高中数学 第3章 三角恒等变换章末整合导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案

章末整合
考点一 三角函数的求值问题
三角函数求值主要有三种类型，即：
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
已知tan α＝－13，cos β＝55
，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．
[解] (1)由cos β＝
55，β∈(0，π)，得sin β＝255，tan β＝2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13×2＝1. (2)∵tan α＝－13
，α∈(0，π)， ∴sin α＝1
10，cos α＝－310
. f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x cos β－sin x sin β ＝－355sin x －55cos x ＋55cos x －255
sin x ＝－5sin x .
∴f (x )的最大值为 5.
利用两角和差的正弦、余弦、正切公式即可求解．
[跟踪训练1]
已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17
，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解] tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝13>0. 而α∈(0，π)，故α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2
<β<π. ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12
>0， ∴－π<α－β<－π2
. ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．
∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝
tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝1， ∴2α－β＝－3π4
. 考点二 三角函数的化简与证明
1．三角函数式的化简与证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
2．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明．
(1)不附加条件的恒等式证明
三角恒等式的证明就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要应用之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．
(2)条件恒等式证明
这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所附条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．
化简：2sin130°＋sin100°(1＋3tan370°)1＋cos10°
. [解] 解法一：原式＝2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°
＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos 25°
＝2sin50°＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos10°＋32sin10°2|cos5°|
＝2sin50°＋2sin (30°＋10°)2cos5°
＝2[sin (45°＋5°)＋sin (45°－5°)]2cos5°
＝2(sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5°)2cos5°
＝
4sin45°·cos5°2cos5°＝2. 解法二：原式＝2sin50°＋sin80°(1＋3tan10°)1＋cos10°
＝2sin50°＋cos10°×cos10°＋3sin10°cos10°2cos 25°
＝2sin50°＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12cos10°＋32sin10°2|cos5°|
＝
2sin50°＋2sin (30°＋10°)2cos5°
＝2sin50°＋2sin40°2cos5° ＝4×si n 50°＋40°2cos 50°－40°22cos5°
＝
4sin45°cos5°2cos5°＝2.
三角函数式化简的基本技巧
(1)sin α，cos α→凑倍角公式．
(2)1±cos α→升幂公式．
(3)a sin α＋b cos α→辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)，其中tan φ＝b
a 或a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2
· cos(α－φ)，其中tan φ＝a b
. [跟踪训练2]
求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x
. [证明] 证法一：左边＝sin 2x cos 2x ＋cos 2
x sin 2x
＝sin 4x ＋cos 4x sin 2x cos 2x
＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x 14sin 22x
＝1－12sin 22x 14sin 22x ＝1－12sin 22x 18
(1－cos4x ) ＝8－4sin 22x 1－cos4x ＝4＋4cos 22x 1－cos4x
＝4＋2(1＋cos4x )1－cos4x
＝
2(3＋cos4x )1－cos4x ＝右边． 原式得证．
证法二：右边＝2(2＋1＋cos4x )2sin 22x
＝2(2＋2cos 22x )2sin 22x ＝2(1＋cos 2
2x )4sin 2x cos 2x
＝(sin 2x ＋cos 2x )2＋(cos 2x －sin 2x )22sin 2x cos 2x
＝2(sin 4x ＋cos 4x )2sin 2x cos 2x
＝tan 2x ＋1tan 2x
＝左边． 原式得证．
考点三 三角恒等变换的应用
三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解．
(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题．
(3)有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识．
已知函数f (x )＝2sin x 4
cos x 4＋3cos x
2
. (1)求函数f (x )的最小正周期及最值； (2)令g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由． [解] (1)∵f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π1
2
＝4π. 当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3＝－1时，f (x )取得最小值－2； 当sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3＝1时，f (x )取得最大值2. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，又g (x )＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π2＝2cos x 2. ∵g (－x )＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x 2＝2cos x
2＝g (x )， ∴函数g (x )是偶函数．
解答该类题目通常是利用和差角公式、二倍角公式及其变形公式进行整理、化简，将原函数变为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，这是解答该类题目的关键所在．
[跟踪训练3]
设函数f (x )＝
32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4
. (1)求ω的值；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝
32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12
sin2ωx ＝
32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω＝4×π4
＝T . 因此ω＝1.
(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3
. 所以－
32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1.
因此－1≤f (x )≤32
. 故f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 考点四 三角形中的三角函数
1．三角形中的三角函数问题，其本质是附条件的三角函数问题，这个条件是A ＋B ＋C ＝π.解决问题时要熟练掌握下面一些恒等式的应用：
(1)sin(A ＋B )＝sin C ，
cos(A ＋B )＝－cos C ，
tan(A ＋B )＝－tan C ；
(2)sin(2A ＋2B )＝－sin2C ，
cos(2A ＋2B )＝cos2C ，
tan(2A ＋2B )＝－tan2C ；
(3)sin A ＋B 2＝cos C
2， cos A ＋B 2＝sin C 2
， tan A ＋B 2＝1tan C 2.
还要记住下面恒等式的证明：
tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C .
2．三角形中的三角函数问题主要有求值、化简、证明，其实质是附条件的三角函数问题．还有一种重要题型是判断三角形的形状，从角的方面看，若最大角是锐角、直角、钝角，可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．从边的方面看，可分为等腰三角形、非等腰三角形，等腰三角形又可分为等边三角形和底、腰不等的等腰三角形，分类标准必须清楚．
在△ABC 中，A ，B 为锐角，且cos2A ＝35，sin B ＝1010
，求角C 的大小． [解] ∵A 为锐角，cos2A ＝35
， ∴cos2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55
. cos A ＝1－sin 2A ＝255
， 又B 为锐角，sin B ＝1010
， ∴cos B ＝1－sin 2
B ＝31010. ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B
＝
255×31010－55×1010＝22. ∵0<A ＋B <π，
∴A ＋B ＝π4
. ∴C ＝π－(A ＋B )＝3π4.即角C ＝3π4
.
此类题目仍考察诱导公式及两角和差公式及二倍角公式，但需注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π.
[跟踪训练4]
已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ，sin B ＝45，cos(2A ＋C )＝－45，求cos2A
的值．
[解] ∵A <B <C ，A ＋B ＋C ＝π，
∴0<B <π2，A ＋C >π2，π2
<2A ＋C <π. ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35
. ∴sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝45，cos(A ＋C )＝－35
. ∵cos(2A ＋C )＝－45，∴sin(2A ＋C )＝35
. ∴sin A ＝sin[(2A ＋C )－(A ＋C )]
＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×45＝725
. ∴cos2A ＝1－2sin 2A ＝527625
.。