江苏省东海高级中学2009届高三调研考试数学试卷2008.12

x2 y 2 1 的离心率 e m n
8.函数 y a1 x (a 0, a 1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny 1 0(mn 0) 上，则
1 1 的最小值为 m n
▲
.
9.等差数列 {a n }中, S n 是其前n项和, a1 2008,
2 2
m0
12. {1, 0} 13. xn
2s n 1
14.①④⑤ B+C 1 - cos(B + C) 1 + cos2A B+C 15. ⑴sin +cos2A + cos2A = + cos2A = + 2cosA - 1=sin 2 2 2 2 1 - cos(B + C) 1 + cos2A B+C 59 = ． + cosA = + 2cosA - sin + cos2A = 2 2 2 50 4 3 1 3 ⑵ ∵ cosA = ∴ sinA = 由S = bcsinA = bc, 5 5 2 10 8 ∵ a = 2由余弦定理得：a = b2 + c2 - 2bccosA = 4 ∴ bc + 4 = b + c ≥ 2bc bc ≤ 10, 5
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步 骤．
15.在△ABC 中，A,B,C 分别为 a,b,c 边所对的角，且cosA =
⑴求sin + cos2A的值； 2 ⑵若 a =2，求△ABC 的面积 S 的最大值． B+C
4 5
．
16.(1)不等式 2 x 1 m( x 2 1) 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围．
5
y 3 4 4 12 x x 则 ，解得 5 所以存在，Q 的坐标为 ( , ) ． 5 5 x 3y 4 0 y 12 2 2 5
20.(1)数表中第 i 1 行的数依次所组成数列的通项为 f i 1, j ，则由题意可得
E
D C A
2
1 3 ) ,若存在实数 m(m 0) 和角 ,其中 ( , ) 2 2 2 2 2 ，使向量 c a (tan 3)b, d m a b tan ,且 c d . (1).求 m f ( ) 的关系式;
18.设平面向量 a ( 3 ,1), b ( , (2).若 [
（2）是否存在 m 使得不等式 2 x 1 m( x 2 1) 对满足 2 x 2 的所有实数 x 的取值都成 立 17.如图，在四面体 ABCD 中，CB=CD, AD BD ，点 E，F 分别是 AB,CD 的中点． 求证：（1）直线 EF// 面 ACD； （2）平面 EFC 面 BCD． F B
被 y x 反射后,反射光线所在的直线方程
6. ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a, b, c ，设向量 m ( a b, sin C ),
n ( 3a c, sin B sin A) ，若 m // n ，则角 B 的大小为
▲
.
7.两个正数 m, n 的等差中项是 5，等比中项是 4.若 m n ，则椭圆 的大小为 ▲ .
f ( x) sin x .给出以下结论：
① f ( x) 是周期函数 ② f ( x) 的最小值为 1
③当且仅当 x 2k ( k Z ) 时， f ( x) 取最大值 ④当且仅当 2k

2
x (2k 1) (k Z ) 时， f ( x) 0
⑤ f ( x) 的图象上相邻最低点的距离是 2 其中正确命题的序号是 ▲ .（把你认为正确命题的序号都填上）
3
都有 Sn >m.
参考答案 1. y sin x 2.


3
1 2
3.-25 4. y 2 6 x与 y 2 6 x 5.x-2y-1=0 6.
5 6
3 2
7. 8.2
9. 2008 10. (0,1) (1, 4] 11. 2 m 2 和 m 13与与 m 13
f(2,1)
f(3,1)
f(3,n－2)
… f(n,1)
(1)若数表中第 i (1≤i≤n－3)行的数依次成等差数列，求证：第 i+1 行的数也依次成等差数 列； (2)已知 f(1,j)=4j，求 f(i,1)关于 i 的表达式； 1 (3)在(2)的条件下，若 f(i,1)=(i+1)(ai－1)，bi= ，试求一个函数 g(x)，使得 aiai + 1 1 11 Sn=b1g(1)+b2g(2)+…+bng(n)＜ ，且对于任意的 m∈( , )，均存在实数 ，使得当 n＞时， 3 43
（2）整理变形为 mx 2 2 x 1 m 0 () ，设 f ( x) mx 2 2 x 1 m , x [ 2, 2] ①当 m 0 时， f ( x) 2 x 1 在 x [ 2, 2] 上为减函数，所以 f min ( x) f (2) 3 ，不合题 意． ②当 m 0 时, f (1) 3 0 ，所以不能让 2 x 2 的所有实数 x 的取值都成立． ③当 m 0 时， f (0) 1 m 0 显然不合题意，舍去． 综上, 不存在 m 使得不等式 2 x 1 m( x 2 1) 对满足 2 x 2 的所有实数 x 的取值都成
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一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1.将函数 y sin(2 x

