初一竞赛讲座(特殊的正整数)

数学竞赛辅导讲义
一次方程(组)与二元一次不定方程
本讲就解一次方程（组）与二元一次不定方程的基本方法和技巧作些简单介绍。

一、一次方程（组）
解一元一次方程的一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，两边同除以未知数的系数。

任何一个一元一次方程最终都可以化为ax b =的形式。

解方程的根据是方程的同解原理。

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫同解方程。

1． 方程两边都加上（减去）同一个数（或同一个整式），所得的方程与原方程是同解方程。

2． 方程两边都乘以（除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。

例1．解下列个方程
（1）()()()()11323327322337
x x x x --
-=---
（2）()14335190.50.125x x x +++=+ （3）3421424904532x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+-=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭
例2．是否存在这样的a 值，使当1b =时，关于x 的方程()()322387a x b x x -+-=-有无数多个解？
例3．关于x 的方程1x ax =+同时有一个正数解和一个负数解，求a 的值。

例4．关于x 、y 的两个方程组2227ax by x y -=⎧⎨
-=⎩
和359311ax by x y -=⎧⎨-=⎩具有相同的解，求a 、b 的值。

例5．已知()()()()()()22219992000200101999200020012000
x y y z x z x y y z z x -+---=⎧⎪⎨-+-+-=⎪⎩求z y -的值。

二、二元一次不定方程
如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，则把这种方程（组）叫做不定方程（组）。

例如，二元一次方程3215x y +=是不定方程；三元一次方程组11426x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩
是不定方程。

不定方程（组）的解是不确定的。

一般不定方程总有无数穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解三种都有可能：有无穷组解，或有限组解，或无解。

不定方程（组）是数论中的一个分支。

解这类问题，没有一定的方法可循，但只要灵活运用初中阶段数学知识，还是可以讨论一些不定方程（组）的整数解的。

在本讲中，我们将研究求整数系数的二元一次不定方程ax by c +=（其中a 、b 为整数，且a 、b ≠0）的整数解（或判断其无整数解）的方法，并以此解决一些实际问题。

例6．一个箱子中装有若干只蜘蛛与蟋蟀，每之蜘蛛8条腿，每只蟋蟀6条腿。

已知箱子内
的蜘蛛和蟋蟀共有46条腿，问其中蜘蛛和蟋蟀各有多少只？
例7．求方程254x y -=的全部整数解
例8．试判断不定方程2948457x y -=有无整数解。

例9．某种考试已经举行了24次，共出了426道题，每次出的题数，或者有25题，或者有20题，或者有16题，那么其中考了25道题的有几次？
例10．某地居名用电收费制度规定：每户每月用电不超过24度时，按每度0.45元收取；超过24度时，超过部分按每度1元收费，并且规定用电按整度收费，某月，甲用户比乙用户多交4.8元，问甲、乙两户各交电费多少元？
数学竞赛模拟训练题四
１.设x 、y 满足331926
x y x y x y ⎧++-=⎪⎨+=⎪⎩求x 、y 的值 ２.正整数n 小于100，并且满足236
n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数， 这样的正整数n 有多少个？
3.某种商品的市场需求量D （千件）和单价P （元/件）服从需求关系117033
D P +-=， （1）当单价为4元时，市场的需求量为_____________________________________
（2）若出售一件商品要在原单价4元的基础上征收税金1元，则市场需求量变化关系是______
4.甲乙丙三人共解出10道题，但每个人都只解出了其中的6道题，若将其中只有一个人解决的问题叫做难题，将三个人都解决的题叫做容易题，则难题比容易题多几道？
5．把一张纸剪成6块，再从所得的纸片中取一块剪成6块，然后再将其中一块剪成6块，这样类似地进行下去，问剪到第n 次时，剪出来的大小纸片块数是多少？有没有一个n 值，使剪到第n 次后，总的块数正好是2006？若有，求出n 值，若没有，说明理由。

