精选推荐2018_2019学年高中物理第4章匀速圆周运动第3节向心力的实例分析学案鲁科版必修2

第3节 向心力的实例分析
一、转弯时的向心力实例分析
阅读教材第76～77页“转弯时的向心力实例分析”部分，知道汽车转弯时所需要的向心力和铁路的弯道上两轨高度的设计特点、目的。

1.汽车在水平路面转弯
汽车⎩⎪⎨⎪⎧向心力来源：受到的静摩擦力提供。

向心力方程：F ＝m v 2
r 。

最大速度：v ＝Fr
m
，受最大静摩擦力的制约。

2.汽车、火车在内低外高的路面上转弯
汽车火车⎩⎪⎨⎪⎧向心力来源：重力和支持力的合力提供。

向心力方程：mg tan θ＝m v 2
r 。

临界速度：v ＝gr tan θ，取决于转弯半径和倾角。

思考判断
(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的。

( ) (2)铁路的轨道，内、外轨道都是一样高。

( ) 答案 (1)× (2)×
二、竖直平面内的圆周运动实例分析
阅读教材第77～78页“拱形桥”部分，结合图4－23、图4－26，会用向心力公式分析汽车过凸形桥与凹形桥时的受力情况。

1.汽车过拱形桥
2.过山车(在最高点和最低点)
(1)向心力来源：受力如图1所示，重力和支持力的合力提供向心力。

图1
(2)向心力方程
⎩⎪⎨⎪
⎧在最高点：N ＋mg ＝m v 2
r。

在最低点：N －mg ＝m v
2
r 。

(3)通过最高点的条件：由N ≥0，得v 思维拓展
过山车和乘客在轨道上的运动是圆周运动，如图2所示，过山车驶至轨道的顶部，车与乘客在轨道的下方，为什么车与乘客不会掉下来？
图2
答案 过山车驶至轨道的顶部时，车所受的重力和轨道的弹力的合力提供车做圆周运动的向心力，满足车做圆周运动的条件，而非近心运动或自由落体运动。

火车转弯问题的分析与计算
[要点归纳]
1.火车轮缘结构特点：火车的车轮有凸出的轮缘。

火车在轨道上运行时，车轮上有凸出轮缘的一边在两轨道内侧，如图3所示。

这种结构特点，主要是防止火车脱轨。

图3
2.火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时，实际上是在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。

3.向心力的来源：外轨高于内轨，向心力由火车的重力和轨道支持力的合力提供，不易损坏铁轨，运行更安全。

图4
4.转弯速度与轨道压力的关系：对转弯行驶的火车，由向心力公式得：mg tan θ＝m v 2r
，则v
＝gr tan θ。

(1)当火车转弯速度等于gr tan θ时，重力和支持力的合力完全提供向心力，轮缘对内、外轨无侧压力。

(2)当火车转弯速度大于gr tan θ时，外轨对轮缘有侧压力。

(3)当火车转弯速度小于gr tan θ时，内轨对轮缘有侧压力。

特别提醒
(1)汽车、摩托车赛道拐弯处和高速公路转弯处设计成外高内低，也是为了减小车轮受到地面施加的侧向力的作用。

(2)火车拐弯时做匀速圆周运动，合力沿水平方向，而不是沿轨道斜面方向。

[精典示例]
[例1] (2018·忻州高一检测) (多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动。

当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压。

现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
图5
A.减小内外轨的高度差
B.增加内外轨的高度差
C.减小弯道半径
D.增大弯道半径
思路探究
(1)在铁路弯道处，内轨比外轨高还是低？
(2)火车拐弯时按铁路的设计速度行驶时，向心力由哪些力提供？ 提示 (1)内轨低于外轨。

(2)由火车的重力和轨道的支持力的合力提供。

解析 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：
即F ＝mg tan θ，而F ＝m v 2R
，故v 2
＝gR tan θ。

若使火车经弯道时的速度v 减小，则可以减
小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R ，故A 、C 正确，B 、D 错误。

答案 AC
火车转弯问题的两点注意
(1)合力的方向：火车转弯时，火车所受合力沿水平方向指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。

因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车所受合力应沿水平面指向圆心。

(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。

速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。

[针对训练1] 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图6所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )
图6
A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C.这时铁轨对火车的支持力等于mg cos θ
D.这时铁轨对火车的支持力大于mg
cos θ
解析 由牛顿第二定律F 合＝m v 2
R
，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的
支持力的合力提供向心力，如图所示，N cos θ＝mg ，则N ＝mg
cos θ，故C 正确，A 、B 、D
错误。

