高考物理一轮复习 第十四章 机械振动与机械波 第1讲 机械振动学案

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第1讲机械振动
微知识1 简谐运动
1．概念
质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x－t图象)是一条正弦曲线。

2．回复力
(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。

(2)方向：时刻指向平衡位置。

(3)来源：振动物体所受的沿振动方向的合力。

3．描述简谐运动的物理量
微知识2 简谐运动的公式和图象
1．表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－\”表示回复力与位移的方向相反。

(2)运动学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相。

2．图象
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sinωt，
图象如图甲所示。

(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cosωt，图象如图乙所示。

微知识3 简谐运动的两种模型
微知识4 受迫振动和共振1．自由振动、受迫振动和共振
2.共振曲线
由图知当f驱＝f0时振幅最大。

一、思维辨析(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

) 1．简谐运动是匀变速运动。

(×)
2．简谐运动的回复力与位移大小成正比，方向相同。

(×)
3．单摆在通过平衡位置时，摆球所受合外力为零。

(×)
4．弹簧振子在振动过程中，每周期经过平衡位置两次。

(√) 5．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。

(√)
6．简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。

(×)
二、对点微练
1．(简谐运动的特征)(多选)一个质点做简谐运动，当它每次经过同一位置时，一定相同的物理量是( ) A ．位移 B ．速度 C ．加速度
D ．动能
解析 做简谐运动的质点，具有周期性。

质点每次经过同一位置时，位移一定相同；由于加速度与位移大小成正比、方向总是相反，所以加速度相同；速度的大小相同，但方向不一定相同(可能相同，也可能相反)，所以速度不一定相同，而动能相同。

答案 ACD
2．(单摆)做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1
2，则单摆振动的( )
A ．频率、振幅都不变
B ．频率、振幅都改变
C ．频率不变、振幅改变
D ．频率改变、振幅不变
解析 由单摆的周期公式T ＝2π
L
g
可知，单摆摆长不变，则周期不变，频率不变；振幅A 是反映单摆运动过程中的能量大小的物理量，由E k ＝12
mv 2可知，摆球经过平衡位置时的动
能不变，由机械能守恒定律知，在最大位移处重力势能不变，则振幅一定减小，所以C 项正确。

答案 C
3．(简谐运动的图象)如图为一弹簧振子的振动图象，由此可知( )
A ．在t 1时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大
B ．在t 2时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小
C ．在t 3时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最小
D ．在t 4时刻，振子的动能最大，所受的弹性力最大
解析 从图象的横坐标和纵坐标可以知道此图是机械振动图象，将它与机械波的图象区分开，它所描述的是一个质点在不同时刻的位置，t 2和t 4是在平衡位置处，t 1和t 3是在最大位移处，头脑中应出现一幅弹簧振子振动的实物图象，根据弹簧振子振动的特征，弹簧振子在平衡位置时的速度最大，加速度为零，即弹性力为零；在最大位移处，速度为零，加速度
最大，即弹性力为最大，所以B 项正确。

答案 B
4．(受迫振动与共振)一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后发现先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，对这一现象下列说法正确的是( )
①正常工作时，洗衣机波轮的运转频率大于洗衣机的固有频率 ②正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小 ③当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率 ④当洗衣机振动最剧烈时，固有频率最大 A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④
解析 洗衣机做受迫振动，当波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率时，振动最剧烈，③正确；切断电源后，洗衣机波轮转动频率逐渐减小的过程中发生了共振，因此，正常工作时的频率大于洗衣机的固有频率，①正确，②错误，④也错误。

答案 C
见学生用书P202
微考点 1 简谐运动的五个特征量
核|心|微|讲
1．动力学特征
F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度
系数。

2．运动学特征
简谐运动的加速度与物体偏离位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a 、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。

3．运动的周期性特征
相隔T 或nT 的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。

4．对称性特征 (1)相隔T 2
或
n ＋
T
2
(n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、
加速度大小相等，方向相反。

(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。

(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP ′。

(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。

5．能量特征
振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。

典|例|微|探
【例1】 如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a 到b 历时0.2 s ，振子经a 、b 两点
时速度相同，若它从b 再回到a 的最短时间为0.4 s ，则该振子的振动频率为( )
A ．1 Hz
B ．1.25 Hz
C ．2 Hz
D ．2.5 Hz
【解题导思】
(1)弹簧振子在振动的过程中具有周期性，在关于平衡位置对称的两点的位移大小、回复力大小、速度大小有何关系？
答：在关于平衡位置对称的两点的位移大小相等、回复力大小相等、速度大小相等。

