2022-2023学年山东省聊城一中高一(下)期中数学试卷【答案版】

2022-2023学年山东省聊城一中高一（下）期中数学试卷
一、单选压（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i 为虚数单位，a−2i 1+i
+i 的共轭复数为1+2i ，则实数a ＝（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →
=（a +c ，a +b ），q →
=（b ，c ﹣a ）．若
p →
∥q →
，则角C 的大小为（ ） A ．
2π3
B ．π
2
C ．π
3
D ．π
6
3．一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为2√5cm ，杯口直径为4√5cm ，杯的深度为√5cm ，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（ ）
A ．5cm
B ．2√6cm
C ．
254
cm D ．
132
cm
4．如图所示，一个质点在半径为2的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）
A ．y =|2sin(2π3t +π
6)| B ．y =2sin(2π3t +π
6)
C ．y =|2sin(2π3t −π6)|
D ．y =2sin(2π3t −π
6)
5．已知向量a →
，b →
满足a →
⋅b →
=10，且b →
=（4，﹣3），则a →
在b →
上的投影向量为（ ） A ．（8，﹣6）
B ．（﹣8，6）
C ．(−85，6
5)
D ．(85，−6
5)
6．已知函数f(x)=sin π
2
x 的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）
A ．y =f(4x −12
) B ．y =f(x 4−12
)
C ．y =f(x
4−2) D ．y ＝f （4x ﹣2）
7．已知α∈(π，3π2)，若tan(α+π3)=−2，则cos(α+π
12
)=（ ） A ．
3√1010
B ．√10
10
C ．−
√10
10
D ．−
3√10
10
8．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM →
⋅PN →
的取值范围是（ ）
A ．[32
，3]
B ．[32
，4]
C ．[2，3]
D ．[2，4]
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AC 与BD 交于点E ，AD →
=2BC →
，则（ ）
A ．AE →
−2EC →
=0→
B ．BE →
=13BA →+23BC →
C ．BE →
=2
3BA →
+1
3BC →
D ．C
E →
=1
3BA →
−1
3BC →
10．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．若z =√3−2i ，则z 的虚部为﹣2i B ．若|z |＝1，则z ＝±1或z ＝±i
C ．若点Z 坐标为（﹣1，3），且z 是关于x 的实系数方程x 2+px +q ＝0的一个根，则p +q ＝12
D ．若1≤|z ﹣2i |≤√2，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π 11．已知正三棱锥的侧棱长为4√3，底面边长为6，则（ ） A ．正三棱锥的高为6
B ．正三棱锥的表面积为9√3+27√13
C ．正三棱锥的体积为18√3
D ．正三棱锥的外接球的体积为256π
12．已知函数f （x ）＝sin|x |+|cos x |，以下结论正确的是（ ） A ．它是周期为2π的周期函数
B ．它是偶函数
C ．它在（﹣π，2π）这个区间有且只有1个零点
D ．它的值域为[−1，√2]
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．cos40°+cos60°﹣cos20°﹣cos100°的值为 ．
14．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝2AA 1＝4，AB ＝AC ＝2√3，P 为线段A 1B 上的一个动点，则P A +PC 的最小值是 ．
15．如图所示，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(√2，−1)，∠AOC ＝α，若|BC|=√3，则√3cos 2α
2−sin α
2cos α
2−√3
2的值为 ．
16．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP →=mAB →+nAC →
，
则m +n 的最小值是 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知z 1＝a +2i ，z 2＝3﹣4i （a ∈R ，i 为虚数单位）． （1）若z 1•z 2是纯虚数，求实数a 的值；
