6.3.1 《二项式定理》课件ppt
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2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
∴x 的系数为 - 2 × C10 = 4 ×45= 4 .
-2
1
= ·C 3 .
2
10-2
(3)当 Tk+1 项为有理项时, 3 为整数,0≤k≤10,且 k∈N.
10-2
3
令 3 =z,则 k=5-2z,
∴z 为偶数,从而求得当 z=2,0,-2 时,相应地 k=2,5,8 符合条件.
1 4
解 (1)(方法一)(3√ + )
√
1 3 4 1 4
0
1Байду номын сангаас
2
3
4
3 1
2 1 2
=C4 (3√) +C4 (3√) ·( )+C4 (3√) ·( ) +C4 (3√)·( ) +C4 ( )
√
√
√
√
12
1
=81x +108x+54+ + 2 .
2
1 4 3+1 4 1
.
(2)若(x- 1 )n展开式的第4项为含x3的项,则n等于(
x
A.8
B.9
C.10
)
D.11
答案 (1)1 792x3 (2)B
解析 (1)展开式的第 6 项是 T6=C85 x3·25=1
792x
.(2)Tk+1=C
3
·x
n-k
1 k
·(- ) =C
·(-1)k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},
∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即
10C32 ×21×(-3)2+5C41 ×23×(-3)1+25=92.
(方法二)∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5
=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),
∴展开式中x5的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.
=28+16√3,
∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44.
反思感悟(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律
是:①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减
1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多
名师点析 理解二项式定理的注意事项
(1)二项式定理形式上的特点:
①二项展开式有n+1项.
②二项式系数都是组合数 C (k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系
数不一定相等.
(2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有
区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.
2
5
1
45
1
63
2
5
2
2
∴有理项为 T3=C10 · - 2 x = 4 x ,T6=C10 - 2 =- 8 ,
8
1
-2 45 -2
8
T9=C10 - 2 x =256x .
反思感悟求二项展开式中的特定项的常见题型及解法
(1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值.
(2)求常数项,在通项中令字母的指数为0.
1
跟踪训练在(2x2- 3√x )8的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
解 (方法一)利用二项展开式解决.
1 8
2 8 1
2 7 1
(1) (2x - 3 ) =(2x ) -C8 (2x ) ·3 +
√
√x
2
1 2 3 25 1 3 4 24 1 4 5 23 1 5 6 22 1 6 7
(a+b)n=n0 + n1 − 1 + ⋯ + nk − + ⋯ + nn , ∈ ∗.
1.这个公式叫做二项式定理.
2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共
有 n+1项.
3.二项式系数:各项的系数 C (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
)
D.x5
二、二项展开式的通项
(a+b)n 展开式中的C − 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为
展开式的第 k+1 项:Tk+1=C − .
名师点析 二项展开式的通项形式上的特点
-1
+1
(1)它表示二项展开式的第 k+1 项,该项的二项式系数是C ,而不是C 或C .
开式,然后再求x5的系数.
解 (方法一)∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5
=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5
=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,
(3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数.
1 9
变式训练2求 - 的展开式中x3的系数及含x3的项的二项式系数.
解
1 9
1
- 的展开式的通项是 Tk+1=Ck 9x9-k - =(-1)kC9 x9-2k,令 9-2k=3,得
k=3,
所以 x3 的系数为(-1)3C93 =-84.
项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
解 原式=C50 (2x+1)5-C51 (2x+1)4+C52 (2x+1)3-C53 (2x+1)2+C54 (2x+1)-C55 (2x+1)0
=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
些二项式,运用通项求某些特定项、二
项式系数或项的系数.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
情境导入
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导
(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点
说明(a+b)4是如何展开的吗?
知识梳理
一、二项式定理
变式训练3(1)设a∈Z,且0≤a<13,若512 015+a能被13整除,则a等于(
A.0
B.1
C.11 D.12
(2)230-3除以7所得的余数为
.
)
答案 (1)B
(2)5
解析 (1)∵512 015=(52-1)2 015
014
=C20 015 ×522 015-C21 015 ×522 014+C 2 2 015 ×522 013-…+C22 015
(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.
(4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或
数,仍可用二项式定理展开.
微思考
二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?