(2)振动中从b 点到右方最大位移处和从右方最大位移处到b 点所用时间有何关系？ 答：相等。

解析 由简谐运动的对称性可知：t Ob ＝0.1 s ，t bc ＝0.1 s ，故T
4＝0.2 s ，解得T ＝0.8 s ，f
＝1
T
＝1.25 Hz ，选项B 正确。

答案 B
(1)做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零。

(2)由于简谐运动具有周期性和对称性，因此涉及简谐运动时往往出现多解，分析时应特别注意。

位移相同时回复力、加速度、动能和势能等可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不能确定。

题|组|微|练
1．弹簧振子在做简谐运动时，若某一过程中振子的速率在减小，则此时振子的( ) A ．速度与位移方向一定相反 B ．加速度与速度方向可能相同 C ．位移可能在减小 D ．回复力一定在增大
解析 弹簧振子的速率在减小，则动能减小，弹性势能增大，故振子必定从平衡位置向最大位移处运动，速度与位移方向相同，则加速度与速度方向必定相反，故选项A 、B 错误；由上述分析可知，弹簧振子的位移大小在增大，回复力的大小与位移大小成正比，故回复力一定增大，故选项C 错误，D 项正确。

答案 D
2．一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。

可把游船的浮动简化
成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s 。

当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。

地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船。

在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( ) A ．0.5 s B ．0.75 s C ．1.0 s
D ．1.5 s
解析 游船浮动可简化成竖直方向的简谐运动，根据题意，当船的位移满足x ＝A sin θ≥A
2＝
10 cm 时乘客可以舒服登船，解得5π6≥θ≥π6，而θ＝2πT t ，所以512T ≥t ≥1
12T ，乘客舒服
登船时间为Δt ＝512T －112T ＝1
3T ＝1.0 s ，本题只有选项C 正确。

答案 C
微考点 2 简谐运动的图象
核|心|微|讲
1．可以确定振动物体在任一时刻的位移。

2．确定振动的振幅A 和周期T 。

3．确定各时刻质点的振动方向。

判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。

下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。

4．比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。

从图象读取x 大小及方向――→F ＝－kx F 的大小及方向――→F ＝ma
a 的大小
及方向
5．比较不同时刻质点的势能和动能的大小。

质点的位移越大，它所具有势能越大，动能则越小。

典|例|微|探
【例2】 如图所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：
(1)写出该振子简谐运动的表达式。

(2)在第2 s 末到第3 s 末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s 的总位移是多少？路程是多少？ 【解题导思】
(1)由简谐运动的图象能读出哪些信息？ 答：振幅、周期。

(2)一个周期内振子运动的路程是多少？ 答：振幅的4倍。

解析 (1)由振动图象可得
A ＝5 cm ，T ＝4 s ，φ＝0，
则ω＝2πT ＝π
2 rad/s ，
故该振子简谐运动的表达式为
x ＝5sin π2
t (cm)。

(2)由题图可知，在t ＝2 s 时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t ＝3 s 时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。

(3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm ，前100 s 刚好经过了25个周期，所以前100 s 振子的位移x ＝0，振子的路程s ＝25×20 cm＝500 cm ＝5 m 。

答案 (1)x ＝5sin π
2t (cm)
(2)见解析 (3)0 5 m
题|组|微|练
3．一个弹簧振子沿x 轴做简谐运动，取平衡位置O 为x 轴坐标原点。

从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x 轴正方向的最大加速度。

能正确反映振子位移x 与时间t 关系的图象是( )
解析
如图所示，O 为平衡位置，由题意知t ＝T
4时，振子具有正向最大加速度，故此时振子应在A
处，位移x 为负的最大值。