初一数学竞赛系列讲座
容斥原理
一、一、知识要点
1、容斥原理
在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。

它的基本形式是： 记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既
属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A I ，有B A I 个；属于集合A 或属于集合B
的东西记为B A Y ，有B A Y 个，则有：B A Y =A +B -B A I
容斥原理可以用一个直观的图形来解释。

如图，
左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表
示B A I ，两圆合起来的部分表示B A Y ， 由图可知：B A Y =A +B -B A I
容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。

二、二、例题精讲
例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个？ 分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。

解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2⨯1，2⨯2，…，2⨯100，共100个；
在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3⨯1，3⨯2，…，3⨯66，共66个； 在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6⨯1，6⨯2，…，6⨯33，共33个；
所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为： 200-100-66+33=67(个)
例2 求1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。

解：1到100的自然数中，所有自然数的和是：1+2+3+…+100=5050
1到100的自然数中，所有2的倍数的自然数和是：
2⨯1+2⨯2+…+2⨯50=2⨯(1+2+3+…+50)= 2⨯1275=2550
1到100的自然数中，所有3的倍数的自然数和是：
3⨯1+3⨯2+…+3⨯33=3⨯(1+2+3+…+33)= 3⨯561=1683
1到100的自然数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的自然数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯16=6⨯(1+2+3+…+16)= 6⨯136=816
所以，1到100的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和
S=5050-2550-1683+816=1633
例3求不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数。

分析：如图，用3个圆A 、B 、C 分别表示不大于500而
能被2、3、5整除的自然数， B A I 表示既能被2整除又能被3整除的自然数
C A I 表示既能被2整除又能被5整除的自然数
C B I 表示既能被3整除又能被5整除的自然数
A
B C
C
B
A I
I表示既能被2整除又能被3整除，还能被5整除的自然数
由图可看出：属于A、B、C之一的数的个数为：
A
+B
+
C
-(
B
A I
+
C
A I
+
C
B I
)+
C
B
A I
I
解：不大于500且能被2整除的自然数的个数是：250
不大于500且能被3整除的自然数的个数是：166
不大于500且能被5整除的自然数的个数是：100
不大于500既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的自然数的个数是：83
不大于500既能被2整除又能被5整除，即能被10整除的自然数的个数是：50
不大于500既能被3整除又能被5整除，即能被15整除的自然数的个数是：33
不大于500既能被2整除又能被3整除，还能被5整除，即能被30整除的自然数的个数是：16
由容斥原理得：不大于500而至少能被2、3、5中一个整除的自然数的个数是：
250+166+100-(83+50+33)+16=366
例4 求前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和。

解：前200个正整数的和是：1+2+3+…+200=20100
前200个正整数中，所有2的倍数的正整数和是：
2⨯1+2⨯2+…+2⨯100=2⨯(1+2+3+…+100)= 2⨯5050=10100
前200个正整数中，所有3的倍数的正整数和是：
3⨯1+3⨯2+…+3⨯66=3⨯(1+2+3+…+66)= 6633
前200个正整数中，所有5的倍数的正整数和是：
5⨯1+5⨯2+…+5⨯40=5⨯(1+2+3+…+40)= 4100
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数，即是6的倍数的正整数和是：6⨯1+6⨯2+…+6⨯33=6⨯(1+2+3+…+33)= 3366
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是5的倍数，即是10的倍数的正整数和是：10⨯1+10⨯2+…+10⨯33=10⨯(1+2+3+…+20)= 2100
前200个正整数中，所有既是3的倍数又是5的倍数，即是15的倍数的正整数和是：15⨯1+15⨯2+…+15⨯13=15⨯(1+2+3+…+13)= 1365
前200个正整数中，所有既是2的倍数又是3的倍数还是5的倍数，即是30的倍数的正整数和是：30⨯1+30⨯2+…+30⨯6=30⨯(1+2+3+4+5+6)= 630
所以，前200个正整数中，所有非2、非3、非5的倍数的数之和是
S=20100-(10100+6633+4100)+(3366+2100+1365)-630=630
例5 某班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人
解：有4名学生在这三个项目都没有达到优秀，在每个单项上达到优秀的人数分别是
17、18、15，因而，总人数是17+18+15+4=54。

