期第四次月考数学理(附答案)

重庆三中2012-2013学年度上学期第四次月考
高二数学（理）试题【新课标】
第I 卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1．命题“存在
∈0x R ，0
2x ≤0”的否定是（ ）
A ．不存在
∈0x R, 0
2x >0 B ．存在∈0x R, 0
2x ≥0
C ．对任意的∈x R, 2x ≤0
D ．对任意的∈x R, 2x
>0
2．平面内有定点A 、B 及动点P ，设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. 在△ABC 中，若2
2
tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形 4．在ABC ∆中,,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边, S ABC ∆为的面积。

若向量
),4(222c b a p -+=
，(3,)q
S =满足q p
//, 则∠C= （ ）
A ．3π.
B ．6π
C ．4π
D ．23π
5．椭圆
124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面积为（ ）
A ．20
B ．22
C ．28
D ．24
6．已知△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为23
，则这个三角
形的周长是 （ ） A ．18 B ．21
C ．24
D ．15
7. 下列函数中，最小值是4的是（ ） A.x x y 4+
= B.222222+++=x x y
C.x x y sin 4sin +
=，0[∈x ，]2
π
D.)77(2x x y -+= 8..在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( ) A ．b ＝7，c ＝3，C ＝30° B ．b ＝5，c ＝42，B ＝45° C ．a ＝6，b ＝63，B ＝60° D ．a ＝20，b ＝30，A ＝30°
9．锐角ABC ∆中,,,a b c 分别是三内角,,A B C 的对边,设2B A =,则b
a 的取值范围（ ）
A ．(
)
2,2-
B ．(
)
0,2 C
．
)
D
．
10．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，
那么k 的取值范围是（ ） A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315
--）
11．若椭圆
)0(12
2>>=+
b a b
y a
x 和双曲线
)0,(122>=-
n m n
y m
x 有相同的焦点F 1、F 2，P
是两曲线的交点，则21PF PF ⋅的值是（ ） A ．n b -
B ．
m a - C ． n b - D ． m a -
12．椭圆12222=+b
y a x )0(>>b a 与圆222)2(c b
y x +=+（c 为椭圆半焦距）有四个不同交
点，则椭圆离心率e 的取值范围是( ) A ．
5355<<e B ．153<<e C ．155<<e D ．5
3
0<<e 第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________
14．已知0,0x y >>，若2282y x
m m x y +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .
15．双曲线2
2
1tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为
___。

16．若直线2y kx =-与抛物线28y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则AB =______。

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10）已知数列{}n a 的前n 项和2
12n n S n
-=
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）若⎭⎬
⎫
⎩⎨⎧⋅-=+11,12n n n n c c a c 求数列的前n 项和n S
18．（12分）给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02
=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．
19. 在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边是,,a b c ，且22212
a c
b a
c +-=
（1）求2sin cos 22
A C
B ++的值； （2）若2b =，求AB
C ∆面积的最大值.
20（12分）（1）求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长；
（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦中点轨迹方程。

21（12分） 已知圆锥曲线C 经过定点P （3，32），它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为x=－1，斜率为2的直线 交圆锥曲线C 于A 、B 两点，且 |AB|=53，求圆锥曲线C 和直线 的方程。

