数值: (1) f
(t t o ) (t)dt ；
(2) f(t ° t) (t)dt ； (3) (t t o )u(t to )dt ；
2 (4) (t t
o
)u (t
2t o )dt ；
(5) (e t
t) (t
2) dt ；
(6) (t Sint) (t
6) d t
；
(7)
e j t [ (t)
(t t o )] dt O
解有冲激信 号的抽样特性 f(t)
(
t t O ) dt
f (t o )得
(1) f(t
t O ) (t)dt
f ( t O )
(2)
f (t. 0 t ) (t)dt
f (t O )
(3) 设t o
0 ,则 (t t o )u(t
t 0
) dt
U t o
t 0
U 5
2
2
2
(4) 设t o 0 ,则 (t t o )u(t 2t o )dt u(
t 0
)
(5) (e t
t) (t
2) dt :e 2 2
(6) (t Sint) (t 6)
dt - 6 Sin —
— 6 6
1 2
(7) e j t [ (t)
(t t o )] dt 1
e j t o
此题的(3)、(4)两小题还可用另一种方法求解： (3) 冲激(t t o )位于t o 处，阶越信号Ut 直 始于上，因而
2 2 (t t o )u t t2 (t t o ) 则原式= (t t 0)dt 1
(4) 冲激仍位于t o ,而u(t 2t o )始于2t o ,也就是说在t o 处，u(t t o ) (t t o )u(t 2t o ) o
0，因而
则原式=Odt 0
1-15电容C I和C2串联，以阶越电压源v(t) Eu(t)串联接入，试分别写出回路中的
电流i(t),每个电容两端电压V ci(t)、V c2(t)的表达式。

i(t)
图1-15 图1-16
解由题意可画出如图1-15所示的串联电路，两电容两端的电压分别为V c1 (t )，V c2 (t)，则回路电流
C1C2 dv(t) C1C2卄亠
i(t) 1 2--宁1 E (t)其中,
C1 C2 dt C1 C2
再由电容的电流和电压关系，有
1-16电感L1与L2并联，以阶越电流源i(t) Iu(t)并联接入，试分别写出电感两端电压
V(t)、每个电感支路电流「⑴、心⑴的表示式。

解由题意可画出图1-16所示并联电路，两条电感支路的电流分别为i L1(t)和i L2(t)，
则电感两端电压
其中LIL2
为L 1、L2的并联等效电感值
L
I
L
2
再由电感的电流和电压关系，有
V Ll(t) * 心⑴
L
I
L2 C2
C2的串联等效电容值。

Vd(t)丄t i(t)dt
C1
C2E
C1 C2
u(t)
V c2(t)
1 t
C7i(t)dt
C1E
C1 C2
u(t)
L1L2 di(t)
L1 L2 dt
L丄2
L1 L2
I (t)
i L1 (t) i L2(t)
t
V(t)dt
L2I
L1
-u(t)
L
2
-'V(t)dt
-2 L1 L2
u(t)
G
v(t) i(t)
1
1-17分别指出下列各波形的直流分量等于多少？ (1) 全波整流 f(t) sin( t); (2) f(t) sin 2( t)；
(3) f (t) cos( t) sin( t)；
(4) 升余弦 f(t) K[1 cos( t)]。

2
解(1)sin( t)的周期为 —，I Sin( t)的周期为一，因而f(t)的直流分量
1 τ —
1
1 2 f D T 0 PM — 0 sin( t)dt cos( t)∣°
(11)
—
2 1 1
(2) f (t) Sin ( t) cos(2 t)由于cos(2 t)在一个周期内的平均值为0，因而
2 2 1 f(t)的直流分量f D
-。

(3) f (t)的两个分量cos( t)和sin( t)的周期均为—，因而的周期也为—。

但由 于cos( t)和sin( t)在一个周期内的均值都为0，所以f(t)的直流分量f D 0。

(4) f(t)与(2)中f(t)类似，所以f ° K ,理由同(2)。

解 (a )信号f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量f e (t)、f o (t)如图1-18( a )、(b )、 (C )所示。

J l
l f(t) 1
1 0 1 :
— =— 2
2
(b)
1-18粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量
(a)
1-19绘出下列系统的仿真框图：
(I)
h (t )aor(t) boe(t) b1f e(t)；
-J Z -
-J
-J
(2) ― r(t) aι-r(t) a °r(t) b °e(t) b —e(t)。