但其中有人获得两项优秀，所以上面的计数产生了重复，重复人数应当减去，即总人数变为：54-6-6-5=37
又考虑到获得三项优秀的人，他们一开始被重复计算了三次，但在后来又被重复减去了三次，所以最后还要将他们加进去。

即这个班学生数为：37+2=39。

例6 从1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数多还是能被13整除而不能被11整除的数多？(第20届全俄九年级试题)
解：设1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除而不能被13整除的数有m个，能被13整除而不能被11整除的数有n个，既能被11又能被13整除的数有p个。

而在1到1000000这一百万个自然数中，能被11整除数有90909个，∴m+p=90909 在1到1000000这一百万个自然数中，能被13整除数有76923个，∴n+p=76923 ∴m+p> n+p ∴m>n，即能被11整除而不能被13整除的数比能被13整除而不能被11整除的数多。

例7 50名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数同学向后转，问此时还有多少同学面向老师？(1995年华杯赛试题)
分析：首先没有转的同学仍面向老师，即报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学仍面向老师，其次，报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学连续转了两次，仍面向老师。

解：报数是4的倍数的同学有12个，报数是6的倍数的同学有8个，报数是12的倍数的同学有4个，所以根据容斥原理得：报数既不是4的倍数，也不是6的倍数的同学有50-12-8+4=34个。

报数既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数同学有4个。

所以此时还应有34+4=38个同学面向老师。

评注：若将同学数50改成n，问此时还有多少同学面向老师？
可以得出一个一般的结论：
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
12
2
6
4
n
n
n
n
例8 已知某校共有学生900名，其中男生528人，高中学生312人，团员670人，高中男生192人，男团员336人，高中团员247人，高中男团员175人，试问这些数据统计有无错误？
解：用I表示全校学生，A表示该校男生，B表示该校高中学生，C表示团员，则有：
I
=900，A
=528，
B
=312，
C
=670，
且
B
A I
=192，
C
A I
=336，
C
B I
=247，
C
B
A I
I
=175
这样，初中女生的非团员数是：
I -A
-
B
-
C
+
B
A I
+
C
A I
+
C
B I
-
C
B
A I
I
=900-528-312-670+192+336+247-175= -10<0 因人数做到负数，所以数据统计有错误。

例9 从自然数序列：1，2，3，4，…中依次划去3的倍数和4的倍数，但其中5的倍数均保留。

划完后剩下的数依次组成一个新的序列：1，2，5，7，…求该序列中第2002个数。

分析：因为3，4，5的最小公倍数是60，所以可将自然数序列：1，2，3，4，…以60的倍数来分段，先考虑1到60的整数，其中3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，则划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个，又还要保留其中的5的倍数6个，这样还剩36个，即1到60的整数中，划完后剩下36个，由此推得，每60个一段中，划完后剩下36个。

因2002=36⨯55+22，说明2002是56段中的第22个数。

解：先考虑1到60的整数
在1到60的整数中，3的倍数有20个，4的倍数有15个，既是3的倍数又是4的倍数的数有5个，所以划去3的倍数和4的倍数还剩60-20-15+5=30个。

