高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料：第九章解析几何9.9直线与圆锥曲线(原卷)

§9.9 直线与圆锥曲线
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1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
考点1 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．
即⎩⎪⎨
⎪⎧
Ax ＋By ＋C ＝0，F
x ，y ＝0，
消去y ，得ax 2
＋bx ＋c ＝0.
(1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C ________；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C ________； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C ________.
(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．
[典题1] (1)[2019·甘肃兰州检测]若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
(2)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2
－y 2
＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，153 C.⎝
⎛⎭
⎪⎫－153，0 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－
153，－1
[点石成金] 直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点 (1)判定方法
①代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
②几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． (2)关注点
①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． ②判断直线与圆锥曲线的位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
考点2 弦长问题
圆锥曲线的弦长
设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝1＋1
k 2·|y 1－y 2|
＝
1＋1k
2·
y 1＋y 2
2
－4y 1y 2.
[典题2] [2019·贵阳摸底]如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)
的离心率为1
2
，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D.当直线AB 斜率为0时，AB ＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB |＋|CD |＝48
7，求直线AB 的方程．
[点石成金] 处理弦长问题的两个注意点
(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长；
(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.
过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________．
考点3 中点弦问题
[考情聚焦] 弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点． 主要有以下几个命题角度：
角度一
由中点弦确定直线方程
[典题3] [2019·江西九校联考]已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 2
2＝1内一定点，经过P 引一条
弦交椭圆于A ，B 两点，且此弦被点P 平分，则此弦所在的直线方程为________．
角度二
由中点弦确定曲线方程
[典题4] [2019·福建福州质检]抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )
A ．y ＝2x 2
B ．y 2
＝2x C ．x 2
＝2y D ．y 2
＝－2x
角度三
由中点弦解决对称问题
[典题5] [2018·浙江模拟]已知椭圆x 2
2＋y 2
＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋
12对称．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．
[点石成金] 处理中点弦问题常用的求解方法
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1
＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2
x 1－x 2
三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．
(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
[方法技巧] 求解与弦有关问题的两种方法
(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x 或y )成为二次方程之后，结合韦达定理，建立等式关系或不等式关系．
(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．
[易错防范] 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点
(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也相交于一点．
(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外，易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．
真题演练集训
1．[2018·成都模拟]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线
交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A. x 245＋y 236＝1
B. x 236＋y 2
27＝1 C. x 2
27＋y 2
18＝1 D. x 2
18＋y 2
9
＝1
2．[2018·山东模拟]设F 为抛物线C ：y 2
＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )
A.
33
4 B.938
C.6332
D.94
3．[2019·江苏模拟]如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)．
(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围．
4．[2019·山东模拟]平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是3
2
，
抛物线E ：x 2
＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .
①求证：点M 在定直线上；
②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1
S 2
的最大值及取得最大值时点P 的坐标．
课外拓展阅读 忽视讨论二次项系数致误
[典例] 已知点A (0,2)和双曲线x 2
－y 2
4＝1，过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条
数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
温馨提醒
直线与双曲线只有一个公共点时，该直线可与双曲线相切(Δ＝0)，也可也其渐近线平行，故只有一个公共点不一定是相切关系，注意数形结合法的应用．。