提示 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指
C0 , C1 ,…,C ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该
2024
人教版普通高中教科书·数学
第六章
6.3.1 二项式定理
选择性必修
第三册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.能用计数原理证明二项式定理.(逻辑
推理)
2.理解二项式定理及二项展开式的特
征,能记住二项式定理和二项展开式的
通项.(数学抽象)
3.正确运用二项展开式展开或化简某
因为当 k+1=4 时,n-2k=3,所以 n=9.
课堂篇 探究学习
探究一
二项式定理的正用、逆用
1 4
例 1(1)求(3√ + ) 的展开式.
√
(2)化简:C0 (x+1)n-C1 (x+1)n-1+C2 (x+1)n-2-…+(-1)kC (x+1)n-k+…+(-1)nC .
0
1
9
10
=C10
×710+C10
×79+…+C10
×7+C10
-3
0
1
9
=7×(C10
×79+C10
×78+…+C10
)-2.
又余数不能为负数(需转化为正数),
∴230-3 除以 7 所得的余数为 5.
素养形成
转化思想在二项式定理中的应用
典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数.
审题视点 由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二项式的展
探究二
利用二项式定理求待定项及系数
3
例 2 已知在 √ -
1
2 3√
的展开式中,第 6 项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
思路分析先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第
(2)问、第(3)问.
解 (1)由通项知,展开式中第 k+1 项为
)
(3)C an-kbk 是(a+b)n 展开式中的第 k 项.(
)
答案 ×
解析 C an-kbk 是(a+b)n 展开式中的第 k+1 项.
微练习
化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得(
A.x4
B.(x-1)4
答案 A
解析 原式=(x-1+1)4=x4.
C.(x+1)4
(2)字母b的次数和组合数的上标相同.
(3)a与b的次数之和为n.
微思考
二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第 k+1项相同吗?
提示 不相同.前者 Tk+1=C an-kbk,后者 Tk+1=C bn-k·ak.解题时,题中给出的二项
式的两项是不能随意交换位置的.
微练习
(1)(x+2)8的展开式中的第6项为
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
延伸探究若(1+√3)4=a+b× √3(a,b 为有理数),则 a+b=
.
答案 44
解析 ∵(1+√3)4=C40 ×1+C41 ×(√3)1+C42 ×(√3)2+C43 ×(√3)3+C44 ×(√3)4
=1+4√3+18+12√3+9
方法点睛转化思想在二项式定理中的应用
转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的问题中,
主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式积的某项系数问
题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘
积的展开问题,所用方法一般是根据式子的特点转化为二项式展开来解决
问题.
×7676+C77
×7675+…+C77
×76+C77
-1
1
2
76
=76×(7676+C77
×7675+C77
×7674+…+C77
).
由于 76 能被 19 整除,因此 7777-1 能被 19 整除.
反思感悟用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写
成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r<m)的形式,利用二项展开式求解.
(方法二) (3√ + ) =(
) = 2 (1+3x)4
√
√
1 0
= 2 [C4 + C41 ·3x+C42 (3x)2+C43 (3x)3+C44 (3x)4]
1
= 2 (1+12x+54x2+108x3+81x4)
1
12
= 2 + +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
×52-1,
014
C20 015 ×522 015-C21 015 ×522 014+C22 015 ×522 013-…+C22 015
×52 能被 13 整除,
∴若 512 015+a 能被 13 整除,则 a-1 能被 13 整除.又 a∈Z,且 0≤a<13,则 a=1.
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
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因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
∴x 的系数为 - 2 × C10 = 4 ×45= 4 .
-2
1
= ·C 3 .
2
10-2
(3)当 Tk+1 项为有理项时, 3 为整数,0≤k≤10,且 k∈N.
10-2
3
令 3 =z,则 k=5-2z,
∴z 为偶数,从而求得当 z=2,0,-2 时,相应地 k=2,5,8 符合条件.
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解 (1)(方法一)(3√ + )
√
1 3 4 1 4
0
1Байду номын сангаас
2
3
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3 1
2 1 2
=C4 (3√) +C4 (3√) ·( )+C4 (3√) ·( ) +C4 (3√)·( ) +C4 ( )
√
√
√
√
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1
=81x +108x+54+ + 2 .
2
1 4 3+1 4 1
.