又因为其中5的倍数有6个，需要保留，所以划完后剩下30+6=36个
因为3，4，5的最小公倍数是60，所以每60个整数一段中，划完后均剩下36个。

因为2002=36⨯55+22，所以第2002个数是56段中的第22个数。

因为第一段中的第22个数是37，所以该序列中第2002个数是55⨯60+37=3337。

三、三、巩固练习
选择题
1、在1到40这四十个自然数中选一些数组成数集，使其中任何一个数不是另一个数的2倍，则这个数集最多有( )个数。

A、20
B、26
C、30
D、40
2、甲、乙、丙、丁四人排成一排照相，甲不排在首位，丁不排在末位，有( )种不同的排法。

A、14
B、13
C、12
D、11
3、从1到1000中，能被2，3，5之一整除的整数有( )个
A、767
B、734
C、701
D、698
4、从1到200中，能被7整除但不能被14整除的整数有( )个
A、12
B、13
C、14
D、15
5、A、B、C是面积分别为150、170、230的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起的覆盖面积是350，且A与B、B与C、A与C的公共部分面积分别是100、70、90。

则A、B、C的公共部分面积是( )
A、12
B、13
C、60
D、15
6、50束鲜花中，有16束插放着月季花，有15束插放着马蹄莲，有21束插放着白兰花，有7束中既有月季花又有马蹄莲，有8束中既有马蹄莲又有白兰花，有10束中既有月季花又有白兰花，还有5束鲜花中，月季花、马蹄莲、白兰花都有。

则50束鲜花中，这三种花都没有的花束有( )
A、17
B、18
C、19
D、20
填空题
7、一张正方形的纸片面积是50平方厘米，一张圆形的纸片面积是40平方厘米。

两张纸片覆盖在桌面上的面积是60平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是。

8、某班有学生45人，已知其次考试数学30人优秀，物理28人优秀，数理两科都优秀的有20人。

则数理两科至少有一科优秀的有人，一科都未达到优秀的有人。

9、某班有学生50人，参加数学兴趣小组的有35人，参加语文兴趣小组的有30人，每
人至少参加一个组，则两个组都参加的有 人。

10、一个数除以3余2，除以4余1，则这个数除以12的余数是 。

11、每边长是10厘米的正方形纸片，正中间挖一个正方形的洞，
成为一个边宽是1厘米的方框。

把5个这样的方框放在桌上，成为
如图这样的图形。

则桌面上被这些方框盖住的部分面积是
平方厘米。

12、200以内的正偶数中与5互质的数有 个。

解答题
13、在线段AB 上取两个点以C 、D ， 已知AB=25，AD=19，CB=17，求CD 长。

14、求1到200的自然数中，所有既不是2的倍数又不是3的倍数的整数之和S 。

15、100名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是7的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？这些面向老师的学生的报数号的总和是多少？
16、求前500个正整数中非5、非7、非11的倍数的数的个数。

17、某校初一年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数。

18、某班语文、数学、外语三门考试成绩统计结果如下：
问：语
文、
数
学、外语三门考试都得满分的人数是多少？
19、求出分母是111的最简真分数的和。

20、有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着。

现将其顺序编号为1，2，3，…，1997。

将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，拉完后还有几盏灯是亮的？
初一数学竞赛系列讲座
角的认识
一、一、知识要点
具有公共端点的两条射线所成的图形称为角。

与角有关的基本概念有：周角，平角，直角，锐角，钝角，对顶角等。

二、二、例题精讲
例1． 例1． 如图，已知O 是直线AC 上一点，OB 是一条射线， OD 平分 AOD ，OE
A B
C D
在∠BOC 内，∠BOE ＝21
∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数。

