阜平县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

阜平县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数y=2sin 2x+sin2x 的最小正周期（ ）
A ．
B ．
C ．π
D ．2π
2． 过抛物线y=x 2上的点
的切线的倾斜角（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．135°
3． 已知f （x ）为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f （x+6）=f （x ）+f （3），x 1，x 2∈[0，3]，x 1≠x 2时，有
成立，下列结论中错误的是（ ）
A ．f （3）=0
B ．直线x=﹣6是函数y=f （x ）的图象的一条对称轴
C ．函数y=f （x ）在[﹣9，9]上有四个零点
D ．函数y=f （x ）在[﹣9，﹣6]上为增函数
4． 棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后所得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．
B ．18
C ．
D ．
5． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
6． 在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，那么ABC ∆一定是（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
7． 已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上
的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，
PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐
，则双曲线C 的离心率是（ ）
A B ．2 C D 8． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）
A ．{2,1,1}--
B ．{1,1,2}-
C ．{1,1}-
D ．{2,1}--
【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
9． 直线的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y ﹣1=0；
②x 2+y 2
=3；
③+y 2=1；
④
﹣y 2
=1．
在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）
A ．①③
B ．②④
C ．①②③
D ．②③④
12．若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）
A ．（2，4）
B ．（2，﹣4）
C ．（4，﹣2）
D ．（4，2）
二、填空题
13．若函数f （x ）=log a x （其中a 为常数，且a ＞0，a ≠1）满足f （2）＞f （3），则f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ）的解集是 ．
14．圆心在原点且与直线2x y +=相切的圆的方程为_____ .
【命题意图】本题考查点到直线的距离公式，圆的方程，直线与圆的位置关系等基础知识，属送分题.
15．已知sinα+cosα=，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为．
16．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．
17．已知点E、F分别在正方体的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .
18．定义：[x]（x∈R）表示不超过x的最大整数．例如[1.5]=1，[﹣0.5]=﹣1．给出下列结论：
①函数y=[sinx]是奇函数；
②函数y=[sinx]是周期为2π的周期函数；
③函数y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
其中正确的是．（填上所有正确命题的编号）
三、解答题
4天的用电量与当天气温．
气温（℃）14 12 8 6
用电量（度）22 26 34 38
（1）求线性回归方程；（）
（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．
20．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），
（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；
（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小。

21．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p ∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．
22．本小题满分12分某商店计划每天购进某商品若干件,商店每销售1件该商品可获利50元.若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利30元.
Ⅰ若商店一天购进该商品10件,求当天的利润y单位:元关于当天需求量n单位:件,n∈N的函数解析式；
,整理得下表:
,求这50天的日利润单位:元的平均数；
②若该店一天购进10件该商品,以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润在区间[400,550]内的概率.
23．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．
阜平县高中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：函数y=2sin2
x+sin2x=2×+sin2x=sin（2x﹣）+1，
则函数的最小正周期为=π，
故选：C．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周
期为，属于基础题．
2．【答案】B
【解析】解：y=x2的导数为y′=2x，
在点的切线的斜率为k=2×=1，
设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
由k=tanα=1，
解得α=45°．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．3．【答案】D
【解析】解：对于A：∵y=f（x）为R上的偶函数，且对任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=﹣3得：f（6﹣3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，故A正确；
对于B：∵函数y=f（x）是以6为周期的偶函数，
∴f（﹣6+x）=f（x），f（﹣6﹣x）=f（x），
∴f（﹣6+x）=f（﹣6﹣x），
∴y=f（x）图象关于x=﹣6对称，即B正确；
对于C：∵y=f（x）在区间[﹣3，0]上为减函数，在区间[0，3]上为增函数，且f（3）=f（﹣3）=0，
∴方程f（x）=0在[﹣3，3]上有2个实根（﹣3和3），又函数y=f（x）是以6为周期的函数，
∴方程f（x）=0在区间[﹣9，﹣3）上有1个实根（为﹣9），在区间（3，9]上有一个实根（为9），
∴方程f（x）=0在[﹣9，9]上有4个实根．故C正确；
对于D ：∵当x 1，x 2∈[0，3]且x 1≠x 2时，有
，
∴y=f （x ）在区间[0，3]上为增函数，又函数y=f （x ）是偶函数，
∴y=f （x ）在区间[﹣3，0]上为减函数，又函数y=f （x ）是以6为周期的函数， ∴y=f （x ）在区间[﹣9，﹣6]上为减函数，故D 错误． 综上所述，命题中正确的有A 、B 、C ． 故选：D ．
【点评】本题考查抽象函数及其应用，命题真假的判断，着重考查函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性，考查函数的零点，属于中档题．
4． 【答案】D
【解析】解：由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：
故该几何体的表面积为：3×22
+3×（
）+=，
故选：D ．
5． 【答案】D
【解析】解：A 不对，由面面平行的判定定理知，m 与n 可能相交，也可能是异面直线；B 不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C 不对，由面面垂直的性质定理知，m 必须垂直交线； 故选：
D ．
6． 【答案】D 【解析】
试题分析：在ABC ∆中，2
2
tan sin tan sin A B B A =，化简得
22sin sin sin sin cos cos A B
B A A B
=，解得 sin sin sin cos sin cos cos cos B A
A A
B B A B =⇒=，即s
i n 2s i n 2A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或
2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D ．
考点：三角形形状的判定．
【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin 2sin 2A B =，从而得到A B =或2
A B π
+=是试
题的一个难点，属于中档试题． 7． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=的距离为
22=
，得a b =，则为等轴双曲
故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2
a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
8． 【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B ={1,1}-，故选C ．
9． 【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tan α=
，
∵0°＜α＜180°，
∴α=30° 故选A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
10．【答案】A
【解析】解：p ：对于任意n ∈N *
，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列， 则￢p ：∃n ∈N *
，a n+2﹣a n+1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，
由￢p ⇒￢q ，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，
若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *
，使得a n+2﹣a n+1≠d ，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
11．【答案】D
【解析】解：要使这些曲线上存在点P满足|MP|=|NP|，需曲线与MN的垂直平分线相交．
MN的中点坐标为（﹣，0），MN斜率为=
∴MN的垂直平分线为y=﹣2（x+），
∵①4x+2y﹣1=0与y=﹣2（x+），斜率相同，两直线平行，可知两直线无交点，进而可知①不符合题意．
②x2+y2=3与y=﹣2（x+），联立，消去y得5x2﹣12x+6=0，△=144﹣4×5×6＞0，可知②中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
③中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得9x2﹣24x﹣16=0，△＞0可知③中的曲线与MN的垂直平分线有交点，
④中的方程与y=﹣2（x+），联立，消去y得7x2﹣24x+20=0，△＞0可知④中的曲线与MN的垂直平分线有
交点，
故选D
12．【答案】C
【解析】解：复数z满足iz=2+4i，则有z===4﹣2i，
故在复平面内，z对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】（1，2）．
【解析】解：∵f（x）=log a x（其中a为常数且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），
∴0＜a＜1，x＞0，
若f （2x ﹣1）＜f （2﹣x ），
则
，
解得：1＜x ＜2， 故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．
14．【答案】222x y +=
【解析】由题意，圆的半径等于原点到直线2x y +=的距离，所以
r d ==
=222x y +=.
15．【答案】 ．
【解析】解：∵sin α+cos α=
，＜α＜
，
∴sin 2α+2sin αcos α+cos 2
α=
，
∴2sin αcos α=﹣1=
，
且sin α＞cos α，
∴sin α﹣cos α=
=
=
．
故答案为：．
16．【答案】
．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，
8个三棱锥的体积为：
=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
17．【答案】
【解析】延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