（2）若z 1•z 2在复平面上对应的点在第二象限，且|z 1|≤√13，求实数a 的取值范围．
18．（12分）如图所示，正方形O 'A 'B 'C '是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，其中O 'A '＝1． （1）求原图形的面积；
（2）将原图形以OA 所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC 与正方形O 'A 'B 'C '的各点分别对应，如OB 对应直观图中的O 'B '）
19．（12分）已知函数f(x)=sin(x +π
3)+cos(x +π
6)−2sin x
2cos x
2． （1）求函数f （x ）的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
π12
个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求y ＝g （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 20．（12分）在校园美化、改造活动中，要在半径为15m ，圆心角为2π3
的扇形空地EOF 的内部修建一矩形
观赛场地ABCD ，如图所示．取CD 的中点M ，记∠MOC ＝θ． （1）写出矩形ABCD 的面积S 与角θ的函数关系式；
（2）求当角θ为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．
21．（12分）已知向量m →
=(√3sinx ，2cosx)，n →
=（﹣2sin x ，sin x ），f （x ）=m →
⋅n →
． （1）求函数f （x ）的图象的对称中心；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （C ）＝0，c ＝1，求a +b 的最大值．
22．（12分）在△ABC 中，M ，N 为△ABC 所在平面内的两点，AB ＝3，AC ＝2√3，∠BAC =π
6，MC →
=1
3BC →
，NA →
+NC →
=0→
．
（1）以AB →
和AC →
作为一组基底表示NM →
，并求|NM →
|；
（2）D 为直线MN 上一点，设CD →
=xAB →
+yAC →
（x ，y ∈R ），若直线CD 经过△ABC 的垂心，求x ，y ．
2022-2023学年山东省聊城一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选压（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知i 为虚数单位，a−2i 1+i
+i 的共轭复数为1+2i ，则实数a ＝（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
解：
a−2i 1+i
+i 的共轭复数为1+2i ，则
a−2i 1+i
+i =1﹣2i ，即a−2i 1+i
=1−3i ，
所以a ﹣2i ＝（1+i ）（1﹣3i ）＝4﹣2i ，即a ＝4． 故选：D ．
2．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p →
=（a +c ，a +b ），q →
=（b ，c ﹣a ）．若
p →
∥q →
，则角C 的大小为（ ） A ．
2π3
B ．π
2
C ．π
3
D ．π
6
解：∵p →
=（a +c ，a +b ），q →
=（b ，c ﹣a ），且p →
∥q →
，
∴（a +c ）（c ﹣a ）＝b （a +b ），即c 2﹣a 2＝b 2+ab ，则a 2+b 2﹣c 2＝﹣ab ．
∴cos C =a 2+b 2
−c 22ab =−ab 2ab =−12
． 又C 为三角形内角，∴C =2π
3． 故选：A ．
3．一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”，两平行平面间的距离叫做球台的高．如图1，西晋越窑的某个“卧足杯”的外形可近似看作球台，其直观图如图2，已知杯底的直径为2√5cm ，杯口直径为4√5cm ，杯的深度为√5cm ，则该卧足杯侧面所在球面的半径为（ ）
A ．5cm
B ．2√6cm
C ．
254
cm D ．
132
cm
解：如图所示，作出“球台”的轴截面，
设球心为O ，过O 作OE ⊥AB 交AB 于点E ，交CD 于点F ，
依题意AB =2√5cm ，CD =4√5cm ，EF =√5cm ， 设球的半径为Rcm ，则R 2＝DF 2+OF 2且R 2＝AE 2+OE 2， 即{
R 2=(2√5)2+OF 2
R 2=(√5)2+(√5+OF)2，{
R =5
OF =√5
，即球面的半径为5cm ． 故选：A ．
