2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第三章 第2讲 第2课时 导数与函数的极值、最值

(3)当 a＜0 时，Δ ＞0.由 g(－1)＝1＞0，可得 x1＜－1＜x2. 所以当 x∈(－1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减． 因此函数 f(x)有一个极值点． 综上所述：当 a＜0 时，函数 f(x)有一个极值点； 当 0≤a≤89时，函数 f(x)无极值点； 当 a＞89时，函数 f(x)有两个极值点．
(1)当 a＝0 时，g(x)＝1，此时 f′(x)＞0，函数 f(x)在(－1，＋∞) 上单调递增，无极值点． (2)当 a＞0 时，Δ ＝a2－8a(1－a)＝a(9a－8)． ①当 0＜a≤89时，Δ ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0，函数 f(x)在(－1， ＋∞)上单调递增，无极值点．
当 x∈(12，3)时，y＝x＋1x的值域是[2，130)； 当 x∈(12，3)时， f′(x)＝x2－ax＋1≥0， 即 a≤x＋1x恒成立，a≤2； 当 x∈(12，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0， 即 a≥x＋1x恒成立，a≥130.
因此要使函数 f(x)在(12，3)上有极值点， 则实数 a 的取值范围是(2，130)． 【答案】 (1)－7 (2)(2，130)
2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与 最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则__f_(_a_)__为函数的最小值， _f_(_b_)___为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 __f_(a_)___为函数的最大值，__f_(b_)___为函数的最小值．
1．设函数 f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a≥0)． (1)当 a＝1，且函数图象过点(0，1)时，求函数的极小值； (2)若 f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求 a 的取值范围． 解：f′(x)＝3ax2－4x＋1. (1)函数图象过点(0，1)时，有 f(0)＝c＝1.
当 a＝1 时，f′(x)＝3x2－4x＋1，令 f′(x)>0，解得 x<13，或 x>1； 令 f′(x)<0，解得13<x<1.所以函数 f(x)在－∞，13和(1，＋∞) 上单调递增；在13，1上单调递减，极小值是 f(1)＝13－2×12 ＋1＋1＝1.
角度二 求函数的极值
已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R)． (1)当 a＝12时，求 f(x)的极值； (2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数． 【解】 (1)当 a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0， ＋∞)且 f′(x)＝1x－12＝2－2xx， 令 f′(x)＝0，得 x＝2，
利用导数求函数的最值(值域)
(2017·高 考 浙 江 卷 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ (x － 2x－1 )e － x(x≥12)． (1)求 f(x)的导函数； (2)求 f(x)在区间12，＋∞上的取值范围．
【解】 (1)因为(x－ 2x－1)′＝1－ 2x1－1，(e－x)′＝－e－x，所
函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近其他点 的 函 数 值 都 大 ， f′(b) ＝ 0 ； 而 且 在 点 x ＝ b 附 近 的 左 侧 _f_′_(x_)_＞__0_____，右侧__f_′(_x_)_＜__0____，则点 b 叫做函数 y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极 值．
(1)利用导数研究函数极值问题的一般流程
(2)已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ①列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组， 利用待定系数法求解． ②验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所 以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． [提醒] 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么 y＝f(x)在 (a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．
解析：选 C.函数 y＝ln x－x 的定义域为(0，＋∞)， 又 y′＝1x－1＝1－x x， 令 y′＝0 得 x＝1，
当 x∈(0，1)时，y′>0，函数单调递增；
当 x∈(1，e)时，y′<0，函数单调递减．
当 x＝1 时，函数取得最大值－1.
已知 a 为函数 f(x)＝x3－12x 的极小值点，则 a＝________． 解析：由题意得 f′(x)＝3x2－12，由 f′(x)＝0 得 x＝±2，当 x∈(－ ∞，－2)时，f′(x)>0，函数 f(x)单调递增，当 x∈(－2，2)时， f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函 数 f(x)单调递增，所以 a＝2. 答案：2
以
f′(x) ＝ 1－
1 2x－1
e
－
x
－
(x
－
2x－1 )e － x ＝
（1－x）（ 2x－1－2）e－x 1
2x－1
x>2.
(2)由 f′(x)＝（1－x）（ 2x2－x－1 1－2）e－x＝0，
解得 x＝1 或 x＝52.
