第六节(简单的三角恒等变换)

第六节
简单的三角恒等变换
[知识能否忆起]
半角公式(不要求记忆)
1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α
2
.
sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α
1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.
sin α
2＝± 1－cos α2；cos α
2＝± 1＋cos α
2
； tan α2
＝± 1－cos α
1＋cos α
.
3．用sin α，cos α表示tan α
2.
tan α2＝sin α
1＋cos α＝1－cos αsin α
. [小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α
2等于( )
A.6
3 B ．－63 C.
3
3
D ．－
33
解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫
π2，π， ∴cos α
2＝－
1＋cos α
2
＝－ 1＋132＝－63
.
2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π
12等于( ) A.1
2
B ．－12
C.
3
2
D ．－
32
解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝1
2，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )
A ．3
B ．6
C ．12
D.3
2
解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos α
cos 2α
＝2＋2tan α＝3. 4.
sin 20°cos 20°
cos 50°
＝________.
解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝1
2sin 40°
sin 40°＝1
2.
答案：1
2
5．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.
解析：1
cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α
＝
cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α
1－tan α
＝2 013.
答案：2 013
三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公
式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化
求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同
角，利用公式求解变形即可．
典题导入
[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋
1
2
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .
[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋
1
2
2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭
⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x
＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 2
2x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x
＝1
2
cos 2x
. 由题悟法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
以题试法
1．化简⎝ ⎛⎭
⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋sin αcos α·sin α
2cos α2
＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsin
α2cos αcos α2
＝2cos α
sin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α
2cos αcos
α
2 ＝
2cos αsin α·cos
α2
cos αcos
α2
＝2
sin α
.
法二：原式＝1－tan 2
α
2
tan α
2
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2 ＝2
tan α·cos αcos α2＋sin αsin
α
2cos αcos
α
2 ＝
2cos αsin α·cos α2
cos α·cos
α2
＝2
sin α
.
典题导入
[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°
cos 17°＝( )
A ．－3
2 B ．－12
C.12
D.32
. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－4
5，则2α＋β＝________.
[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°
cos 17°
＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°
＝
sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1
2
.
(2)∵sin α＝3
5，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝4
5
，
∵cos(α＋β)＝－4
5，α＋β∈(0，π)，
∴sin(α＋β)＝3
5
，
∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝3
5×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π
2. ∴2α＋β＝π.
[答案] (1)C (2)π
由题悟法
三角函数求值有三类
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
以题试法
2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫
π9的值；
(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π
4的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π
41－tan π3tan
π4＝3＋11－3＝－2－ 3.
(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π
4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin α
cos α＝2，即sin α＝2cos α.①
又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝1
5
.
因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255
. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.
典题导入
[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π
4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π
2
，求证：[f (β)]2－2＝0.
[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.
(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，
cos βcos α－sin βsin α＝－4
5.
两式相加得2cos βcos α＝0.
∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π
4
－2＝0.
在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合． 解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π
4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π
4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π
4
(k ∈Z )．
故函数f (x )的零点的集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
x ＝k π＋π
4，k ∈Z .
由题悟法
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．
以题试法
3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．
解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π
6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.
(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤
π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π
6，
故α＝π4或α＝11π
12.
解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最 值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊 性(如有界性等)，另一方面还要注意将求解三角函 数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数(二次 函数等)最值问题.下面介绍几种常见的三角函数最 值的求解策略.
1．配方转化策略
对能够化为形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数最值问题，可看作是sin x 或cos x 的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决．
[典例1] 求函数y ＝5sin x ＋cos 2x 的最值．
[解] y ＝5sin x ＋()
1－2sin 2
x ＝－2sin 2x ＋5sin x ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋338
. ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π－π
2，k ∈Z 时，
y min ＝－2×
8116＋338＝－6；当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝－2×116＋338
＝4. [题后悟道] 这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sin x 或cos x 的二次函数的形式；其二要正确配方；其三要把握三角函数sin x 或cos x 的范围，以防止出错，若没有特别限制其范围是[－1,1]．
2．有界转化策略
对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)等形式的，常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值．这是解决三角函数最值问题常用的策略之一．
[典例2] (2012·重庆高考改编)设函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π
6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω>0. 求函数y ＝f (x )的最值． [解] f (x )＝4⎝⎛
⎭
⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos 2ωx
＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1， 因为－1≤sin 2ωx ≤1，
所以函数y ＝f (x )的最大值为3＋1，最小值为1－ 3.
[题后悟道] 求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值．
3．单调性转化策略
借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略．对于三角函数来说，常常是先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再利用三角函数的单调性求解．
[典例3] 函数f (x )＝
22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－32
在⎣⎡⎦⎤
π，17π12上的最大值为________，最小值为________． [解析] 由π≤x ≤17π12，得5π4≤x ＋π4≤5π
3.