4．如图所示，一个质点在半径为2的圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向运动，每3s 转一圈．则该质点到x 轴的距离y 关于时间t 的函数解析式是（ ）
A ．y =|2sin(2π3t +π6
)| B ．y =2sin(
2π3t +π
6)
C ．y =|2sin(
2π3t −π
6
)| D ．y =2sin(
2π3t −π6
) 解：由题意知T ＝3，初相为−π
6，因为y 表示距离，为非负数，所以BD 选项错误； P 点的初始位置为（√3，﹣1），在第四象限，所以C 选项符合，A 选项不符合． 故选：C ．
5．已知向量a →
，b →
满足a →
⋅b →
=10，且b →
=（4，﹣3），则a →
在b →
上的投影向量为（ ） A ．（8，﹣6）
B ．（﹣8，6）
C ．(−85，6
5)
D ．(85，−6
5)
解：由于b →=(4，−3)，所以|b →
|=√42+(−3)2=5， 所以a →
在b →
上的投影向量为|a →
|⋅cos ＜a →
，b →
＞⋅b
→
|b →
|
=
a →⋅
b →
|b →
|
=
a →⋅
b →
|b →|
⋅(4，−3)5=(85，−6
5
)． 故选：D ．
6．已知函数f(x)=sin π
2
x 的图象的一部分如图1所示，则图2中的函数图象所对应的函数解析式是（ ）
A ．y =f(4x −12
) B ．y =f(x 4−12
)
C ．y =f(x
4−2)
D ．y ＝f （4x ﹣2）
解：图1的函数为f （x ）＝sin π
2x ，周期为T =
2π
π2
=4，图2的函数周期为T ′＝1，所以横坐标缩短为原
来的1
4
，函数解析式为y ＝sin2πx ；
又因为图2对应的函数解析式为y ＝sin2π（x −1
2），所以函数y ＝sin2πx 的图象向右平移1
2
个单位长度，
纵坐标均不改变，即可得到图2对应的图象，
所以图2对应的函数解析式为y ＝f [4（x −1
2
）]＝f （4x ﹣2）． 故选：D ．
7．已知α∈(π，3π
2)，若tan(α+π
3)=−2，则cos(α+π
12)=（ ） A ．
3√1010
B ．
√10
10
C ．−
√10
10
D ．−
3√10
10
解：因为α∈(π，3π2)，tan(α+π3)=−2＜0，所以α+π
3∈（3π2，11π6
），
由
sin 2（α+π3）+cos 2（α+π3）＝1，sin(α+π
3
)
cos(α+π
3
)
=−2，
解得cos(α+π3)=√55，sin(α+π3)=−2√5
5， 则cos(α+
π12)=cos[(α+π3)−π4]=cos(α+π3)cos π4+sin(α+π3)sin π
4=−√1010
． 故选：C ．
8．如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM →
⋅PN →
的取值范围是（ ）
A ．[3
2，3]
B ．[3
2，4]
C ．[2，3]
D ．[2，4]
解：如图，取AF 的中点Q ，
根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ|=√3，
PM →
⋅PN →
=(PO →
+OM →
)⋅(PO →
+ON →
)=PO →2
+PO →
⋅ON →
+PO →
⋅OM →
+OM →
•ON →
=|PO →
|2
+PO →
⋅(ON →
+OM →
)−1 =|PO →|2−1，
根据图形可知，当点P 位于正六边形各点的中点时，|PO →
|有最小值√3，此时|PO →
|2−1=2； 当点位于正六边形的顶点时，|PO →
|有最大值2，此时|PO →|2−1=3； 综上，2≤PM →
⋅PN →
≤3． 故选：C ．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AC 与BD 交于点E ，AD →
=2BC →
，则（ ）
A ．AE →
−2EC →
=0→
B ．BE →
=13BA →+23
BC →
C ．BE →=23BA →+13BC →
D ．C
E →
=13BA →−13BC →
解：对于A 选项，∵AD →
=2BC →
，
∴AD ∥BC ，AD ＝2BC ，∴AE ＝2EC ，∴AE →
=2EC →
，即AE →
−2EC →
=0→
，∴A 选项正确；
对于B ，C 选项，由A 选项知：BE →
=13BD →=13(BA →+AD →)=13(BA →+2BC →)=13BA →+23BC →
，∴B 选项正
确，C 选项错误；
对于D ，CE →
=1
3CA →
=1
3(BA →−BC →
)=1
3BA →
−1
3BC →
，D 正确． 故选：ABD ．
10．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．若z =√3−2i ，则z 的虚部为﹣2i B ．若|z |＝1，则z ＝±1或z ＝±i
C ．若点Z 坐标为（﹣1，3），且z 是关于x 的实系数方程x 2+px +q ＝0的一个根，则p +q ＝12