22．（本小题满分12分）
定义：离心率e =“黄金椭圆”，已知椭圆22
22:1(0)x y
E a b a b +=>>的两个
焦点分别为)0,(1c F -、)0,(2c F （c>0）,P 为椭圆E 上的任意一点. （1）试证：若,,a b c 不是等比数列，则E 一定不是“黄金椭圆”；
（2）设E 为“黄金椭圆”，问：是否存在过点2F 、P 的直线l ，使l 与y 轴的交点R 满足
22PF RP -=?若存在，求直线l 的斜率k ；若不存在，请说明理由；
（3）设E 为“黄金椭圆”, 点M 是⊿21F PF 的内心, 连接PM 并延长交21F F 于N ,求PN
PM 的
值.
参考答案
一、选择题：DBBA DDDC DDDA 二，填空题：本大题共4小题，每小题5分．
(13 ) 54. (14) (4,2)-
(15)
2
(16) 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.
11(1)2132111
132n n n n n a s s n
n a a n
-≥=-=-==∴=-当时，当时，
111111
(2)
21()
(21)(21)22121
11111
112335212111 122121
n n n n c n c c n n n n S n n n
n n +=-∴==-⋅-⋅+-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
⎛⎫=
-= ⎪++⎝⎭
18．解：对任意实数x 都有012
>++ax ax 恒成立⎩
⎨
⎧<∆>=⇔00
0a a 或 40<≤⇔a ；关于x 的方程02=+-a x x 有实数根4
1
041≤
⇔≥-⇔a a ；如果P 正确，且Q 不正确，有44
1
41,40<<∴>
<≤a a a 且；如果Q 正确，且P 不正确，有041,40<∴≤
≥<a a a a 且或．所以实数a 的取值范围为()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞-4,410, ． 19. （1）2222
2
2
11cos 224
a c
b a
c b ac B ac +-+-=∴== ……（2分） 2
21
sin cos 2[1cos()][2cos 1]22
A C
B A
C B +∴+=-++-21[1cos ][2cos 1]2B B =++- ……（4分）
111[1][21]2416=++⨯-1
4
=- ……（6分） (2)由1cos 4B =
得：sin B = ……（7分）
2b = 221422
a c ac ac ∴+=+≥（当且仅当2283
a c ==时取“=”号）
8
3
ac ∴≤
……（10分）
118sin 223ABC
S
ac B ∴=⋅≤⨯= 故：ABC
……（12
分）
20解析：由2
2141y x y x ⎧-=⎪⎨
⎪=+⎩得224(1)40x x -+-=得2
3250x x --=（*）
设方程（*）的解为12,x x ，则有
121225
,33x x x x +==-
得，
12|d x x =-===（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ，
由2
2114y kx y x =+⎧⎪
⎨-=⎪⎩得
22(4)250k x kx ---=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则2
2
420(4)0k k ∆=+->，
∴
2
1680,||k k << 且
1212
2225
,44k x x x x k k +=
=---，
∴
121212221114(),()()124224k x x x y y y x x k k =
+==+=++=--，
22444k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨
⎪=⎪-⎩
得
22
40(4x y y y -+=<-或0)y >。

方法二：设弦的两个端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点为(,)P x y ，则
221122224444x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得：121212124()()()()x x x x y y y y +-=+-，
∴121212124()y y x x x x y y +-=+-， 即41y x
x y =-， 即22
40x y y -+=（图象的一部分）
21．解：设圆锥曲线C 的离心率为e, P 到 的距离为d ，则e=14
4
==d PF …………(1分) ∴圆锥曲线C 是抛物线………………………（2分） ∵
12
=P
∴P=2 ∴抛物线方程为y 2=4x………………………………(3分) 设 的方程为y=2x+b,A(x 1y 1),B(x 2,y 2) 由y=2x+b
y =4x 消去y ，整理得：4x 2+4(b －1)x+b 2=0………………………………(4分) 则 x 1+x 2=－(b －1)
x 1x 2=4
2
b …………………………(5分)
∴|AB|=)21(5]4))[(1(212
212b x x x x k -=
-++………………………（6分）
又∵|AB|=53
∴1－2b=9, ∴b=－4 …………………………(7分)
故直线 的方程为y=2x －4……………………………………(8分) 综上所述：圆锥曲线C 的方程为y 2=4x ，直线 的方程为y=2x －4
22．（12分）解：（1）假设E 为黄金椭圆，则.2
15,215a c a c e -=-==即………（1分）
.21521522
2
222ac a a a c a b =-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=∴………………（3分） 即c b a ,,成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E 一定不是“黄金椭圆”.……（4分） （2）依题假设直线l 的方程为).(c x k y -= 令kc y x -==有0，即点R 的坐标为).,0(kc -
22PF RP -=，点)0,(2c F ，∴点P 的坐标为).,2(kc c …………（6分）
点P 在椭圆上，∴.1422
222=+b
c k a c .14,222=+∴=e k e ac b
故0412
2
<-=e
e k ，与02≥k 矛盾.所以，满足题意的直线不存在.……（8分）
（3）连接1MF ,2MF ,设⊿21F PF 的内切圆半径为r. 则
=++r F F r PF r PF 212121212121F PF S ∆ 即r c a )22(2
1
+=21F PF S ∆ r F F 2121=21F MF S ∆=r c ⋅⋅221
所以MN
PN S S c c a F MF F PF ==+∆∆2121……（10分） 所以PN c a c MN +=
∴ PN c
a c
PM )1(+-= ∴
2
1
52
1512
151111-=
+=
-+
=+=+=
a
c c
a a
PN
PM ……（12分）。