-3 -2
f(-t)
0 (a )
(b )因为f(t)是偶函数，所以f(t)只包含偶分量，
f e (t)
f(t)，f o (t) 0
(C )信号f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量f e (t)、f °(t)如图1-19
没有奇分量，即
(a )、(b )、
f(t)的反褶 f( t)及其偶、奇分量 f e (t)、f o (t)如图 1-20 (a )、(b )、(C )
(d )信号 图 1-20
dt dt dt
解(1)选取中间变量q(t),使之与激励满足关系：
d d t) a°q(t) e(t) ①
dt
将此式改写成四® e(t) a°q(t),易画出如图1-21(a)所示的方框图。

再将①代
dt
入原微分方程，有
r'(t) a°r(t) b°[q'(t) a°q(t)] b1[q"(t) a°q'(t)] b°q'(t) b1q"(t) a。

b°q(t) b1q'(t) 对比两边，可以得到q(t)与r(t)之间的关系式：
r(t) b°q(t) dq'(t)
将此关系式在图1-21(a)中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-21 (b)所示
图1-21
(2)方法同(1)。

先取中间变量q(t),使q(t)与e(t)满足:
q"(t) a1q'(t) a°q(t) e(t)
将②式代入原微分方程后，易看出q(t)与r(t)满足：
r(t) b°q(t) b1q'(t)
将②、③式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图
bi
a。

图1-22
1-20判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的?
(1) r(t)
dt ；
(2)r(t) e(t)u(t)；
(3)r(t) sin[e(t)]u(t)
；
(4) r(t) e(1 t)；
(5) r(t) e(2t)；
(6) r(t) e2(t)；
(7) r(t) t e( )d ；
(8) r(t) 5t
e( )d 。

解(1)由于
e1(t) r1(t) e2(t) D(t) deι(t)
dt de2(t) dt
而C1e1(t) C2e2(t) C1r1(t) C2r2(t) Cι-de-(^r2(t) C2
dt dt 所以系统是线性的。

当e(t) r(t) de(t),而激励为e(t t o)时，响应为dt
de(t t o)
dt de(t tO) r(t t0) d(t t0)
所以系统是时不变的
由r(t) 可知，响应r(t)只与此时的输入e(t)有关，与这之前或之后的输入都无dt
关，所以系统是因果的。

(2)由于
e√t)r√t)e1(t)u(t)
e2(t) r2(t) e2(t)u(t)
而C1e1(t) C2e2(t) C1e1(t)u(t) C2e2(t)u(t) C1r1(t) C2r2(t)
所以系统是线性的。

由于当e1(t) u(t 1) u(t 1)时，r1(t) u(t) u(t 1)
而e2(t) q(t 1) u(t) u(t 2)时，q(t) u(t) u(t 2) »(t 1)，
即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。

由r(t) e(t)u(t)可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。

(3)由于
e(t) r1(t) Sin [e(t)]u(t)
e2(t) r2(t) Sin [e2(t)]u(t)
而
C1e1(t) C2e2(t) r(t) sin C1e1(t)u(t) C2e2(t)u(t)
C1r1(t) C2r2(t) C1 sin[e1(t)]u(t) C2sin[e2(t)]u(t) 所以系统是非线性的。

当激励为e1(t t0 )时，响应r(t) sin[e1 (t )]u(t ) sin[ e1 (t t0)]u(t t0) r(t t0) 所以系统是时变的。

由r(t) sin[e(t)]u(t) 可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。

( 4)由于
e1(t) r1(t) e1(1 t)
e2(t) r2(t) e2(1 t)
而
C1e1(t) C2e2(t) r(t) C1e1(1 t) C2e2(1 t) C1r1(t) C2r2(t)
所以系统是线性的。

由于当e1(t) u(t) u(t 1.5)时，r1(t) u(t 0.5) u(t 1)
而当e2(t) e1(t 0.5) u(t 0.5) u(t 2)时，r2(t) u(t 1) u(t 0.5) r1(t 0.5) 所以系统是时变的。

令r(t) e(1 t)中t 0 ,则有，说r(0) e(1)明响应取决于将来值(O时刻输出取决于1时刻输入)，所以系统是非因果的。

( 5)由于
e1(t) r1(t) e1(2t)
e2(t) r2(t) e2(2t)
而
C1e1(t) C2e2(t) C1e1(2t) C2e2(2t)
C1r1(t) C2r2(t)
所以系统是线性的
由于当e1(t) u(t) u(t 1)时，r1(t) u(t) u(t 0.5)
而当e2(t) e1(t 1) u(t 1) u(t 2) r2(t) u(t 0.5) u(t 1) r1(t 1)
所以系统是时变的。

