山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题

山东新高考联合质量测评10月联考试题
高三数学
本卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置。

2.选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B 铅笔作答，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

保持卡面清洁，不折叠、不破损。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1.已知集合
{A x
y ==，{}
21,x B y y x ==+∈R ，则A B =R （ ）
A.{}
1x x ≥
B.2x x
1<
C.112x
x
≤≤
D.102x x
<≤
2.在等差数列{}n a 中，已知19a =−，359a a +=−，219n a −=，则n =（ ） A.7
B.8
C.9
D.10
3.“1a ≥”是“函数2
sin ,0,
()2,0ax x x f x x ax a x −≤ = +−+>
在R 上单调递增”的（ ） A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知平行六面体1111ABCD A B C D −的各棱长均为6，1160A AB A AD DAB ∠=∠=∠=°，则1AC =
（ ）
A.
B. C.
D.5.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，其中1q <，其前n 项和为n S ，下列条件中，能使得
()
*1
231n a S n q
<
∈−N 恒成立的是（ ） A.11a =，12
q =
B.112
a =
，1
3q =
C.11a =−，12q =−
D.11
2
a =−，13q =
6.已知函数1
()f x x x =+，若正数a ，b 满足1a b +=，则()()f a f b 的最小值是（ ）
A.2
B.
174
C.4
D.254
7.在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，π
3
BAD ∠=，1
2AB AD AA ===，点Q 在侧面11DCC D
内，且1A Q =，则点Q 轨迹的长度为（ ）
A.
π6
B.
π3
C.
2π3
D.
4π3
8.若过点(1,)m 可以作(1)e x
y x =+的三条切线，则实数m 的取值范围是（ ） A.()
24e ,0−−
B.()
36e ,0−−
C.()
36e ,2e −−
D.()e,2e
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.
9.已知lg lg a b >，则下列结论成立的是（ ） A.21a b −>
B.11
a b a b
+
>+ C.
2024
2024
b b a a +>
+ D.π3a b a b −−>
10.已知定义在(,0)(0,)−∞+∞ 上的函数()f x ，满足()2()()f xy f x f y +=+，且当1x >时，
()2f x >，则（ ）
A.(1)1f −=
B.()f x 为偶函数
C./(2024)(2023)f f >
D.若(2)2f x +<，则31x −<<−
11.四面体ABCD 中，6AC BC AB ===，10CD =，8BD =，四面体ABCD 外接球的表面积记为S ，则（ ）
A.当四面体ABCD 体积最大时，112πS =
B.AD BC ⊥
C.当6AD =时，1296
π11
S =
D.S 可以是400π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12.已知2
(2)1,0
()log ,0,f x x f x x x ++≤ =
> 则
112f
−=
________. 13.已知圆柱1O O 的底面直径为2，其轴截面是矩形ABCD ，1A 为底面弧AB 上任一点，若1A CD △面积
1O O 的母线长为________.
14.已知有穷数列{}n a 共m 项(3)m >，数列{}n a 中任意连续三项12,,(1,2,3,)i i i a a a i ++= ，满足如下条件：
（1）至少有两项相等；
（2）12i i i a a a +++>，21i i i a a a +++>，12i i i a a a +++>恒成立；
（3）以i a ，1i a +，2i a +为边长的三角形两两均不全等.
若{1,2,3,4,5}(1,2,,)n a n m ∈= ，则m 的最大值为________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（13分）
已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()33x
x
a f x =−，且8(1)3
f =. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）是否存在正实数m ，n ，使得当[,]x m n ∈时，函数()f x 的值域为775,533m n
−−。

若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由. 16.（15分）
如图，在四棱锥S ABCD −中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AB BC ⊥，26CD AB ==，
AC SC =，SAB △为等边三角形.
（1）证明：BC ⊥平面SAB ；
（2）若6AD =，求平面SAC 与平面SAD 所成角的余弦值. 17.（15分）
已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的首项均为1，
11
2
n a +为n a ，n c 的等差中项，且210n n n n b c b c ++−=
. （1）若数列{}n b 为单调递增的等比数列，且1325
2
b b b +=，求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 的前n 项和2n S n =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m 使2025
n m
T >
对*n ∈N 恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由.
18.（17分）
如图（1），已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的动直线m 与E 交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限），以AB 为直径的圆与准线l 相切于点C ，D 为弦AB 上任意一点，现将ACB △沿CD 折成直二面角A CD B ′−−，如图（2）.
（1） （2）
（1）证明：cos cos cos A CB A CD BCD ′′∠=∠⋅∠； （2）当A CB ′∠最小时， ①求A ′，B 两点间的最小距离；
②当A ′，B 两点间的距离最小时，在三棱锥A BCD ′−内部放一圆柱，使圆柱底面在面BCD 上，求圆柱体积的最大值. 19.（17分）
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数()y f x =，x D ∈，若存在
0x D ∈，使得()00f x x =，则称0x 是函数()y f x =的不动点.已知函数29
()3ln 62
f x x ax x =+−+
. （1）若函数3
()()72
g x f x x =
+−只有一个不动点，求实数a 的取值范围；
（2）当3
2a =时，数列{}n a 满足：132
a =，()116n n n
f a a a +=
+.
证明：对任意的n ∗∈N
，12
113
n a a −++−
<
.。