2018版人教A版浙江专版必修一课后作业：第二章 基本初

第2课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
知识点一 对数运算性质
思考 有了乘法口诀，我们就不必把乘法还原成为加法来计算.那么，有没有类似乘法口诀的东西，使我们不必把对数式还原成指数式就能计算？
答案 有.例如，设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则a m ＝M ，a n ＝N ，∴MN ＝a m ·a n ＝a m ＋
n ，∴log a (MN )
＝m ＋n ＝log a M ＋log a N .得到的结论log a (MN )＝log a M ＋log a N 可以当公式直接进行对数运算. 梳理 一般地，如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M
N ＝log a M －log a N ；
(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R ). 知识点二 换底公式
思考1 观察知识点一的三个公式，我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.而实际上，早期只有常用对数表(以10为底)和自然对数表(以无理数e 为底)，可以查表求对数值.那么我们在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办？ 答案 设法换为同底.
思考2 假设log 25log 23＝x ，则log 25＝x log 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，再化为对数式可
得到什么结论？
答案 把3x ＝5化为对数式为：log 35＝x ， 又因为x ＝log 25log 23，所以得出log 35＝log 25
log 23的结论.
梳理 一般地，对数换底公式：
log a b ＝log c b
log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；
特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).
类型一 具体数字的化简求值 例1 计算：(1)log 345－log 35； (2)log 2(23×45)；
(3)lg 27＋lg8－lg 1000lg1.2；
(4)log 29·log 38.
解 (1)log 345－log 35＝log 345
5＝log 39＝log 332＝2log 33＝2.
(2)log 2(23×45)＝log 2(23×210)＝log 2(2
13) ＝13log 22＝13.
(3)原式＝
)
32
lg
8lg1012lg 10
-
＝33
322lg 321012lg 10
⎛⎫⨯÷ ⎪
⎝
⎭ ＝32
34lg 1012lg 10
⨯⎛⎫ ⎪
⎝⎭ ＝32lg
1210lg 1210
＝32.
(4)log 29·log 38＝log 2(32)·log 3(23) ＝2log 23·3log 32 ＝6·log 23·1log 23
＝6.
反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循2个原则. (1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式. (2)不同底化为同底.
跟踪训练1 计算：(1)2log 63＋log 64；
(2)(lg25－lg 1
4
)÷1
2100-；
(3)log 43·log 98；
(4)log 2.56.25＋ln e －1
3
0.064.
解 (1)原式＝log 632＋log 64＝log 6(32×4)＝log 6(62)＝2log 66＝2.
(2)原式＝(lg 2514
)÷12210⎛⎫
⨯- ⎪⎝⎭＝lg102÷10－
1
＝2×10＝20.
(3)原式＝lg3lg4·lg8lg9＝lg32lg2·3lg22lg3＝3
4.
(4)原式＝log 2.5(2.5)2＋12－1
3
641000
⎛⎫
⎪⎝⎭
＝2＋12－410＝2110.
类型二 代数式的化简 命题角度1 代数式恒等变换 例2 化简log a x 2y
3z
.
解 ∵x 2y 3z >0且x 2>0，y >0，∴y >0，z >0.
log a x 2y 3z ＝log a (x 2y )－log a 3z
＝log a x 2＋log a y －log a 3
z ＝2log a |x |＋12log a y －1
3
log a z .
反思与感悟 使用公式要注意成立条件，如lg x 2不一定等于2lg x ，反例：log 10(－10)2＝2log 10(－10)是不成立的.要特别注意log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N . 跟踪训练2 已知y >0，化简log a x yz
. 解 ∵x
yz
>0，y >0，∴x >0，z >0. ∴log a
x yz ＝log a x －log a (yz )＝1
2
log a x －log a y －log a z . 命题角度2 用代数式表示对数 例3 已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 方法一 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182
＝a ＋b 1＋log 18
189
＝a ＋b 2－a
.
方法二 ∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b ， 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)
log 18(18×2)
＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 方法三 ∵log 189＝a,18b ＝5， ∴lg9＝a lg18，lg5＝b lg18，
∴log 3645＝lg45lg36＝lg (9×5)lg 1829＝lg9＋lg5
2lg18－lg9
＝a lg18＋b lg182lg18－a lg18＝a ＋b 2－a
. 反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”，然后用指定字母换元. 跟踪训练3 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. 解 ∵log 23＝a ，则1
a ＝log 32，又∵log 37＝
b ，
∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32
log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1
.
1.log 51
3＋log 53等于( )
A.0B.1C.－1D.log 510
3
答案 A
2.设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A.log a b ·log c b ＝log c a B.log a b ·log c a ＝log c b C.log a (bc )＝log a b ·log a c D.log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 答案 B
解析 由log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c ≠log c a ，故A 错；由log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c ＝log c b .故选B.
3.log 29×log 34等于( ) A.14B.1
2
C.2
D.4
4.lg0.01＋log 216的值是. 答案 2
解析 lg0.01＋log 216＝－2＋4＝2.
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.
2.运用对数的运算性质应注意：
(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误：
①log a N n ＝(log a N )n ，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).