3
) 的图象先向左平移 4 ，则 tan = 5 2

3
，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为 ▲ .
原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得到的图象对应的函数解析式为 2.若 [0,
立． 17.证明：（1）∵E,F 分别是 AB，BD 的中点． ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF∥AD， ∵EF∥ 面 ACD，AD 面 ACD，∴直线 EF∥面 ACD； （2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD， ∵CB=CD，F 是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD 又 EF∩CF=F, ∴BD⊥面 EFC， ∵BD 面 BCD，∴面 EFC 面 BCD 18.解:(1)∵ c d ,且 a b 0, a 2, b 1 ，∴ c d m a (tan ∴ m f ( )
2 3
3 tan )b 0
2
1 (tan 3 3 tan ), ( , ) 4 2 2 3 1 , 3 ] ，则 m g (t ) (t 3 3t ) (2)设 t tan ,又∵ [ , ] ，∴ t [ 3 6 3 4 3 m' g ' (t ) (t 2 1) 令 g ' (t ) 0 得 t 1 (舍去) t 1 4 3 ,1) 时 g ' (t ) 0 , t (1, 3 ) 时 g ' (t ) 0 ,∴ t 1 时,即 时， ∴ t ( 3 4 1 g (1) 为极小值也是最小值, g (t ) 最小值为 . 2 2 2 19.(1)圆 C： ( x 2) ( y 2) 8 ；
f (2) ( x 2 1) 2 (1 2 x) 0 要使 f ( m) 0 恒成立，只须满足 , 2 f (2) ( x 1)(2) (1 2 x) 0
解得
1 7 1 3 1 7 1 3 x x ∴ x 的取值范围 ． 2 2 2 2

2
] ，且 sin
▲
.
3.已知点 A、B、C 满足 AB 3 ， BC 4 ， CA 5 ，则 AB BC BC CA CA AB 的值是 4.以双曲线 ▲
2
. ▲ .
x y 2 1 的一条准线为准线，顶点在原点的抛物线方程是 3
5.入射光线沿直线 y 2 x 1 射向直线 y x , 是 ▲ .

, ] ,求 f ( ) 的最小值,并求出此时的 值. 6 3
19.在平面直角坐标系 xOy ，已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于
x2 y 2 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 ． a2 9 （1）求圆 C 的方程；
坐标原点 O．椭圆 （2）圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 | QF || OF | （F 为椭圆右焦点） ，若存在，请 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．


20.一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上 n(n≥4)个数，在上一行的每相邻两 数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第 i 行的第 j 个数为 f(i,j)． f(1,1) f(1,2) … f(2,2) … f(1,n－1) … f(2,n－1) f(1,n)
正整数 n( n 2) ，过点 (0, t )和( xn 1 , 0) 的直线与直线 l2 的交点记为 ( xn , yn ) .则数列 xn 通
1
项公式 xn ＝
▲
.
14.定义在 R 上的函数 f ( x) ：当 sin x ≤ cos x 时， f ( x) cos x ；当 sin x cos x 时，
(4 分)
f i 1, j 1 f i 1, j f i, j 1 f i, j 2 f i, j f (i, j 1)
f i, j 2 f i, j 2d (其中 d 为第 i 行数所组成的数列的公差)
S 2007 S 2005 2, 则S 2008 的值为 ▲ 2007 2005
10.若函数f(x) = log (x + \f(a,x) - 4) (a > 0且a ≠ 1)的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 ▲ . 11．已知点 A(－2，－1)和 B(2，3)，圆 C：x2＋y2 = m2，当圆 C 与线段 AB 没有公共 点时，求 m 的取值范围_ ▲ . 12.设函数 f x 函数【 f x
ax a 0, 且a 1 ，若用【 m 】表示不超过实数 m 的最大整数，则 1 ax
1 1 】 【 f x 】的值域为 ▲ . 2 2 t t x y t 0与l2 : x y 0 的交点是 ( x1 , y1 ) ，对于 13．设 s, t 为正整数，两直线 l1 : 2s 2s
1 3 S ABC bc sin A bc 3 , 2 10 当且仅当 b=c 时，取得最大值，所以当 b= c 时，△ABC 的面积 S 的最大值为 3．
16.(1)变形为 ( x 2 1) m (1 2 x) 0 () ,
4
设 f (m) ( x 2 1)m (1 2 x), m [ 2,2]
2 2 （2）由条件可知 a 5 ，椭圆 x y 1 ，∴F (4,0) ，若存在，则 F 在 OQ 的中垂线
25
9
上，又 O、Q 在圆 C 上，所以 O、Q 关于直线 CF 对称； 直线 CF 的方程为 y 1 1 ( x 1) ,即 x 3 y 4 0 ，设 Q ( x, y ) ， 3