分析：易得∠EOC ＝32
∠BOC ，而∠BOC +∠AOB ＝180°，结合OD 平分∠AOB ，可作∠BOC 平分线，结合∠DOE 可求出∠BOC ，从而求∠EOC 的度数
解：作∠BOC 平分线OF ，则
∠BOF ＝∠COF ＝21
∠BOC
∵ OD 平分∠AOB ∴ ∠AOD ＝∠DOB ＝21∠AOB 又∵ ∠BOC +∠AOB ＝180°
∴ ∠DOB+∠BOF ＝90° 即 ∠DOF ＝90°
∴ ∠EOF ＝∠DOF-∠DOE ＝20°
又∵ ∠EOF ＝∠BOF-∠BOE
而∠BOF ＝21∠BOC ，∠BOE ＝31
∠BOC
∴∠EOF ＝21∠BOC-31∠BOC ＝61
∠BOC
∴∠BOC ＝6∠EOF ＝120°
∴∠EOC ＝32∠BOC ＝32
×120°＝80°
即 ∠EOC ＝80°
例2． 例2． 一个锐角的余角的补角与这个锐角的差是（ ）
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．不能确定
分析：设该锐角为α，它的余角（90°-α）的补角β应为180°-（90°-α）＝90°+α，β与α的差（90°+α）-α＝90° 故选B
例3． 例3． 已知∠α的余角是∠β的补角的51
，∠β＞110°，求∠α的范围。

分析：显然∠α是锐角，由互余和互补的定义及条件可求出∠α与∠β的关系，再由∠β的范围，可求出∠α的范围。

解：∠α的余角为90°-α，∠β的补角为180°-β
由题意，得90°-α＝51
（180°-β）
O
A 1o A 2A 10
∴ β＝5α-270°
∵ ∠β＞110°
∴ 5α-270°＞110° ∴ α＞76°
又由条件知∠α为锐角 ∴ α＜90°
故∠α的范围是76°＜α＜90°
评注：本例把∠α转化到∠β进而求出∠α的范围。

要把相关概念进解透彻，否则就会忽略
α＜90°这一条件。

例4． 例4． 当时间是2点32分时，时针与分针的夹角是多少度？
解：时针每小时转1大格，即30°，所以每分针转0.5°，而分针每分转6°，当时针指向
整点时，分针指向12点。

因此，我们以指向12点作为角的始边，在2点32分时，时针与
12点构成的角度是2×30°+32×0.5°＝76°分针与12点构成的角度是32×6°＝192°，
从而，2点32分时，时针与分针的夹角是192°-76°＝116°
评注：（1）当时针与分针所转过的角度的差大于180°时，则需用360°减去这个角，例如：
2点50分时，按上述方法求得的角是50×6°-(2×30°+50×0.5°)
=300°-85°=215°＞180°
则时针与分针的夹角为360°-215°＝145°
（2）对于确定的时间，例如x 点y 分时，试写出用x 、y 表示时针与分针的夹角的表达式。

例5． 例5． 如图射线OA 表示北偏东60°，射线OB
表示东南方向，∠BOC 是∠AOB 的余角，射线OD
是射线OC 的反向延长线，写出射线OD 所表示的方向。

解：∠AOB=30°+45°=75° ∠AOB 的余角∠BOC=90°-75°=15°
∴OC 表示南偏东30°，OC 的反向延长线OD 所表示方向是北偏西30°
评注：如果本例没有给出图形，那么按题意，射线OC 就有在∠AOB 外部和内部两种不同
位置，求OD 的方向也就需要分两种情况求解。

例6． 例6． 如图，OA 1，OA 2，…，OA 10是以O 为端点的十条射线，∠A 1OA 10＜90°，
则图中以O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有多少个？
解法一：以O 为端点，以十条射线OA 1，OA 2，…，OA 10的任意两条为边组成的角，取决
于从十条射线OA 1，OA 2，…，OA 10中选出两条配成的对数。

共有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45对，
所以图中以O 为顶点以这些射线为边、角度小于平角的角共有45个。

评注：在数图形的角的总数时，和数线段一样，关键仍是做到不重不漏，因此，必须按照一定的规律去数。

解法二：也可化为数线段的问题。

如图作一
直线，分别交OA 1，OA 2，…，OA 10于A 1，A 2，…，A 10，则每一
个角对应于A 1 A 10上的某一条线段。

反过来，A 1 A 10上的每一条线段又对应于某一个角，如∠A 4OA 6，它对应线段A 4A 6，而线
段A 4A 6恰好对应线段于∠A 4OA 6，因此，要数图中角的个数，只
要数A 1 A 10上的线段数即可，
而A 1 A 10上的线段数有9+8+7+6+5+4+3+2+1＝45条
因此，图中共有45个角
例7． 例7． 求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。