D ．若1≤|z ﹣2i |≤√2，则点Z 的集合所构成的图形的面积为π 解：对于A ，z =√3−2i ，则z 的虚部为﹣2，故A 错误， 对于B ，令z =1
2+√3
2i ，满足|z |＝1，故B 错误， 对于C ，点Z 坐标为（﹣1，3），则z ＝﹣1+3i ， ∵z 是关于x 的实系数方程x 2+px +q ＝0的一个根， ∴z 也是关于x 的实系数方程x 2+px +q ＝0的一个根，
∴{−1+3i +(−1−3i)=−p (−1+3i)(−1−3i)=q ，解得{p =2q =10，故p +q ＝2+10＝12，故C 正确，
对于D ，设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），
∵1≤|z ﹣2i |≤√2，∴1≤a 2+（b ﹣2）2≤2，
∴点Z 的集合所构成的图形的面积为π×2﹣π×1＝π，故D 正确． 故选：CD ．
11．已知正三棱锥的侧棱长为4√3，底面边长为6，则（ ） A ．正三棱锥的高为6
B ．正三棱锥的表面积为9√3+27√13
C ．正三棱锥的体积为18√3
D ．正三棱锥的外接球的体积为256π
解：如图所示，
在正三棱锥P ﹣ABC 中，过P 作PD ⊥AB 交AB 于D ，过P 作PO ⊥面ABC ，H 为外接球球心，易知H 在PO 上，连接CH ，
对于B ，因为正三棱锥的侧棱长为4√3，底面边长为6， 所以在直角三角形PDB 中，PD =√(4√3)2−32=√39，
故正三棱锥的表面积为S =3×12×6×√39+12×6×6×√3
2=9√39+9√3，∴B 错误；
对于A ，CD =√62−32=3√3，DO =1
3
CD =√3，故PO =√39−3=6，A 正确； 对于C ，正三棱锥的体积为V =
13×6×1
2×6×6×√32
=18√3，C 正确； 对于D ，设正三棱锥的外接球半径为R ，CO =23
CD =2√3， 由CH 2＝CO 2+OH 2可得R 2=(2√3)2+(6−R)2，解得R ＝4， 故外接球体积为4πR 33
=
4π×43
3
=
256π3
，D 错误．
故选：AC ．
12．已知函数f （x ）＝sin|x |+|cos x |，以下结论正确的是（ ） A ．它是周期为2π的周期函数
B ．它是偶函数
C ．它在（﹣π，2π）这个区间有且只有1个零点
D ．它的值域为[−1，√2]
解：由于f(−π
4)=√2，f(7π
4)=0，它们不相等，所以它不是周期为2π的周期函数，即A 错误； 由于f （﹣x ）＝sin|﹣x |+|cos （﹣x ）|＝f （x ）＝sin|x |+|cos x |，所以它是偶函数，B 正确； 现在来考查这个函数在x ∈[0，2π]内的情况．
当x ∈[0，π
2]∪[3
2π，2π]时，f(x)=sin|x|+|cosx|=sinx +cosx =√2sin(x +π
4)， 当x ∈[π2
，32
π]时，f(x)=sin|x|+|cosx|=sinx −cosx =√2sin(x −π4
)， 分别画出以上两个函数图象，并截取相关部分如图：
由此可知函数值域为[−1，√2]，即选项D 正确；
又由于这个函数是偶函数，它在[﹣π，π]内没有零点，而在[π，2π]有2个零点，故C 错误． 故选：BD ．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．cos40°+cos60°﹣cos20°﹣cos100°的值为
12
．
解：原式＝cos40°+cos60°﹣cos （60°﹣40°）﹣cos （60°+40°）＝cos40°+cos60°﹣2cos60°cos40°
＝cos60°=12
． 故答案为：1
2．
14．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝2AA 1＝4，AB ＝AC ＝2√3，P 为线段A 1B 上的一个动点，则P A +PC 的最小值是 2√7 ．
解：将图1中的△AA 1B 和△A 1BC 放置于同一平面内，如图2所示，
则P A +PC ≥AC ，
∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BC ＝2AA 1＝4，AB ＝AC ＝2√3， ∴在Rt △A 1AB 中，∠ABA 1＝30°，A 1B ＝2， 同理可得在△A 1AC 中，A 1C ＝2，∴∠A 1BC ＝60°， ∴在图2中，∠ABC ＝∠ABA 1+∠A 1BC ＝90°， ∴AC 2＝AB 2+BC 2＝28，∴AC ＝2√7， ∴P A +PC 的最小值是2√7． 故答案为：2√7．
15．如图所示，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为(√2，−1)，∠AOC ＝α，若|BC|=√3，则√3cos 2α
2−sin α
2cos α
2−√3
2的值为 3
5
．
解：∵点B 的坐标为(√2，−1)，设∠AOB ＝θ，
∴sin （2π﹣θ）=1
3，cos （2π﹣θ）=23
，即sin θ=√33，cos θ=√63，
