高三数学专题复习 第35讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题试题 文 北师大版

课时作业(三十五) [第35讲 二元一次不等式(组)与简单的
线性规划问题]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．[教材改编试题] 如图K35－1)，用不等式表示为( )
A ．2x －y －3＜0
B ．2x －y －3＞0
C ．2x －y －3≤0
D ．2x －y －3≥0
2．若实数x ，y 满足不等式组：⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ≥－1，
x ＋y ≥1，3x －y ≤3，
则该约束条件所围成的平面区域的面积
是( )
A ．3 B.52
C ．2
D ．2 2
3．[2012·唐山一模] 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0，
则z ＝x ＋y 的最大值
为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．5
4．[2012·深圳调研] 已知点M (x ，y )的坐标满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0，
则此不等式
组确定的平面区域的面积S 的大小是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
能力提升
5．[2012·天津重点学校联考] 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋4≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，
则z ＝2x
＋y 的最小值是( )
A ．－4
B ．－2
C ．0
D ．2
6．[2012·辽宁卷] 设变量x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x－y≤10，
0≤x＋y≤20，
0≤y≤15，
则2x＋3y的最大值为( )
A．20 B．35 C．45 D．55
7．[2012·昆明一模] 已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域⎩⎪
⎨
⎪⎧
x＋y≥2，
x≤1，
y≤2
内的一个动点，则OA
→
·OM
→
的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1]
C．[0，2] D．[－1，2]
8．[2012·合肥质检] 若实数x，y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x≥1，
y≥2x，
2x＋y－8≤0，
目标函数z＝x＋ay(a>0)
取得最大值的最优解有无穷多个，则z的最小值为( )
A．2 B．3 C．5 D．13
9．[2012·山西四校联考] 已知实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧
y≥1，
y≤2x－1，
x＋y≤m，
若目标函数z＝x－y的最
小值是－1，则此目标函数的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．5
10．[2012·苏中三市八校调查] 设实数x，y满足条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x＋y≤3，
x－y≥1，
y≥0，
则点(x，y)构成的平面区域的面积为________．
图K35－2
11．[2011·陕西卷] 如图K35－2所示，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那么2x－y的最小值为________．
12．[2012·浙江卷] 设z＝x＋2y，其中实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－y＋1≥0，
x＋y－2≤0，
x≥0，
y≥0，
则z的取值范围是________．
13．[2012·洛阳模拟] 已知实数x，y满足
⎩
⎨
⎧（x＋3y）（3x－y）≤0，
x2＋y2≤4.
则点(x，y)构成的平面区域的面积为________．
14．(10分)设x≥0，y≥0，z≥0，p＝－3x＋y＋2z，q＝x－2y＋4z，x＋y＋z＝1，求点(p，q)的活动范围(应满足的不等关系)．
15．(13分)已知⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，
求：
(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；
(2)z ＝x 2＋y 2
－10y ＋25的最小值；
(3)z ＝2y ＋1x ＋1
的范围．
难点突破
16．(12分)已知O 为坐标原点，A (2，1)，P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x －1≥0，
求|OP →
|·cos
∠AOP 的最大值．
课时作业(三十五)
【基础热身】
1．B [解析] 将原点(0，0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.故选B.
2．C [解析] 可行域为直角三角形，如图所示，其面积为S ＝1
2
×22×2＝2.
3．D [解析] x ＋z ，求z 的最大值即求直线的最大截距，显然过点A 时取得最大值．
⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y －7＝0，∴A (2，3)，z ＝x ＋y 的最大值为5.
4．A [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧y －1≤0，x ＋2y －2≥0
表示的平面区域，则此平面区域为△ABC ，
且A (2，0)，B (0，1)，C (2，1)，于是，S ＝1
2
×2×1＝1.故选A.
【能力提升】 5．B [解析] 作出满足题设条件的可行域(如下图)，则当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－2，2)时，截距z 取得最小值，即z min ＝2×(－2)＋2＝－2.