证明：如图，AB 、CD 相交于O ，则∠AOC 与∠BOD 成对顶角。

设OE 、OF 分别为∠AOC 、
∠BOD 的平分线，
∵ ∠AOE=21∠AOC ∠BOF=21∠BOD 且 ∠AOC=∠BOD ∴ ∠AOE=∠BOF 又∵ ∠BOF+∠FOD+∠DOA=180°
∴ ∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°
即 ∠EOF=180°
∴ OE 、OF 在同一直线上。

评注：与对顶角有关的问题比较多，解这类题时，主要运用对顶角的定义来解题
例8． 例8． 已知：直角∠AOB ，以点O 为端点在∠AOB 的内部画出1995条射线，以
OA 、OB 及这些射线为边的锐角的个数是多少？
解：设以O 为端点在∠AOB 的内部画出的1995条射线逆时针方向分别为射线OP 1，OP 2，
OP 3…，OP 1995
则以OA 为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP 1，OP 2，OP 3…，
OP 1995）
以OP 1为始边，逆时针方向旋转，形成1995个锐角（终边分别为射线OP 2，OP 3，…，OP 1995，
OB ）
以OP 2为始边，逆时针方向旋转，形成1994个锐角（终边分别为射线OP 3，OP 4，…，OP 1995，
OB ）
……
以OP 1995为始边，逆时针方向旋转，形成1个锐角（终边为射线OB ）
∴ 共有1995+1995+1994+1993+…+2+1＝1993005（个）
三、三、巩固练习
选择题
1、两个角β,a 的补角互余，则这两个角的和β+a 的大小是
A.180°
B.135°
C. 270°
D.90°
2、如图，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC
的平分线，已知∠AOC ＝80°，则∠MON 为 （ ）
A ．30°
B ．40°
C ．45°
D ．50°
3、已知一个直角∠,AOB 以O 为端点在画10条射线，以OB OA ,以及这些射线为边构∠,AOB 的内部成的锐角的个数是（ ）个。

（A ）
（B ）132 （C ）66 （D ）65 4、O 是直线AB 上的一点，∠AOD ＝120
°，CO ⊥AB 于O ，
OE 是∠BOD 的平分线，则图中彼此互补的角共有（ ）
A ．4对
B ．5对
C ．6对
D ．7对 O 第2题第4题
E
F
5、一张长方形的纸,ABCD 如图将C 角折起到E 处，作∠EFB 的平
分线HF ，则∠HFG 的大小是（ ）
（A ）锐角 （B ）直角 （C ）钝角 （D ）无法确定
6、当时间是3点40分时，时针与分针的夹角度数是（ ）
A ．110°
B ．130°
C ．120°
D ．150° 第5题
填空题
7．已知角a 的补角等于角a 的3.5倍，则角a 等于＿＿度。

8．如图，AOE 是一条直线，COE AOC ∠>∠，OB 、OD 分别
是COE AOC ∠∠、角平分线则图中的钝角共有＿＿个。

9．不相等的两角a 和β的两边分别平行，其中a 角比β角的3倍
少200
，则a 的大小是＿＿＿。

第8题
10、船停在海面上，从船上看，灯塔的方向在北偏东30°，那么，从灯塔看，船的方向在 。

11、O 为平面上一点，过O 在这个平面上引2001条不同的直线l 1，l 2，
l 3，…，12001，则可形成 对以O 为顶点的对顶角。

12、图中三角形的个数是 。

解答题 13、一个角的余角的2倍和它的补角的21
互为补角，求这个角的度数。

(第12题)
14、如图所示的五角星形中
共可数出多少个三角形。

15、∆ABC 是锐角三角形，D 、E 、F 分别为BC 、AC 、AB 上的点，连DE 、EF 、DF ，图
中大于0°小于180°的角有多少个？
第15 题
16、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的值。

