安徽省六安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

安徽省六安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数133,1
()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩
，则满足()3f x ≤的x 的取值范围是（ ）
A ．[0,)+∞
B ．1,39
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．[0,3]
D ．1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
讨论1x ≤和1x >两种情况，分别解不等式得到答案. 【详解】
当1x ≤时，1()3
3x
f x -=≤，故0x ≥，即[]0,1x ∈；
当1x >时，3()1log 3f x x =-≤，解得1
9
≥x ，即()1,x ∈+∞. 综上所述：[0,)x ∈+∞. 故选：A . 【点睛】
本题考查了分段函数不等式，分类讨论是常用的数学技巧，需要熟练掌握. 2．圆221x y +=与圆()2
23(4)16x y -+-=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切
C ．外切
D ．相离
【答案】C 【解析】 【分析】
据题意可知两个圆的圆心分别为(0,0)，(3,4)；半径分别为1和4；圆心距离为5，再由半径长度与圆心距可判断两圆位置关系. 【详解】
设两个圆的半径分别为1r 和2r ，因为圆的方程为
221x y +=与圆()2
23(4)16x y -+-=
所以圆心坐标为(0,0),(3,4)，圆心距离为5，由125r r +=，可知两圆外切，故选C . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，属于基础题.
3．随机变量a 服从正态分布(
)2
1,N σ
，
且()010.3000P a <<=.已知0,1a a >≠，则函数1x
y a a
=+-图象不经过第二象限的概率为( ) A ．0.3750 B ．0.3000
C ．0.2500
D ．0.2000
【答案】C 【解析】
1x y a a =+-图象不经过第二象限，11,2a a ∴-≤-∴≥，随机变量ξ服从正态分布()2
1,N σ
，且
()()()()1
010.3000,120.3000,210.60000.20002
P a P a P a <<=∴<<=∴>=-=，∴函数1x y a a =+-图象不经过第二象限的概率为
0.2
0.250010.2
=-，故选C.
4．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12
C ．13
D ．14
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴101109
1021002
S a ⨯=+⨯= ∴11a =
∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 5．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i -
C ． 23i -+
D ． 23i --
【答案】A 【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
解：由32i z i ⋅=+，得()()2
323223i i i z i i i
+-+=
==--， ∴23z i =+．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．函数()(1)e x f x x =-有( ) A ．最大值为1 B ．最小值为1 C ．最大值为e D ．最小值为e
【答案】A 【解析】 【分析】
对函数进行求导，判断出函数的单调性，进而判断出函数的最值情况. 【详解】
解:()e (1)e e x x x
f x x x '=-+-=-，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，
()f x ∴在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()f x ∴有最大值为(0)1f =，故选A.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数最值问题，对函数的导函数的正负性的判断是解题的关键. 7．直线1y x =+被椭圆2248x y +=截得的弦长是( )
A ．
5
B C D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
直线y ＝x+1代入2248x y +=，得出关于x 的二次方程，求出交点坐标，即可求出弦长． 【详解】
将直线y ＝x+1代入2248x y +=，可得()2
2
418x x ++=，
即5x 2+8x ﹣4＝0， ∴x 1＝﹣2，x 225
=
，
∴y 1＝﹣1，y 275
=
，
∴直线y ＝x+1被椭圆x 2+4y 2＝8=5
故选A ． 【点睛】
本题查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，属于基础题． 8．已知函数()2
ln f x x x =-与()()()
()2
1
222g x x m m R x =-+
-∈-的图象上存在关于()1,0对称的
点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),1ln2-∞- B ．(],1ln2-∞- C ．()1ln2,-+∞ D ．[
)1ln2,-+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】
由题意可知()()2f x g x =--有解，即1
ln 2m x x
=+在()0,+∞有解，求导数，确定函数的单调性，可知m 的范围. 【详解】
∵函数()2
ln f x x x =-与()()()
()2
1
222g x x m m R x =-+
-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，∴
()()2f x g x =--有解，
∴ 2
2
1ln 2x x x m x -=--
+，∴ 1ln 2m x x =+在()0,+∞有解，2
212x m x -'=， ∴函数在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增， ∴ 1
ln 11ln22
m ≥+=-，故选D. 【点睛】
本题考查利用导数求最值，考查对称性的运用，关键是转化为1ln 2m x x
=+在∞（0，+）有解，属于中档题．
9．已知函数()32
114332
f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,5 B ．[]2,4
C ．(,1][1,)-∞-+∞
D ．(],4-∞
【答案】D 【解析】
分析：求出导函数，利用函数的单调性，推出不等式，利用基本不等式求解函数的最值，推出结果即可．
详解：函数()32
114332
f x x mx x =
-+-， 可得f′（x ）=x 2﹣mx+1，函数()32
114332
f x x mx x =-+-在区间[1，2]上是增函数，
可得x 2﹣mx+1≥0，在区间[1，2]上恒成立，
可得m≤x+
4x ，x+4x ，当且仅当x=2，时取等号、 可得m≤1． 故选：D ．
点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.