答案 C
竖直面内的圆周运动
[要点归纳] 1.汽车过拱形桥问题 (1)过凸形桥顶(如图7甲)：
①合力等于向心力：mg －N ＝m v 2
R ，N ＜mg ，汽车处于失重状态，速度越大，支持力越小。

②汽车安全过桥的条件：由mg －N ＝m v 2
R
知，当N ＝0时，v ＝gR ，这时汽车会以该速度从桥
顶做平抛运动。

故汽车安全过桥的条件是在桥顶的速度v ＜gR 。

图7
(2)过凹形桥底(如图7乙)：
合力等于向心力：N －mg ＝m v 2
R
，N ＞mg ，汽车处于超重状态，速度越大，支持力越大。

2.竖直平面内圆周运动的两类模型 (1)轻绳模型
如图8所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，
由mg ＝m v 2
r
，得v ＝gr 。

图8
在最高点时：
①v ＝gr 时，拉力或压力为零。

②v ＞gr 时，物体受向下的拉力或压力。

③v ＜gr 时，物体不能达到最高点。

即绳类的临界速度为v 临＝gr 。

(2)轻杆模型
如图9所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零。

在最高点
图9
①v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg。

②0＜v＜gr时，小球受向上的支持力0＜N＜mg。

③v＝gr时，小球除受重力之外不受其他力。

④v＞gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。

即杆类的临界速度为v临＝0。

[精典示例]
[例2] 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg 的小球。

求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s。

思路探究
(1)在最高点，球的向心力由谁提供？
(2)杆对球施加的力一定是拉力吗？
提示(1)在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力提供向心力。

(2)杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定。

解析假设小球在最高点的受力如图所示。

(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2πn＝4π rad/s
由牛顿第二定律得：F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力
由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上。

(2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2πn ′＝π rad/s 同理可得小球所受杆的作用力
F ＝mL ω′2－mg ＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N 。

力F 为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N ，方向竖直向下。

答案 见解析
竖直平面内圆周运动的分析方法
(1)明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型。

(2)明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点。

(3)分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解。

[针对训练2] (2018·郑州高一检测)杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直平面内做圆周运动。

如图10所示，杯内水的质量m ＝0.5 kg ，绳子总长l ＝120 cm 。

求：
图10
(1)在最高点水不流出的最小速率；
(2)水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对杯底的压力大小。

解析 (1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即
mg ≤m v 20
l
2
，则所求最小速率v 0＝
g l
2
＝9.8×0.6 m/s ＝2.42 m/s 。

(2)当水在最高点的速率大于v 0时，只靠重力提供向心力已不足，此时杯子底对水有向下的
力，设为N ，由牛顿第二定律有N ＋mg ＝m v 2l 2，即N ＝m v 2l 2
－mg ＝0.5×3
2
0.6
N －0.5×9.8 N＝2.6
N ，由牛顿第三定律知，水对杯子的作用力N ′＝N ＝2.6 N ，方向竖直向上。

答案 见解析
1.(汽车过桥问题) (2018·大理高一检测)汽车以恒定的速率通过一圆弧形拱桥，当它位于拱桥顶部时，下列说法正确的是( )
图11
A.汽车处于超重状态
B.汽车对拱桥的压力等于其重力
C.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用
D.汽车受到的重力和支持力的合力提供它所需的向心力，方向指向圆弧的圆心
答案 D
2.(竖直面内的圆周运动——绳模型)如图12所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧。

若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
图12
A.gR
B.2gR
C.g
R
D.
R
g
解析小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得
ω＝g
R
，选项C正确。

答案 C
3.(竖直平面内的圆周运动——杆模型)(2018·泉州高一检测)如图13所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是( )
图13
A.小球过最高点时，杆所受的弹力不能等于0
B.小球过最高点时，速度至少为gR
C.小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用
D.小球过最高点时，杆对球作用力一定与小球受重力方向相反
解析 当小球在最高点的速度为gR 时，杆所受弹力为0，A 错误；因为是轻杆，小球过最高点时的最小速度是0，B 错误；小球过最高点时，如果速度在0～gR 范围内，则杆对小球有向上的支持力，但由于合力向下，故此时重力一定大于杆对球的作用，C 正确；小球通过最高点的速度大于gR ，小球的重力不足以提供向心力，此时杆对球产生向下作用力，D 错误。