17、如图，BE 、DE 是∠ABC 、∠ADC 的角平分线
求证：∠E=21
(∠A+∠C)
18、某人下午6点多钟外出买东西，看表上的时针与分针的夹角是110°，近7点钟返回时，
A B C D E F 第17题A B C D E F
A B C D E F 第16题
发现时针与分针的夹角又是110°，则此人外出共用了多少时间？
19、证明：一个锐角一半的余角的2倍，减去这个锐角2倍角的补角，仍等于原角。

20、已知 AOB是120°，以O为端点在OA与OB之间作射线使它们与OA、OB之间形成的角的度数均是整数，最多可得到多少个角？多少不同的的度数？
初一数学竞赛系列讲座
相交线、平行线
一、知识要点：
1．平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。

2．两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3．垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：
（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。

5．利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。

解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
∴∠1＝∠2 (等式性质)
则3x+70＝5x+22解得x=24
即∠1＝142°
∴∠3＝180°-∠1＝38°图(1)
评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠
B+∠BED+∠D =192°，
∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

解：∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）
G
A
∵∠B+∠BED+∠D =192°（已知）
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2（∠B+∠D ）=192°（等量代换）
则∠B+∠D=96°（等式性质）
∵∠B -∠D=24°（已知） 图(2)
∴∠B=60°（等式性质）
即∠BEF=60°（等量代换）
∵EG 平分∠BEF （已知）
∴∠GEF=2
1∠BEF=30°（角平分线定义）
例3．如图（3），已知AB ∥CD ，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB 的度数。

解：过E 作EF ∥AB
∵ AB ∥CD （已知） ∴ EF ∥CD （平行公理）
∴ ∠BEF=∠B=40° ∠DEF=∠D=70°（两直线平行，
内错角相等） ∵ ∠DEB=∠DEF -∠BEF
∴ ∠DEB =∠D -∠B=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。

图（3）
例4．已知锐角三角形ABC 的三边长为a ，b ，c ，而h a ，h b ，h c 分别为对应边上的高线长，
求证：h a +h b +h c ＜a+b+c
分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段
证明：由垂线段最短知，h a ＜c ，h b ＜a ，h c ＜b 以上三式相加得h a +h b +h c ＜a+b+c
研究垂直关系应掌握好垂线的性质。

1． 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。

2． 垂线段最短。

例5．如图（4），直线AB 与CD 相交于O ，EF ⊥AB 于F ，GH ⊥CD 于H ，
求证EF 与GH 必相交。

分析：欲证EF 与GH 相交，直接证很困难，可考虑用反证法。

证明：假设EF 与GH 不相交。

∵ EF 、GH 是两条不同的直线 ∴ EF ∥GH ∵ EF ⊥AB
∴ GH ⊥AB
又因GH ⊥CD 故AB ∥CD (垂直于同一直线的两直线平行) 图（4）
这与已知AB 和CD 相交矛盾。

所以EF 与GH 不平行，即EF 与GH 必相交
评注：本题应用结论：
b a
c h a
(1) 垂直于同一条直线的两直线平行。

(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；
例6．平面上n 条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？ 解：2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；
…
则 n 条直线共有交点个数：1+2+3+…+ (n-1)=2
1n(n-1) 评注：此题是平面上n 条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。

例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条
直线，即能确定的直线为15-2=13条。

另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×
3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条
评注：一般地，平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=
2
1n(n-1)
例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域； 同理：4条直线最多分成2+2+3+4=11个不同区域；
…
∴ 10条直线最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56个不同区域
推广：n 条直线两两相交，最多将平面分成2+2+3+4+…+n=1+21n(n+1)=2
1(n 2+n+2)块不同的区域
思考：平面内n 个圆两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？
例9．平面上n 条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于n
180。