分析各图象知，只有A 项正确。

答案 A
4．如图甲所示，弹簧振子以O 点为平衡位置，在A 、B 两点之间做简谐运动。

取向右为正方
向，振子的位移x 随时间t 的变化图象如图乙所示，下列说法正确的是( )
A ．t ＝0.8 s 时，振子的速度方向向左
B ．t ＝0.2 s 时，振子在O 点右侧6 cm 处
C ．t ＝0.4 s 和t ＝1.2 s 时，振子的加速度完全相同
D ．t ＝0.4 s 到t ＝0.8 s 的时间内，振子的速度逐渐减小
解析 从t ＝0.8 s 时起，再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向，故t ＝0.8 s 时，速度方向向左，A 项正确；由题图乙得振子的位移x ＝12sin 5π
4t cm ，故t
＝0.2 s 时，x ＝6 2 cm ，故B 项错误；t ＝0.4 s 和t ＝1.2 s 时，振子的位移方向相反，由a ＝－kx m
知，加速度方向相反，C 项错误；t ＝0.4 s 到t ＝0.8 s 的时间内，振子的位移
逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故D 项错误。

答案 A
微考点 3 受迫振动和共振
核|心|微|讲
1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
2.对共振的理解
(1)共振曲线
如图所示，横坐标为驱动力的频率f，纵坐标为振幅A。

它直观地反映了驱动力的频率对某固有频率为f0的振动系统做受迫振动时振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。

(2)受迫振动中系统能量的转化
做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。

典|例|微|探
【例3】 一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A 与驱动力频率f 的关系)如图所示，则( )
A ．此单摆的固有周期约为0.5 s
B ．此单摆的摆长约为1 m
C ．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D ．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 【解题导思】
驱动力的频率与单摆的固有频率越接近，单摆振动的振幅有何变化？
答：驱动力的频率与单摆的固有频率越接近时单摆振幅越大，两者相等时，振幅达到最大。

解析 由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz ，固有周期为2 s ；再由T ＝2π
l
g
，得此单摆的摆长约为1 m ；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动。

答案 B
题|组|微|练
5．在实验室可以做“声波碎杯”的实验，用手指轻弹一只玻璃酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的频率为500 Hz 。

将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯碎掉。

下列说法正确的是( ) A ．操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大 B ．操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波 C ．操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率
D ．操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz ，且适当增大其输出功率 解析 由题可知用手指轻弹一只酒杯，测得这声音的频率为500 Hz ，就是酒杯的固有频率，当物体发生共振时，物体振动的振幅最大，甚至可能造成物体解体，将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，将酒杯碎掉是利用的共振现象，而发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，而酒杯的固有频率为500 Hz ，故操作人员要将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz ，使酒杯产生共振，从而能将酒杯碎掉，故D 项正确。

答案 D
6．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦的探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法，解决了这一问题，在飞机机翼前缘处装置配重杆的主要目的是( ) A ．加大飞机的惯性 B ．使机体更加平衡 C ．使机翼更加牢固
D ．改变机翼的固有频率
解析 飞机飞上天后，在气流周期性驱动力的作用下做受迫振动，机翼越抖越厉害说明气流驱动力的频率与机翼的固有频率非常接近或相等，在机翼前缘处装置配重杆，目的是通过改变机翼的质量来改变其固有频率，使驱动力频率与固有频率相差较大，从而实现减振的目的，D 项正确。

答案 D
见学生用书P204
单摆周期公式的理解和应用
素能培养
1．单摆在摆角很小的情况下的振动是简谐运动，根据周期公式知周期由摆长l 和重力加速度g 决定。

而g 是联系很多机械运动的桥梁，如自由落体运动、抛体运动等，因此，要注意单摆运动与其他动力学结合的问题。

2．当单摆在其他星球或升降机中振动时，周期公式中的g 为视重力加速度，它随着单摆所处环境的改变而改变。

做题不能认为g 总等于9.8 m/s 2。

经典考题 一根摆长为2 m 的单摆，在地球上某地振动时，测得完成100次全振动所用的时间为284 s 。

(1)求当地的重力加速度g 。

(2)该单摆拿到月球上去，已知月球的重力加速度是1.60 m/s 2
，单摆振动周期是多少？
解析 (1)周期T ＝t n ＝284
100
s ＝2.84 s 。

由周期公式T ＝2π
l g
得 g ＝4π2
l T 2＝4×3.142
×22.842
m/s 2＝9.78 m/s 2。

(2)T ′＝2π
l
g ′
＝2×3.14×2
1.60
s ＝7.02 s 。

答案 (1)9.78 m/s 2
(2)7.02 s
对法对题
1．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律。