课时作业
一、选择题
1．下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )
①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a (M －N )＝log a M log a N ；③a －
n
m ＝1m a
n
；④(a m )n ＝am n ；⑤log an b
＝－n log a b . A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
答案 B
解析 ①正确，②不正确，③正确，④不正确，⑤不正确． 2．
4等于( )
A.12
B.1
4C ．2D ．4 答案 D 解析
4＝(2)4
＝4. 3．已知lg a ＝2.431，lg b ＝1.431，则b
a 等于( )
A.1100
B.110 C ．10
D ．100
解析 lg b
a ＝lg
b －lg a ＝1.431－2.431＝－1，
∴b a ＝110
. 4．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则用a ，b 表示lg15为( ) A ．b －a ＋1 B ．b (a －1) C ．b －a －1 D ．b (1－a )
答案 A
解析 lg15＝lg(3×5)＝lg3＋lg5 ＝lg3＋lg 10
2＝lg3＋1－lg2＝b －a ＋1.
5．若log 51
3·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )
A ．9 B.1
9 C ．25 D.125
答案 D
解析 由换底公式，得－lg3lg5·lg6lg3·lg x
lg6＝2，
lg x ＝－2lg5，x ＝5－
2＝125
.
6．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23
log 32的值是( )
A ．log 26
B ．log 36
C ．2
D ．1
答案 C
解析 原式＝(log 32)2＋2log 32·log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2. 7．若a >1，b >1，且lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ，则lg(a －1)＋lg(b －1)的值为( ) A ．lg2 B ．1 C ．0 D ．－1
答案 C
解析 因为lg(a ＋b )＝lg a ＋lg b ＝lg(ab )， 所以a ＋b ＝ab ，
所以lg(a －1)＋lg(b －1)＝lg[ab －(a ＋b )＋1]＝lg 1＝0. 二、填空题
8．(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________.
答案 54
解析 原式＝(log 23log 24＋log 23log 28)(1log 23＋1
log 232)
＝56log 23·32log 23＝54
. 9．(lg5)2＋lg2·lg50＝________. 答案 1
解析 (lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋lg2(lg5＋lg10) ＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝1.
10．已知lg(x ＋2y )＋lg(x －y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，则x
y ＝________.
答案 2
解析 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y >0，
x －y >0，
x >0，
y >0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ，
即⎩⎪⎨⎪
⎧ x >y y >0，(x ＋2y )(x －y )＝2xy ， 整理得⎩⎪⎨⎪
⎧
x >y ，y >0，
(x －2y )(x ＋y )＝0，
∴x －2y ＝0，∴x y ＝2.
11．计算23
278-
⎛⎫- ⎪⎝⎭
＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg5＋lg4－5log 25＝________. 答案
229
解析 ∵2
3
278-
⎛⎫-
⎪⎝⎭＝231278⎛⎫- ⎪⎝⎭＝233
132⨯⎛⎫- ⎪
⎝⎭
＝49.
log 827log 23＝log 227log 28·log 23＝3log 23
3log 23＝1. (2－3)0＝1，log 31＝0. 2lg5＋lg4＝lg(52×4)＝lg102＝2. 5log 52＝2.
∴原式＝49＋1＋1－0＋2－2＝229.
12．若3x ＝4y ＝36，则2x ＋1
y ＝________.
答案 1
解析 3x ＝4y ＝36，两边取以6为底的对数，得 x log 63＝y log 64＝2，
∴2x ＝log 63，2y ＝log 64，即1
y ＝log 62， 故2x ＋1
y
＝log 63＋log 62＝1. 13．若f (x )＝ax －1
2且f (lg a )＝10，则a ＝________.
答案 10或
1010
解析 f (lg a )＝a lg a －12＝a lg a
a ＝10，
∴a lg a ＝(10a )1
2，两边取常用对数，
得(lg a )2＝1
2
(1＋lg a )，
∴2(lg a )2－lg a －1＝0，解得lg a ＝1或lg a ＝－1
2，
则a ＝10或a ＝10
10
. 三、解答题
14．若x ·log 32016＝1，求2016x ＋2016－
x 的值．
解 方法一 ∵x ·log 32016＝log 32016x ＝1， ∴2016x ＝3，∴2016－
x ＝13.
∴2016x ＋2016－
x ＝3＋13＝103
.
方法二 由x ·log 32016＝1得x ＝1
log 32016＝log 20163，
∴2016x ＝2016log 20163＝3,2016－
x ＝12016x ＝13
.
∴2016x ＋2016－
x ＝3＋13＝103.
15．计算：
(1)2
1
23log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭
＋log 0.251
4
＋9log 55－log 31；
(2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13
lg8.
解 (1)2
123log 3⎛⎫ ⎪
⎝⎭
＋log 0.251
4
＋9log 55－
＝⎝⎛⎭⎫122＋1＋9×1
2－0 ＝14＋1＋92＝234
. (2)2lg2＋lg31＋12lg0.36＋13lg8＝2lg2＋lg31＋12lg0.62＋13lg23
＝
2lg2＋lg31＋lg0.6＋lg2＝2lg2＋lg3
1＋(lg6－lg10)＋lg2
＝2lg2＋lg3lg6＋lg2＝2lg2＋lg3(lg2＋lg3)＋lg2 ＝2lg2＋lg32lg2＋lg3
＝1. 16．设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中c 为斜边，且c ≠1，求证：log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a . 证明 log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝1log a (c ＋b )＋1
log a (c －b )
＝log a (c －b )＋log a (c ＋b )log a (c ＋b )·log a (c －b ) ＝log a [(c －b )(c ＋b )]1log (c ＋b )a ·
1
log (c －b )a
＝log a a 2·log (c ＋b )a ·log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a ， 即等式成立．。