18．【答案】②③④
【解析】解：①函数y=[sinx]是非奇非偶函数；
②函数y=[sinx]的周期与y=sinx的周期相同，故是周期为2π的周期函数；
③函数y=[sinx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]﹣cosx不存在零点；
④函数数y=[sinx]、y=[cosx]的取值是﹣1，0，1，故y=[sinx]+[cosx]的值域是{﹣2，﹣1，0，1}．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查命题的真假判断，考查新定义，正确理解新定义是关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由表可得：；
又；
∴，；
∴线性回归方程为：；
（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30；
∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．
【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．
20．【答案】（1）1
（2）60°
【解析】（1）设BD=x，则CD=3﹣x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD ⊥平面BCD
∴V A ﹣BCD =×AD ×S △BCD =×（3﹣x ）××x （3﹣x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） 设f （x ）=（x 3﹣6x 2+9x ） x ∈（0，3），
∵f ′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣3），∴f （x ）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数 ∴当x=1时，函数f （x ）取最大值
∴当BD=1时，三棱锥A ﹣BCD 的体积最大； （2）以D 为原点，建立如图直角坐标系D ﹣xyz ，
21．【答案】
【解析】解：设g （x ）=x 2+2ax+4，由于关于x 的不等式x 2
+2ax+4＞0对一切x ∈R 恒成立， ∴函数g （x ）的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故△=4a 2
﹣16＜0，∴﹣2＜a ＜2． 又∵函数f （x ）=（3﹣2a ）x
是增函数，
∴3﹣2a ＞1，得a ＜1．
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
（1）若p 真q 假，则，得1≤a ＜2；
（2）若p 假q 真，则
，得a ≤﹣2．
综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a ＜2，或a ≤﹣2．
22．【答案】
【解析】：Ⅰ当日需求量10n ≥时,利润为5010(10)3030200y n n =⨯+-⨯=+； 当需求量10n <时，利润50(10)1060100y n n n =⨯--⨯=-.
所以利润y 与日需求量n 的函数关系式为：30200,10,60100,10,n n n N
y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩
Ⅱ50天内有9天获得的利润380元，有11天获得的利润为440元，有15天获得利润为500元，有10天获得的利润为530元，有5天获得的利润为560元.
①
3809
4401150015530105605
477.2
50
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ② 若利润在区间[400,550]内的概率为11151018
5025
P ++==
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
，得
，
即﹣1＜x ＜1，即定义域为（﹣1，1），
则f （﹣x ）=log a （1﹣x ）﹣log a （1+x ）=﹣[log a （1+x ）﹣log a （1﹣x ）]=﹣f （x ），
则f （x ）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a ＜1时，由f （x ）＞0， 即log a （1+x ）﹣log a （1﹣x ）＞0， 即log a （1+x ）＞log a （1﹣x ）， 则1+x ＜1﹣x ， 解得﹣1＜x ＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵P 为等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=
，
∵∠ACB=
，∴∠ACP=
，
在△PAC 中，由余弦定理得：PA 2=AC 2+PC 2
﹣2AC •PC •cos
=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC 中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=
﹣θ，
由正弦定理得： =
=，
∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=时，△PBC面积的最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。