法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系。

已知单摆摆长为
l ，引力常量为G ，地球质量为M ，摆球到地心的距离为r ，则单摆振动周期T 与距离r 的关
系式为( )
A ．T ＝2πr GM
l B ．T ＝2πr l GM C ．T ＝
2πr
GM l
D ．T ＝2πl
r GM
解析 设离地心r 处重力加速度为g ，则GMm r 2＝mg ，
故g ＝GM
r
2①；单摆振动周期T ＝2πl g
②。

①代入②得T ＝2πr l
GM
，故选项B 正确。

答案 B
2．一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k 。

设地球的半径为R 。

假定地球的密度均匀。

已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d 。

解析 根据万有引力定律，地面处质量为m 的物体的重力为mg ＝G mM R
2， 式中g 是地面处的重力加速度，M 是地球的质量。

设ρ是地球的密度，则有
M ＝43
πρR 3，
摆长为L 的单摆在地面处的摆动周期为
T ＝2π
L g 。

若该物体位于矿井底部，则其重力为
mg ′＝G
mM ′R －d
2
，
式中g 是矿井底部的重力加速度，且
M ′＝43
πρ(R －d )3。

在矿井底部此单摆的周期为
T ′＝2π
L g ′
， 由题意T ＝kT ′， 联立以上各式得
d ＝R (1－k 2)。

答案 R (1－k 2
)
见学生用书P205
1．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x ＝A sin π
4t ，则质点( )
A ．第1 s 末与第3 s 末的位移相同
B ．第1 s 末与第3 s 末的速度相同
C ．第3 s 末至第5 s 末的位移方向都相同
D ．第3 s 末至第5 s 末的速度方向都相同
解析 由关系式可知ω＝π4 rad/s ，T ＝2π
ω＝8 s ，将t ＝1 s 和t ＝3 s 代入关系式中求得
两时刻位移相同，A 项对；作出质点的振动图象，由图象(上图)可以看出，第1 s 末和第3 s 末的速度方向不同，B 项错；由图象可知，第3 s 末至第4 s 末质点的位移方向与第4 s 末至第5 s 末质点的位移方向相反，而速度的方向相同，故C 项错，D 项对。

答案 AD
2．一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A ．质点振动频率是4 Hz
B ．在10 s 内质点经过的路程是20 cm
C ．第4 s 末质点的速度为零
D ．在t ＝1 s 和t ＝3 s 两时刻，质点位移大小相等，方向相同
解析 由振动图象可知，质点振动的周期是4 s ，频率为0.25 Hz ，故A 项错误；振幅为2 cm 。

一个周期质点经过的路程为4A,10 s 为2.5个周期，经过的路程为2.5×4A ＝10A ＝20 cm ，B 项正确；4 s 末质点在平衡位置，速度最大，故C 项错误；在t ＝1 s 和t ＝3 s 两时刻，质点分别在正最大位移和负最大位移，大小相等、方向相反，故D 项错误。

答案 B
3．甲、乙两单摆静止于平衡位置，摆球质量相同，摆长l 甲>l 乙。

现给摆球相同的水平初速度v ，让其在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与能量分别为f 1、f 2和E 1、E 2，则它们的关系是( ) A ．f 1>f 2，E 1＝E 2 B ．f 1<f 2，E 1＝E 2 C ．f 1<f 2，E 1>E 2
D ．f 1＝f 2，
E 1<E 2
解析 给摆球相同的水平初速度v ，相当于给予单摆相同的机械能，E 1＝E 2，根据单摆周期公式，甲单摆周期较大，频率较小，f 1<f 2，选项B 正确。

答案 B
4．如图所示，质量相同的四个摆球悬于同一根横线上，四个摆的摆长分别为l 1＝2 m 、l 2
＝1.5 m、l3＝1 m、l4＝0.5 m。

现以摆3为驱动摆，让摆3振动，使其余三个摆也振动起来，则摆球振动稳定后( )
A．摆1的振幅一定最大B．摆4的周期一定最短
C．四个摆的振幅相同D．四个摆的周期相同
解析让摆3振动，由其余三个摆做受迫振动，四个摆的周期相同，选项D正确。

答案 D。