答案 C
4.(圆周运动与平抛运动的结合)一光滑的半径为R 的半圆形轨道放在水平面上，一个质量为
m 的小球以某一速度冲上轨道，然后小球从轨道口B 处飞出，最后落在水平面上，已知小球
落地点C 距B 处的距离为3R 。

求小球对轨道口B 处的压力为多大？
图14
解析 设小球经过B 点时的速度为v ，小球平抛运动的水平位移x ＝（3R ）2
－（2R ）2
＝5
R
竖直方向上2R ＝12gt 2，故v ＝x t
＝
5R 4R
g
＝5gR
2。

在B 点根据牛顿第二定律得F ＋mg ＝m v 2
R
所以F ＝1
4mg ，根据牛顿第三定律知，
小球对轨道口B 处的压力F ′＝F ＝1
4
mg 。

答案 14
mg
基础过关
1.(2018·遵义高一检测)(多选)火车转弯可以看成是在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损。

为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，下列措施可行的是( ) A.适当减小内外轨的高度差 B.适当增加内外轨的高度差 C.适当减小弯道半径
D.适当增大弯道半径
解析 火车转弯时为减小外轨所受压力，可使外轨略高于内轨，使轨道形成斜面，若火车速
度合适内外轨均不受挤压，此时，重力与支持力合力提供向心力，如图，F ＝mg tan θ＝m v 2R
，
解得v ＝gR tan θ，当火车速度增大时，应适当增大转弯半径或增加内外轨道高度差，故选B 、D 。

答案 BD
2.如图1所示为水上摩天轮的照片。

假如乘客在轿厢中，随转轮始终不停地匀速转动，环绕一周需18分钟。

试判断下列关于轿厢中乘客的说法正确的是( )
图1
A.乘客受到的合外力为零
B.乘客在乘坐过程中速度保持不变
C.乘客对座椅的压力大小不变
D.从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重
解析 每个乘客都在做匀速圆周运动，速度大小不变，方向变化，所以是变速运动，加速度不为零，合力不为零，故A 、B 错误；乘客对座椅的压力大小是变化的，在最低点最大。

到达摩天轮的最高点时，乘客的加速度向下，处于失重状态，对座椅的压力最小，故C 错误；当有向上的加速度时处于超重状态，有向下的加速度时处于失重状态，所以从最低点到最高点的过程中，乘客先超重后失重，D 正确。

答案 D
3.(2018·保定高一检测)汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增大为原来的2倍时，则汽车转弯的轨道半径必须( ) A.减小为原来的12
B.减小为原来的1
4
C.增大为原来的2倍
D.增大为原来的4倍
解析 汽车在水平路面上转弯，向心力由静摩擦力提供。

设汽车质量为m ，汽车与路面的最
大静摩擦力为F fm ，汽车的转弯半径为r ，则F fm ＝m v 2r
，故r ∝v 2
，故速率增大为原来的2倍
时，转弯半径增大到原来的4倍，D 项正确。

答案 D
4.如图2所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做圆周运动。

当小球运动到最高点时，瞬时速度v ＝1
2
Lg ，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是( )
图2
A.拉力，大小为1
2mg
B.压力，大小为1
2mg
C.0
D.压力，大小为3
2
mg
解析 当只有重力提供向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg ＝m v ′2
R
，解得v ′＝gL 。

因为
12gL ＜gL ，杆对球的作用力是支持力，即mg －N ＝m v 2
L ，解得N ＝1
2
mg ，由牛顿第三
定律，球对杆的作用力是压力，故选B 。

答案 B
5.某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对座椅的压力最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A.mg
B.2mg
C.mg ＋mv 2
R
D.2mv
2
R
解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2
R ，解得F 2＝
mg ＋m v 2
R。

所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确。

答案 B
6.(2018·宜昌高一检测)游乐园里过山车原理的示意图如图3所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道没有压力。