(2)若(x- 1 )n展开式的第4项为含x3的项,则n等于(
x
A.8
B.9
C.10
)
D.11
答案 (1)1 792x3 (2)B
解析 (1)展开式的第 6 项是 T6=C85 x3·25=1
792x
.(2)Tk+1=C
3
·x
n-k
1 k
·(- ) =C
·(-1)k·xn-2k,k∈{0,1,2,…,n},
∴x5的系数为上式各项中含x5的项的系数和,即
10C32 ×21×(-3)2+5C41 ×23×(-3)1+25=92.
(方法二)∵(1+2x-3x2)5=(1-x)5·(1+3x)5
=(1-5x+10x2-10x3+5x4-x5)·(1+15x+90x2+270x3+405x4+243x5),
∴展开式中x5的系数为243-5×405+270×10-10×90+5×15-1=92.
=28+16√3,
∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44.
反思感悟(1)(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律
是:①各项的次数和等于n.②字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减
1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.
(2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多
名师点析 理解二项式定理的注意事项
(1)二项式定理形式上的特点:
①二项展开式有n+1项.
②二项式系数都是组合数 C (k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系
数不一定相等.
(2)二项式定理中的字母a,b是不能交换的,即(a+b)n与(b+a)n的展开式是有
区别的,二者的展开式中的项的排列顺序是不同的,不能混淆.
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∴有理项为 T3=C10 · - 2 x = 4 x ,T6=C10 - 2 =- 8 ,
8
1
-2 45 -2
8
T9=C10 - 2 x =256x .
反思感悟求二项展开式中的特定项的常见题型及解法
(1)求含xk的项(或xpyq的项),在通项中令字母的指数为给定的值.
(2)求常数项,在通项中令字母的指数为0.
1
跟踪训练在(2x2- 3√x )8的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
解 (方法一)利用二项展开式解决.
1 8
2 8 1
2 7 1
(1) (2x - 3 ) =(2x ) -C8 (2x ) ·3 +
√
√x
2
1 2 3 25 1 3 4 24 1 4 5 23 1 5 6 22 1 6 7
(a+b)n=n0 + n1 − 1 + ⋯ + nk − + ⋯ + nn , ∈ ∗.
1.这个公式叫做二项式定理.
2.二项展开式:等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,二项展开式共
有 n+1项.
3.二项式系数:各项的系数 C (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
)
D.x5
二、二项展开式的通项
(a+b)n 展开式中的C − 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为
展开式的第 k+1 项:Tk+1=C − .
名师点析 二项展开式的通项形式上的特点
-1
+1
(1)它表示二项展开式的第 k+1 项,该项的二项式系数是C ,而不是C 或C .
开式,然后再求x5的系数.
解 (方法一)∵(1+2x-3x2)5=[1+(2x-3x2)]5
=1+5(2x-3x2)+10(2x-3x2)2+10(2x-3x2)3+5(2x-3x2)4+(2x-3x2)5
=1+5x(2-3x)+10x2(2-3x)2+10x3(2-3x)3+5x4(2-3x)4+x5(2-3x)5,
(3)求有理项,在通项中令字母的指数为整数.
1 9
变式训练2求 - 的展开式中x3的系数及含x3的项的二项式系数.
解
1 9
1
- 的展开式的通项是 Tk+1=Ck 9x9-k - =(-1)kC9 x9-2k,令 9-2k=3,得
k=3,
所以 x3 的系数为(-1)3C93 =-84.
项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.
变式训练1化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.
解 原式=C50 (2x+1)5-C51 (2x+1)4+C52 (2x+1)3-C53 (2x+1)2+C54 (2x+1)-C55 (2x+1)0
=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.
些二项式,运用通项求某些特定项、二
项式系数或项的系数.(数学运算)
思维脉络
课前篇 自主预习
情境导入
我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导
(a+b)3,(a+b)4的展开式.上述两个等式的右侧有何特点?你能用组合的观点
说明(a+b)4是如何展开的吗?
知识梳理
一、二项式定理
变式训练3(1)设a∈Z,且0≤a<13,若512 015+a能被13整除,则a等于(
A.0
B.1
C.11 D.12
(2)230-3除以7所得的余数为
.
)
答案 (1)B
(2)5
解析 (1)∵512 015=(52-1)2 015
014
=C20 015 ×522 015-C21 015 ×522 014+C 2 2 015 ×522 013-…+C22 015
(3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的a,b,该等式都成立.