10．已知函数1()22x
x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，则()f x （ ）
A ．是偶函数，且在R 上是增函数
B ．是奇函数，且在R 上是增函数
C ．是偶函数，且在R 上是减函数
D ．是奇函数，且在R 上是减函数
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，由函数的解析式可得f （﹣x ）＝2x ﹣（12
）x
＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数，由指数函数的性质可得y ＝（12）x 在R 上为减函数，y ＝2x 在R 上为增函数，则函数f （x ）＝（1
2
）x ﹣2x 在R 上为
减函数，据此分析可得答案． 【详解】
根据题意，f （x ）＝（12
）x ﹣2x
， 有f （﹣x ）＝2x ﹣（12
）x
＝﹣f （x ），则函数f （x ）为奇函数， 又由y ＝（
12）x 在R 上为减函数，y ＝2x 在R 上为增函数，则函数f （x ）＝（1
2
）x ﹣2x 在R 上为减函数， 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题． 11．某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1,2,...,800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的
40人中，编号落在区间[]1,200的人做试卷A ，编号落在[]201,560的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则
做试卷C 的人数为( ) A ．10 B ．12
C ．18
D ．28
【答案】B 【解析】
8004020÷=，∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项，以20为公差的等差数列，且此等差数列的
通项公式为()18201202n a n n =+-=-，落入区间[]
561,800的人做问卷C ，由561202800n ≤-≤，即56320802n ≤≤，解得31
28
402010
n ≤≤，再由n 为正整数可得2940n ≤≤，∴做问卷C 的人数为4029112-+=，故选B.
12．已知复数86z =+i ，则||z =（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的模长公式进行计算即可． 【详解】
z ＝8+6i ，则z =8﹣6i ，则|z |=10， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出z 是解决本题的关键． 二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数，则()30f x -<的解集为__________． 【答案】()2,4 【解析】 【分析】
先求出()()2
1f x x b x b =+--，根据()f x 为偶函数，即可得出1b =,从而得出 ()2
1f x x =-，从而
判断()f x 在[)0,+∞上单调递增，且()10f =，这样即可由()30f x -<，得出()
()31f x f -<，从而得出31x -<，这样解不等式即可. 【详解】
由题知函数()()()1f x x x b =-+为偶函数，
则()()()()2
11f x x x b x b x b -=---+=+--
()()()1,x x b f x =-+=解得1b =，
所以()()()11f x x x =-+，()10f =，
故()()
()3031f x f x f -<⇔-< 312 4.x x ⇔-<⇔<<即答案为()2,4. 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由()()+0f x f x -=恒成立求解，偶函数由()()0f x f x --=恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f =求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.
14．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________.
【答案】7 【解析】
第一次循环：3,4S I ==;第二次循环：5,7S I ==;第三次循环：7,10S I ==;结束循环，输出7.S = 考点：循环结构流程图 15．已知函数1,0,()ln 1.0.
x x f x x x ⎧+≤=⎨
+>⎩若方程()()f x m m =∈R 恰有三个不同的实数解
a .
b .
c ()a b c <<，则()a b c +的取值范围是__________.
【答案】22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣
⎭
【解析】 【分析】
通过作出函数图像，将三个实数解问题转化为三个交点问题，可得m 的取值范围，于是再解出c 的取值范围可得最后结果. 【详解】
作出函数图像，由图可知，恰有三个不同的实数解，于是01m <≤，而2a b +=-，0ln 11c <+≤，解得
11c e <≤，故222c e -≤-<-，所以()a b c +的取值范围是22,e ⎡
⎫--⎪⎢⎣
⎭.