∵∠AOC ＝α，若|BC |=√3，则θ+α=π3，则α=π
3−θ，
则√3cos 2α2−sin α2cos α2−√32=√32cos α−12sin α＝cos （α+π
6）＝cos （π
2−θ）＝sin θ=√3
3．
故答案为：
√33
． 16．在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，P 是△ABC 的外接圆上的一点，若AP →
=mAB →
+nAC →
，则m +n 的最小值是 −12
解：由余弦定理得BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC •cos ∠BAC ＝1+4﹣2×1×2×cos60°＝3， 所以BC =√3，所以AB 2+BC 2＝AC 2， 所以AB ⊥BC ．以AC 的中点为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系，
易得A(1，0)，C(−1，0)，B(1
2
，√3
2
)′
设P 的坐标为（cos θ，sin θ），
所以AB →
=(−12，√3
2
)，AC →=(−2，0)，AP →
=(cosθ−1，sinθ)，又AP →=mAB →+nAC →，
所以(cosθ−1，sinθ)=m(−12，√32)+n(−2，0)=(−m 2−2n ，√3
2m)， 所以m =2√33sinθ，n =−cosθ2+12−√3
6sinθ， 所以m +n =
√3
2
sinθ−
cosθ2+12=sin(θ−π6)+12≥−1+12=−1
2
， 当且仅当sin(θ+π
6)=−1时，等号成立． 故答案为：−1
2．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知z 1＝a +2i ，z 2＝3﹣4i （a ∈R ，i 为虚数单位）． （1）若z 1•z 2是纯虚数，求实数a 的值；
（2）若z1•z2在复平面上对应的点在第二象限，且|z1|≤√13，求实数a的取值范围．解：（1）z1＝a+2i，z2＝3﹣4i，
z1•z2＝（a+2i）（3﹣4i）＝3a+8+（﹣4a+6）i，
z1•z2是纯虚数，则{3a+8=0
−4a+6≠0，解得a=−
8
3
；
（2）|z1|≤√13，则a2+4≤13，解得﹣3≤a≤3，∵z1•z2在复平面上对应的点在第二象限，
∴{3a+8＜0
−4a+6＞0
，解得a＜−
8
3
，
综上所述，实数a的取值范围为[﹣3，−8
3）．
18．（12分）如图所示，正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中O'A'＝1．（1）求原图形的面积；
（2）将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积．（注：图形OABC与正方形O'A'B'C'的各点分别对应，如OB对应直观图中的O'B'）
解：（1）由正方形O'A'B'C'是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中O'A'＝1，
得到平面图形OABC，四边形OABC是平行四边形，OA＝1，OB＝2√2，如图，
∴原图形的面积S＝1×2√2=2√2；
（2）得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧又多出一个相同的圆锥，∴该几何体的表面积为：
S =2π×2√2×1+2π×2√2×√(2√2)2+1=16√2π， 该几何体的体积为：V =π×(2√2)2×1=8π．
19．（12分）已知函数f(x)=sin(x +π
3)+cos(x +π
6)−2sin x
2cos x
2． （1）求函数f （x ）的最小正周期及对称轴方程；
（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
π12
个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求y ＝g （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 解：（1）函数f(x)=sin(x +π3
)+cos(x +π6
)−2sin x 2
cos x 2
=sinx 2+√32cos x +√32cos x −sinx
2
−sin x =√3cos x ﹣sin x ＝2cos （x +π6）．
故函数f （x ）的最小正周期为2π，令x +π
6=k π，k ∈Z ， 求得x ＝k π−π
6
，可得函数的对称轴方程为x ＝k π−π6
，k ∈Z ．
（2）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变，
可得y ＝2cos （2x +π6
）的图象； 再将所得图象向左平移
π
12
个单位，得到函数y ＝g （x ）＝2cos （2x +π
3）的图象．
令2k π﹣π≤2x +π
3
≤2k π，k ∈Z ，求得k π−