6．D [解析] 不等式组表示的区域如图所示，令z ＝2x ＋3y ，目标函数变为y ＝－2
3x
＋z
3
，故而当截距越大，z 的取值越大，故当直线z ＝2x ＋3y 经过点A 时，z 最大，由于
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，y ＝15⇒⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝15，故而A 的坐标为()5，15，代人z ＝2x ＋3y ，得到z max ＝55，即2x ＋3y 的最大值为55.
7．C [解析] 画出不等式组表示的平面区域(如图)，又OA →·OM →
＝－x ＋y ，取目标函数z ＝－x ＋y ，即y ＝x ＋z ，作斜率为1的一组平行线．
当它经过点C (1，1)时，z 有最小值，即z min ＝－1＋1＝0；当它经过点B (0，2)时，z 有最大值，即z max ＝－0＋2＝2.
∴z 的取值范围是[0，2]，即OA →·OM →
的取值范围是[0，2]，故选C.
8．A [解析] 作出满足条件的可行域，由图可知，当z ＝x ＋ay 取得最大值的最优解
有无数个时，－1a ＝－2，解得a ＝12.于是目标函数z ＝x ＋1
2
y 经过点(1，2)时，z 取得最小值
为2.故选A.
9．C [解析] 平面区域如图阴影部分，可解得交点坐标分别为A (1，1)，B (m －1，1)，
C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋13
，2m －13，
当直线x －y ＝0平移经过点C 时，z 有最小值，此时有m ＋13－2m －13＝－1，解得m ＝5.当直线x －y ＝0平移经过点B (4，1)时，z 有最大值z max ＝4－1＝3.故选C.
10．1 [解析] 如图，即求阴影部分的面积，易得面积为S ＝1
2
×2×1＝1.
11．1 [解析] 由图像知在点A (1，1)时，2x －y ＝1；在点B (3，2)时，2x －y ＝23－2>1；在点C (5，1)时，2x －y ＝25－1＞1；在点D (1，0)时，2x －y ＝2－0＝2>1，故最小值为1.
12.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，72 [解析] 约束条件得到的可行域为下图中的四边形ABCO 及其内部，由目标函数z ＝x ＋2y 可得y ＝－12x ＋z 2，直线x ＋2y －z ＝0平移通过可行域时，截距z
2
在B 点取得
最大值，在O 点取得最小值，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32， 故z ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，72.
13．2π [解析] 在同一直角坐标系中作出可行域⎩⎨⎧（x ＋3y ）（3x －y ）≤0，
x 2＋y 2≤4.
由图
形知，不等式组表示的平面区域的面积是二分之一的半径为2的圆面积，即S ＝12
×π×2
2
＝2π.
14．解：依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧p ＝－3x ＋y ＋2z ，
q ＝x －2y ＋4z ，x ＋y ＋z ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1
27
（8＋q －6p ）≥0，
y ＝1
27（14－5q ＋3p ）≥0，z ＝127（5＋4q ＋3p ）≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧6p －q －8≤0，3p －5q ＋14≥0，3p ＋4q ＋5≥0，故所求点(p ，q )的活动范围是⎩⎪⎨⎪
⎧6p －q －8≤0，3p －5q ＋14≥0，3p ＋4q ＋5≥0. 15B (3，1)，C (7，9)．
(1)易知将直线x ＋2y －4＝0向上平移过点C 时z 取最大值， 将点C (7，9)代入z 得最大值为21.
(2)z ＝x 2＋y 2
－10y ＋25表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，过M
作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2
＝92
.
(3)z ＝2×y －⎝ ⎛⎭⎪
⎫－12x －（－1）表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率k 的两倍，因此k max ＝k QA ＝74，k min ＝k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，72.
【难点突破】
16(如图)，
由于|OP →
|·cos ∠AOP ＝|OP →|·|OA →
|cos ∠AOP |OA →|
＝OP →·OA →|OA →|，
而OA →＝(2，1)，OP →
＝(x ，y )，
所以|OP →
|·cos ∠AOP ＝2x ＋y 5
，
令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，
即z 表示直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，由图形可知，当直线经过可行域中的点M 时，z 取到最大值，
由⎩
⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y ＝25，得M (5，2)，这时z max ＝12， 此时|OP →
|·cos ∠AOP ＝125
＝1255，
故|OP →
|·cos ∠AOP 的最大值为1255.。