【点睛】
本题主要考查函数图像的运用，分段函数的交点问题，意在考查学生的转化能力，图像识别能力，对学生的数形结合思想要求较高.
16．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____． 【答案】2； 【解析】 【分析】
先求这组数据的平均数x ，再代入方差公式，求方差. 【详解】 因为1325415
355
x ++++=
==，
方差22222
2
(13)(33)(23)(53)(43)25
s -+-+-+-+-==.
【点睛】
本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()(1)x f x e k x =+-（,k R e ∈为自然对数的底数）. （1）当2k =时，求函数()f x 的极值；
（2）若函数()f x 在区间[1,2]上单调递增，求k 的取值范围. 【答案】（1）极小值为(0)1f = （2）(,1]e -∞+ 【解析】
分析：（1）根据利用导数求函数极值的一般步骤求解即可；
（2）()1x
f x e k ='+-,由于函数()f x 在区间[]
1,2上是增函数，所以，令()0f x '≥，则10
x e k +-≥即1x e k +≥在[]
1,2上恒成立，由此可求k 的取值范围.. 详解：
（1）当2k =时，()x
f x e x =-，
()1x f x e '=-，令()0f x '=，解得0x =，
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表
x
(),0-∞
()0,+∞
()f x '
-
+
()f x
单调递减 1 单调递增
因此，当0x =时，()f x 有极小值，并且极小值为()01f =
（2）()1x
f x e k ='+-,由于函数()f x 在区间[]
1,2上是增函数
所以，令()0f x '≥，则10x e k +-≥
即1x e k +≥在[]
1,2上恒成立 设()1x
g x e =+，则()g x 在[]1,2上为增函数，
∴()()min 11g x g e ==+
∴1k e ≤+，即k 的取值范围是(]
,1e -∞+．
点睛：本题考查利用到时研究函数的单调性，极值，考查分析问题解决问题的能力．是圣. 18．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X(单位:mm)对工期的影响如下表: 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y
2
6
10
历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求:工期延误天数Y 的均值与方差; 【答案】见解析
【解析】分析：先求P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900)，再求工期延误天数Y 的均值与方差.
详解：由已知条件和概率的加法公式有:
P(X<300)=0.3,
P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2. P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以Y 的分布列为:
于是E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3; D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3,方差为9.8.
点睛：(1)本题主要考查概率的计算，考查随机变量的期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题解题的关键是求出P(X<300)、P(300≤X<700)、P(700≤X<900)、P(X≥900). 19．已知函数()ln f x x =．
（Ⅰ）求函数()(1)2g x f x x =--+的最大值； （Ⅱ）已知0a b <<，求证()()22
2()
a b a f b f a a b
-->+． 【答案】 (1) (2)0=g . (2)证明见解析. 【解析】
分析：（Ⅰ）先求导，再利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. （Ⅱ）利用分析法证明，先转
化成证明22
21ln 1b b a b a a
⎛⎫- ⎪
⎝⎭>+，再构造函数()()2
21ln (1)1x F x x x x -=->+，再求证函数()()10F x F >=. 详解：（I ）因为()()()12ln 12g x f x x x x =--+=--+，
所以 ()12111
x
g x x x -=
-='-- 当()1,2x ∈时()'0g x >；当()2,x ∈+∞时()'0g x <， 则()g x 在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减. 所以()()ln 12g x x x =--+的最大值为()20g =.
（II ）由()()()22
2a b a f b f a a b -->+得，()2222
212ln ln 1b a b a a b a b a b a ⎛⎫- ⎪
-⎝⎭->=
++，
则22
21ln 1b b a b a
a
⎛⎫- ⎪⎝⎭>
+，又因为0a b <<，有1b a >， 构造函数()()2
21ln (1)1x F x x x x
-=-
>+
则()()
()
2
2
2221
1(1)1x x F x x x x
--=+>+'， 当1x >时，()0F x '>，可得()F x 在()1,+∞单调递增， 有()()10F x F >=， 所以有()()()2
2
2a b a f b f a a b
-->
+．
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意 在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是
先转化成证明22
21ln 1b b a b a a
⎛⎫- ⎪
⎝⎭>+，其二构造函数()()2
21ln (1)1x F x x x x -=->+，再求证函数 ()()10F x F >=.