π3≤x ≤k π+π6，故函数的增区间为[k π−2π3，k π−π
6
]，k ∈Z ． 再根据x ∈[0，2π]，可得y ＝g （x ）在[0，2π]上的增区间为[π3
，5π6
]，[
4π3
，
11π6
]．
20．（12分）在校园美化、改造活动中，要在半径为15m ，圆心角为2π3
的扇形空地EOF 的内部修建一矩形
观赛场地ABCD ，如图所示．取CD 的中点M ，记∠MOC ＝θ． （1）写出矩形ABCD 的面积S 与角θ的函数关系式；
（2）求当角θ为何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出最大面积．
解：（1）由题可知，θ∈(0，π
3)，
在Rt △MOC 中，OM ＝15cos θ，MC ＝15sin θ，
∴BN ＝CM ＝15sin θ， 在Rt △BON 中，ON =
BN tan∠BON =15sinθ
√3
=5√3sinθ，
∴MN =OM −ON =15cosθ−5√3sinθ，
∴S ABCD =2⋅BN ⋅MN =2×15sinθ×(15cosθ−5√3sinθ) =150√3(√3
2sin2θ+1
2cos2θ)−75√3 =150√3sin(2θ+π6)−75√3，θ∈(0，π3
)． （2）∵θ∈(0，π3)，∴2θ+π6∈(π6，5π
6)， ∴当2θ+π6=π2，即θ=π
6时，S max =75√3m 2，
故当θ=π
6时，矩形ABCD 的面积最大，最大值为75√3m 2．
21．（12分）已知向量m →
=(√3sinx ，2cosx)，n →
=（﹣2sin x ，sin x ），f （x ）=m →
⋅n →
． （1）求函数f （x ）的图象的对称中心；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f （C ）＝0，c ＝1，求a +b 的最大值． 解：（1）f （x ）=m →
⋅n →=−2√3sin 2x +2sin x cos x =√3（cos2x ﹣1）+sin2x ＝2sin （2x +π
3）−√3， 令2x +π
3=k π，k ∈Z ，则x =kπ
2−π
6，k ∈Z ， 故函数f （x ）的图象的对称中心为（
kπ2
−π
6，−√3），k ∈Z ．
（2）因为f （C ）＝0，所以2sin （2C +π
3）−√3=0，即sin （2C +π
3）=√3
2， 因为C ∈（0，π），所以2C +
π3=2π3，即C =π
6
， 由余弦定理知，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，
所以1＝（a +b ）2
﹣2ab ﹣2ab •√32=（a +b ）2﹣（2+√3）ab ≥（a +b ）2
﹣（2+√3）•(a+b)24=2−√34
（a +b ）
2
，
所以（a +b ）2≤
4
2−√3
=4（2+√3），即a +b ≤√2+√6，当且仅当a ＝b 时，等号成立， 故a +b 的最大值为√2+√6．
22．（12分）在△ABC 中，M ，N 为△ABC 所在平面内的两点，AB ＝3，AC ＝2√3，∠BAC =π
6，MC →
=1
3BC →
，NA →+NC →=0→
．
（1）以AB →和AC →作为一组基底表示NM →，并求|NM →
|；
（2）D 为直线MN 上一点，设CD →=xAB →+yAC →
（x ，y ∈R ），若直线CD 经过△ABC 的垂心，求x ，y ．
解：（1）由MC →
=13
BC →，所以M 为线段BC 上靠近C 的三等分点，
由NA →+NC →=0→
，所以N 为线段AC 的中点，
∴NM →
=NC →
+CM →
=1
2AC →
+1
3CB →
=1
2AC →
+1
3(AB →−AC →
)=1
3AB →
+1
6AC →
， ∵AB →
⋅AC →
=|AB →
|×|AC →
|×cos∠BAC =3×2√3×
√3
2
=9，
∴|NM →|=√(13
AB →
+16
AC →
)2=√19
AB →
2+19
AB →⋅AC →
+136AC →2=√19×9+19×9+1
36×12=√213
； （2）D 为直线MN 上一点，设ND →
=kNM →
，
则CD →=CN →+ND →
=−1
2
AC →+kNM →
=−12
AC →
+k(13
AB →
+16
AC →
)=13
kAB →
+(16k −12
)AC →
，
∴CD →
⋅AB →
=[13kAB →+(16k −12)AC →]⋅AB →=13kAB →2+(16k −12)AC →⋅AB →=13k ×9+(16k −1
2)×9，
因为直线CD 经过△ABC 的垂心，所以CD ⊥AB ，即CD →⋅AB →
=0， 所以CD →
⋅AB →
=13k ×9+(16k −1
2)×9=0，解得：k ＝1， 所以CD →=1
3kAB →
+(16k −1
2)AC →
=1
3AB →
−1
3AC →
， 因为CD →
=xAB →
+yAC →
， 所以x =1
3，y =−1
3．。