因为
x
1 2
12，1 1 1，52
于是当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x
(0，2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
ln 2－1
故 f(x)在定义域上的极大值为 f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小
值．
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a＝1－xax(x>0)， 当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) (2)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条 件．( × ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．( × ) (4)开区间上的单调连续函数无最值．( √ )
(教材习题改编) 函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b) 内的极小值点有( )
(2)若 f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，则 f(x)在(－∞，＋∞)
上是单调函数，即 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立．
①当 a＝0 时，f′(x)＝－4x＋1，显然不满足条件； ②当 a>0 时，f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立的充要条件是 Δ＝(－ 4)2－4×3a×1≤0，即 16－12a≤0，解得 a≥43. 综上，a 的取值范围为4a>0)的极小值为________． 解析：因为 f(x)＝x－aln x(a>0)，所以 f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－ax(a>0)， 由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 当 x∈(0，a)时，f′(x)<0； 当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 所以函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－
2．(2019·嵊州市第二次高考适应性考试)设函数 f(x)＝ln(x＋1) ＋a(x2－x)，其中 a∈R，讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明 理由． 解：函数 f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中 a∈R，x∈(－1，＋ ∞)． f′(x)＝x＋1 1＋2ax－a＝2ax2＋xa＋x－1 a＋1. 令 g(x)＝2ax2＋ax－a＋1.
②当 a＞89时，Δ ＞0，设方程 2ax2＋ax－a＋1＝0 的两个实数 根分别为 x1，x2，x1＜x2. 因为 x1＋x2＝－12， 所以 x1＜－14，x2＞－14. 由 g(－1)＞0，可得－1＜x1＜－14.
所以当 x∈(－1，x1)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数 f(x)单调递增． 因此函数 f(x)有两个极值点．
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当 a>0 时，当 x∈0，1a时，f′(x)>0， 当 x∈1a，＋∞时，f′(x)<0，故函数在 x＝1a处有极大值． 综上所述，当 a≤0 时，函数在定义域上无极值点，当 a>0 时， 函数在 x＝1a处有一个极大值点．
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
解析：选 A.导函数 f′(x)的图象与 x 轴的交点中，左侧图象在 x 轴下方，右侧图象在 x 轴上方的只有一个． 所以 f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．
函数 y＝ln x－x 在 x∈(0，e]上的最大值为( )
A．e
B．1
C．－1
D．－e
aln a. 答案：a－aln a
用导数解决函数的极值问题 (高频考点) 用导数解决函数的极值问题是每年高考的亮点，既有选择题， 填空题，也有解答题，难度偏大．主要命题角度有： (1)根据图象判断函数的极值； (2)求函数的极值； (3)已知函数的极值求参数．
角度一 根据图象判断函数的极值 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)，且函数 y＝
角度三 已知函数的极值求参数
(1)已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0， 则 a－b＝________． (2)若函数 f(x)＝x33－a2x2＋x＋1 在区间(12，3)上有极值点，则实 数 a 的取值范围是________．
【解析】 (1)由题意得 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则 ab2－＋63aa＋－3b＝－01，＝0，解得ab＝＝13，或ab＝＝29，， 经检验当 a＝1，b＝3 时，函数 f(x)在 x＝－1 处无法取得极值， 而 a＝2，b＝9 满足题意，故 a－b＝－7. (2)若函数 f(x)在区间(12，3)上无极值， 则当 x∈(12，3)时，f′(x)＝x2－ax＋1≥0 恒成立或当 x∈(12，3) 时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0 恒成立．
(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
【解析】 由题图可知，当 x<－2 时，1－x>3，此时 f′(x)>0； 当－2<x<1 时，0<1－x<3，此时 f′(x)<0；当 1<x<2 时，－1<1 －x<0，此时 f′(x)<0；当 x>2 时，1－x<－1，此时 f′(x)>0，由 此可以得到函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值，在 x＝2 处取得 极小值． 【答案】 D
第三章 导数及其应用
第2课时 导数与函数的极值、最值
1．函数的极值 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点 的 函 数 值 都 小 ， f′(a) ＝ 0 ； 而 且 在 点 x ＝ a 附 近 的 左 侧 __f_′(_x_)_＜__0____，右侧___f′_(x_)_＞__0____，则点 a 叫做函数 y＝f(x) 的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
5 2
52，＋∞
f′(x)
－0＋
0
－
f(x)
12e－12
0
12e－52
又 f(x)＝12( 2x－1－1)2e－x≥0，所以 f(x)在区间12，＋∞上的取值 范围是0，12e－12.
求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点处的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最 大值，最小的一个为最小值．