20．2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科。

某省采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某学校从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，根据性别分层，采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.
（1）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的100名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如下表是根据调查结果得到的22⨯列联表.请求出a 和b ，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；
（2）在抽取到的女生中按（1）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中随机抽取4人，设这4人中选择“历史”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
参考公式：()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】（1）45a =，20b =，有99%的把握认为选择科目与性别有关.详见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）完善列联表，计算2K ，再与临界值表进行比较得到答案.
（2）这4名女生中选择历史的人数X 可为0，1，2，3，4.分别计算对应概率，得到分布列，再计算数学期望. 【详解】
（1）由题意，男生人数为550
100551000
⨯=， 女生人数为450
100451000
⨯
=， 所以22⨯列联表为：
45a =，20b =.
假设0H ：选择科目与性别无关，所以2K 的观测值
()2
100452025108.129 6.63570305545
k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
查表可得：(
)
2
0.01P K k ≥<，所以有99%的把握认为选择科目与性别有关.
（2）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择历史，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择历史的人数X 可为0，1，2，3，4.设事件X 发生概率为()P X ，则
()454950126C P X C ===，()315449401126C C P X C ===，()
22
544960
2126C C P X C ===， ()135449203126C C P X C ===，()44491
4126
C P X C ===
. 所以X 的分布列为：
所以X 的数学期望012126126126EX =⨯+⨯+⨯341261269
+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21．已知函数()ln x f x ae x =-.
（1）设x e =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间； （2）当1
a e
≥
时，求证：()1f x ≥. 【答案】（1）()f x 在(0)e ，上减，()e +∞上增；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）求出函数的定义域以及导函数，由x e =是()f x 的极值点可求出a ，即
11
()x e f x e x
--'=-
，对导函数再次求导，判断导函数在(0,)+∞上单调递增，由()0f e '=，进而可求出函数的单调区间. （2）由11
x x a ae e e
-≥
⇒≥，进而可得1()ln x f x e x -≥-，记1()ln x g x e x -=-，研究函数 ()g x 的单调性，求出()g x 的最小值，进而可得证.
【详解】
（1）解：()f x 的定义域为(0,)+∞，1()x
f x ae x
'=-
， 由11
()00e
e f e ae a e e --'=⇒-
=⇒=， 所以1
1()x e f x e
x --'=-，又因为121()0x e f x e x
--''=+>，
所以()f x '
在(0,)+∞上单调递增，注意到()0f e '=，
所以()f x 在(0)e ，上减，()e +∞上增. （2）由11
x x a ae e e
-≥
⇒≥，所以1()ln x f x e x -≥-, 记1
()ln x g x e
x -=-，11()x g x e x
'-=-
， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增 ，
所以1x =是()g x 的最小值点，()(1)1g x g ≥=，故()()1f x g x ≥≥. 【点睛】
本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.
22．网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调杳结果表明：在喜欢网购的25人中有19人是低收入的人，另外6人是高收入的人，在不喜欢网购的25人中有8人是低收入的人，另外17人是高收入的人.
（1）试根据以上数据完成22⨯列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；
（2）将5名喜欢网购的消费者编号为1、2、3、4、5，将5名不喜欢网购的消费者编号也记作1、2、3、4、5，从这两组人中各任选一人讲行交流，求被选出的2人的编号之和为2的倍数的概率.
参考公式：2
2
112212211212
()n n n n n n n n n χ++++-=
参考数据：
【答案】（1）填表见解析，有99.5%的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；（2）25
【解析】
【分析】
（1）表格填空，然后根据公式计算2χ的值，再根据表格判断相应关系；（2）利用古典概型的概率计算方法求解概率即可. 【详解】
解：（1）22⨯列联表如下，
22
50(191768)9.74225252327
χ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；
()27.8790.005P χ=；
故有99.5%的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系； （2）由题意，共有5525⨯=种情况，
和为2的有1种，和为4的有3种，和为6的有5种，和为8的有3种，和为10的有1种， 故被选出的2人的编号之和为2的倍数概率为1353113
2525
++++=.
【点睛】
独立性检验计算有多大把握的步骤：（1）根据列联表计算出2
χ的值；（2）找到参考表格中第一个2
χ比大的值，记下对应的概率；（3）有多大把握的计算：对应概率.。