(4)二项式定理中a和b中间用加号连接,若出现减号,“-”归属后边的字母或
数,仍可用二项式定理展开.
微思考
二项式定理中,项的系数与二项式系数有什么区别?
提示 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指
C0 , C1 ,…,C ,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关,而项的系数是指该
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人教版普通高中教科书·数学
第六章
6.3.1 二项式定理
选择性必修
第三册
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.能用计数原理证明二项式定理.(逻辑
推理)
2.理解二项式定理及二项展开式的特
征,能记住二项式定理和二项展开式的
通项.(数学抽象)
3.正确运用二项展开式展开或化简某
因为当 k+1=4 时,n-2k=3,所以 n=9.
课堂篇 探究学习
探究一
二项式定理的正用、逆用
1 4
例 1(1)求(3√ + ) 的展开式.
√
(2)化简:C0 (x+1)n-C1 (x+1)n-1+C2 (x+1)n-2-…+(-1)kC (x+1)n-k+…+(-1)nC .
0
1
9
10
=C10
×710+C10
×79+…+C10
×7+C10
-3
0
1
9
=7×(C10
×79+C10
×78+…+C10
)-2.
又余数不能为负数(需转化为正数),
∴230-3 除以 7 所得的余数为 5.
素养形成
转化思想在二项式定理中的应用
典例求(1+2x-3x2)5展开式中x5的系数.
审题视点 由于三项式的展开式无现成公式,因此应将其转化为二项式的展
探究二
利用二项式定理求待定项及系数
3
例 2 已知在 √ -
1
2 3√
的展开式中,第 6 项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
思路分析先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第
(2)问、第(3)问.
解 (1)由通项知,展开式中第 k+1 项为
)
(3)C an-kbk 是(a+b)n 展开式中的第 k 项.(
)
答案 ×
解析 C an-kbk 是(a+b)n 展开式中的第 k+1 项.
微练习
化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得(
A.x4
B.(x-1)4
答案 A
解析 原式=(x-1+1)4=x4.
C.(x+1)4
(2)字母b的次数和组合数的上标相同.
(3)a与b的次数之和为n.
微思考
二项式(a+b)n与(b+a)n的展开式的第 k+1项相同吗?
提示 不相同.前者 Tk+1=C an-kbk,后者 Tk+1=C bn-k·ak.解题时,题中给出的二项
式的两项是不能随意交换位置的.
微练习
(1)(x+2)8的展开式中的第6项为
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
延伸探究若(1+√3)4=a+b× √3(a,b 为有理数),则 a+b=
.
答案 44
解析 ∵(1+√3)4=C40 ×1+C41 ×(√3)1+C42 ×(√3)2+C43 ×(√3)3+C44 ×(√3)4
=1+4√3+18+12√3+9
方法点睛转化思想在二项式定理中的应用
转化思想是高中数学重点考查的内容之一.在与二项式定理有关的问题中,
主要表现为将多项式转化为二项式来求解;若干个二项式积的某项系数问
题转化为乘法分配律问题.在高考题中,常出现三项式展开或两个二项式乘
积的展开问题,所用方法一般是根据式子的特点转化为二项式展开来解决
问题.
×7676+C77
×7675+…+C77
×76+C77
-1
1
2
76
=76×(7676+C77
×7675+C77
×7674+…+C77
).
由于 76 能被 19 整除,因此 7777-1 能被 19 整除.
反思感悟用二项式定理解决an+b整除(或余数)问题时,一般需要将底数a写
成除数m的整数倍加上或减去r(1≤r<m)的形式,利用二项展开式求解.
(方法二) (3√ + ) =(
) = 2 (1+3x)4
√
√
1 0
= 2 [C4 + C41 ·3x+C42 (3x)2+C43 (3x)3+C44 (3x)4]
1
= 2 (1+12x+54x2+108x3+81x4)
1
12
= 2 + +54+108x+81x2.
(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
×52-1,
014
C20 015 ×522 015-C21 015 ×522 014+C22 015 ×522 013-…+C22 015
×52 能被 13 整除,
∴若 512 015+a 能被 13 整除,则 a-1 能被 13 整除.又 a∈Z,且 0≤a<13,则 a=1.