对于r(t) e(2t),令t 1 ,有r(1) e(2),即响应先发生，激励后出现，所以系统是非因果的。

( 6)由于
e1(t) r1(t) e12(t)
e2(t) r2(t) e22(t)
而
2
C1e1(t) C2e2(t) r(t) C1e1(t) C2e2(t)
C1r1(t) C2r2(t)
所以系统是非线性的。

由于e1(t) r1(t) e12(t)
2
e2(t) e1(t t0) r2(t) e12(t t0) r1(t t0)
由 r(t) e 2(t)知， (7)由于
0(t) 「1 (t)
e 2(t) r 2(t) 而 C 1e 1(t) C 2e 2 (t) t t 所以系统是时不变的。

e 2( )d
t C 1 e 1( )d 输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。

e ι( )d C 2 t e 2( )d C 1r 1(t) C 2r 2(t) 所以系统是线性的。

t 由于 e(t t o ) r( 所以系统是时不变的。

)d 可知，t 时刻的输出只与t 时刻以及t 时刻之前的输入有关，所以系 t o )d t o t 0
e(a)da r(t t O ) (8) 由于
5t q(t) 「1(t) q( )d
5t
e 2(t) r 2(t) e 2( )d 而 C 1e 1(t) C 2 5t e 2(t)
Ge() C 1r 1(t) C 2r 2(t) 由 r(t) t e( 统是因果的。

C 2e 2( )d 5t C i e ι( )d C 2 5t e 2( )d ) 所以系统是线性的。

5t 由于 e(t t o ) e( 所以系统是时变的 t 5t 对于 r(t) e( )d t O )d t o a 5t
e( a) da 5(t t o ) e(a)da r (t t O ) ,令t 1 即输出与未来时刻的输入有关, 有 r(1) 5 e( )d 所以系统是非因果的 1-21判断下列系统是否是可逆的。

若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该 系统产生系统输出的两个输入信 O
Q 号。

(1) r(t)
e(t 5)； (2)
r(t) -e(t)； dt
(3)
r(t) t e ( )d ； (4) r(t) e(2t)。

解(1)该系统可逆，且其逆系统为r(t) e(t 5)
(2)该系统不可逆，因为当，
q(t) O, e 2(t) C 2,( C 1 C 2且均为常数)时,
rι(t) Q(t),即不同的激励产生相同的响应，所以系统不可逆。

(3)该系统可逆。

因为微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为
d
r(t) —e(t)。

dt
(4)该系统可逆，且其逆系统为r(t) e(-)。

2
1-22若输入信号为，为使输出信号中分别包含以下频率成分：
(1)cos(2 o t) ；(2)cos(3 o t) ；(3)直流。

请你分别设计相应的系统(尽可能简单的)满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。

讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。

解(1)若系统的输入、输出具有约数关系r(t) e(2t)
则当此系统的输入信号为cos( o t)时，输出信号中会包含cos(2 o t)。

(2)若系统的输入、输出具有约数关系r(t) e(3t)
则当此系统的输入信号为cos( o t)时，输出信号中会包含cos(3 o t)。

(3)若系统的输入、输出具有约数关系r(t) e(t) C ( C为非零常数)
则当此系统的输入信号为cos( o t)时，输出信号中会包含直流成分。

三个小题中，输入信号均为cos( o t)，而输出信号中分别包含cos(2 o t)，cos(3 o t) 和直流频率成分，说明新的频率分量产生，也就是说信号cos( o t)经系统传输后，产生了新的频率成分，此为三种要求的共同性。

因此在设计系统中，要考虑改变输入信号的频率或增加新的频率成分，此为三个系统的共性。

1-23有一线性时不变系统，当激励q(t) u(t)时，响应n(t) e at u(t),试求当激励
eι(t) (t)时，相应的响应r2(t)表达式。

(假定起始时刻系统无储能。

)
解因为起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。

有LTl系统的微分性质，即若当激励为e(t)时产生的响应为r(t)，则当激励为吏©时
dt
产生的响应为d,有
dt
e1(t) u(t) r1(t) e at u(t)
e2(t) (t)
at
r2(t) [ ()]ae u(t) e (t) (t) ae u(t) dt。