求：
图3
(1)过山车在圆形轨道最高点B 时的速度大小v ； (2)过山车从A 到B 过程中克服阻力所做的功W 。

解析 (1)在B 点，由牛顿第二定律和向心力公式，
有mg ＝m v 2
r
，得v ＝gr 。

(2)设克服阻力做功为W ，则阻力做功为－W ， 由动能定理有mg (h －2r )－W ＝12mv 2
，
得W ＝mgh －5
2
mgr 。

答案 (1)gr (2)mgh －5
2
mgr
能力提升
7. (2018·南通高一检测)(多选)如图4所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆
周运动，下列说法正确的是( )
图4
A.小球通过最高点时的最小速度是Rg
B.小球通过最高点时的最小速度为零
C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
解析 圆环外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球通过最高点时的速度可以为零，小球在水平线ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B 、D 正确。

答案 BD
8.(2018·西安高一检测)质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v ，则当小球以2v 速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为( ) A.0 B.mg C.3mg
D.5mg
解析 当小球以速度v 经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力提供向心力，有：mg ＝m v 2r
当小球以速度2v 经内轨道最高点时，小球受重力mg 和向下的支持力N ，如图，合力提供向心力，有：mg ＋N ＝m
（2v ）
2
r
；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的
支持力相等，N ′＝N ；由以上三式可得，N ′＝3mg 。

故C 正确。

答案 C
9. (2018·青岛高一检测)如图5所示，底面半径为R 的平底漏斗水平放置，质量为m 的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g 。

现给小球
一垂直于半径向里的某一初速度v 0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则( )
图5
A.小球一定受到两个力的作用
B.小球可能受到三个力的作用
C.当v 0＜gR tan θ时，小球对底面的压力为零
D.当v 0＝gR tan θ时，小球对侧壁的压力为零
解析 设小球刚好对底面无压力时的速度为v ，此时小球的向心力F ＝mg tan θ＝m v 2
R ，所以
v ＝gR tan θ。

故当小球转动速度v 0＜gR tan θ时，它受重力、底面的支持力和侧壁的
弹力三个力作用；故当小球转动速度v 0＝gR tan θ时，它只受重力和侧壁的弹力作用。

因此选项B 正确，A 、C 、D 错误。

答案 B
10.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2
)( )
图6
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
解析 水流星在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故B 正确，A 、D 错误；完全失重状态并不是不受重力，故C 错误。

答案 B
11.质量m ＝1 000 kg 的汽车通过圆形弧拱形桥时的速率恒定，拱形桥的半径R ＝10 m 。

(重
力加速度g 取10 m/s 2
)试求：
(1)汽车在最高点对拱形桥的压力为车重的一半时汽车的速率； (2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时汽车的速率。

解析 (1)汽车在最高点的受力如图所示：
有mg －N ＝m v 2R ，当N ＝1
2mg 时，汽车速率
v ＝
gR
2＝
10×10
2
m/s ＝5 2 m/s 。

(2)汽车在最高点对拱形桥的压力为零时，有mg ＝m v 2
R
解得v ＝gR ＝10×10 m/s ＝10 m/s 。

答案 (1)5 2 m/s (2)10 m/s
12.有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图7所示。

长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘。

转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。

当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。

不计钢绳的重力，求：
图7
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系； (2)此时钢绳的拉力多大？
解析 (1)对座椅受力分析，如图所示。

转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径为R ＝r ＋L sin θ① 根据牛顿第二定律：
mg tan θ＝m ω2R ②
由①②得：ω＝
g tan θ
r ＋L sin θ
(2)设钢绳的拉力为T ，由力的三角形知：T ＝mg
cos θ。

答案 (1)ω＝
g tan θr ＋L sin θ (2)mg
cos θ
13. (2018·泰州高一检测)如图8所示，小球沿光滑的水平面冲上一个光滑的半圆形轨道，已知轨道的半径为R ，小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，不计空气阻力。

求：
图8
(1)小球到达轨道最高点时的速度大小； (2)小球落地时距A 点的距离； (3)落地时速度的大小。

解析 (1)小球到达轨道的最高点时对轨道的压力大小恰好等于小球的重力，由牛顿第二定
律得mg ＋N ＝2mg ＝m v 2
R
则小球的速度为v ＝2gR 。

(2)小球离开轨道后做平抛运动， 由平抛运动规律得2R ＝12
gt 2
s ＝vt
联立解得s ＝22R 。

(3)小球脱离轨道后，只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒，取水平面为零势能面，则2mgR ＋12mv 2＝12
mv ′
2
落地时的速度大小为v ′＝6gR 。

答案 (1)2gR (2)22R (3)6gR。