因为f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－32
在⎣⎡⎦⎤π，5π4上是减函数，在⎣⎡⎦⎤5π4，17π12上是增函数，且f (π)>f ⎝⎛⎭⎫17π12，所以当x ＝
5π4时，f (x )有最小值为22sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋π4－32＝－22－3
2. 当x ＝π时，f (x )有最大值－2. [答案] －2 －
22－3
2
[题后悟道] 这类三角函数求最值的问题，主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式，然后再借助于函数的单调性，确定所求三角函数的最值．
4．数形结合转化策略
对于形如y ＝b －sin x a －cos x 的三角函数最值问题来说，常常利用其几何意义，将y ＝b －sin x
a －cos x 视为定点(a ，
b )
与单位圆上的点(cos x ，sin x )连线的斜率来解决．
[典例4] 求函数y ＝－sin x
2－cos x
(0<x <π)的最小值．
[解] 将表达式改写成y ＝0－sin x
2－cos x ，y 可看成连接点A (2,0)与点
P (cos x ，sin x )的直线的斜率．由于点(cos x ，sin x )的轨迹是单位圆的上半圆(如图)，所
以求y 的最小值
就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小．
设过点A 的直线与半圆相切于点B ，则k AB ≤y <0. 可求得k AB ＝tan 5π6＝－3
3.
所以y 的最小值为－
33⎝
⎛
⎭⎫此时x ＝π3.
[题后悟道] 这类三角函数的最值问题，求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式，再找出定点与动点满足条件的图形，最后由图形的几何意义求出三角函数的最值．
1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝1
3，则A 等于( )
A.π
4 B.3π4 C.π3
D.π6
解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]
＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C
1－tan B tan C ＝－－2＋
1
3
1－(－2)×13
＝1.故A ＝π
4
.
2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )
A ．－sin α
B ．－cos α
C ．sin α
D ．cos α
解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α
(1＋cos 2α)·(－sin α)
＝2sin α·cos α·cos 2α
2cos 2α·sin α
＝cos α.
3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )
A ．－73
B.73
C.57
D ．1
解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1，
即tan β＝－1
3，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝2－
131＋23
＝1.
4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.3
5
B.45
C.
7
4
D.34
解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π
2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－
1－sin 22θ＝－1
8
.
又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝9
16，
所以sin θ＝3
4
.
5．(2012·河北质检)计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·
cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )
A ．－2
B ．2
C ．－1
D ．1
解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π
4＋α·cos 2α
2cos 2⎝⎛⎭
⎫π4－α
＝
sin ⎝⎛⎭⎫
π4＋α·
cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝
cos 2α
2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝
cos 2α
sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝
cos 2α
sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝
cos 2αcos 2α
＝1. 6．定义运算⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π
2，则β等于( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β
＝sin(α－β)＝3314
， 又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2
， 故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314
， 而cos α＝17，∴sin α＝437
， 于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3
. 7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ
＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12
. ∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ
sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ
＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－14
14－1＋1＝3. 答案：3
8．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.
解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，
可得tan α＋tan β1－tan αtan β
＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3
. 答案：π3
9．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°
＝________. 解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°
＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°
＝2sin 40°2sin 40°
＝ 2. 答案： 2
10．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．
(1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；
(2)当x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4， 所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π.
(2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x
＝1＋sin 2x ＋cos 2x
＝1＋2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦
⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦
⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．
11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210
. (1)求sin α的值；
(2)求β的值．
解：(1)∵tan α2＝12
， ∴tan α＝2tan α2
1－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，
由⎩⎪⎨⎪⎧ sin αcos α＝43，
sin 2α＋cos 2α＝1，
解得sin α＝45⎝
⎛⎭⎫sin α＝－45舍去. (2)由(1)知cos α＝
1－sin 2α ＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35，
又0<α<π2
<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝
210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210
， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)]
＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)
＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4
. 12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．
(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；
(2)求f (x )的解析式．
解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，
得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，
即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，
∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
∴tan(α＋β)＝2tan α.
(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y
1－xy
＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2
.
1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12
相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15
P P |等于( ) A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭
⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2
＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.
2.3－sin 70°2－cos 210°
等于( ) A.12
B.22 C ．2
D.32 解析：选C 3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°
＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°
＝2. 3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.
(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．
解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3
＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2
＋2k π(k ∈Z ) 得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12
(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣
⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝
⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1，
所以B ＝π6
. 又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，
3sin A ＝12
＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2
，故△ABC 为直角三角形．
1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭
⎫π4＋α2＝1cos α. 证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2
＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭
⎫π4＋α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭
⎫π4＋α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭
⎫π4＋α2 ＝
sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．
2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．
解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12
sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12
(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x
＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
. 由tan α＝2，
得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45
. cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝－35. 所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35
. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
＝22
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54
π. 故－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，
2＋12.。