2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题12函数模型及其应用(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料
1.综合考查函数的性质；
2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；
3.考查函数的最值．
1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型
f (x )＝k
x ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)
二次函数模型
f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)
指数函数模型
f (x )＝ba x ＋c
(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)
对数函数模型 f (x )＝b log
a x ＋c
(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)
幂函数模型
f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)
(2)
2.
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
【疑点清源】
1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．
2．解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．
(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．
(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．
(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．
高频考点一、用函数图象刻画变化过程
例1、[2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( )
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【答案】A
【方法技巧】用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．
【变式探究】(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
【答案】(1)D (2)B
【解析】(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.
【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )
【答案】D
【解析】依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.
高频考点二已知函数模型的实际问题
例2、某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时B．20小时
C．24小时D．28小时
【答案】C
【变式探究】候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速
度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q
10
(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其
耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.
(1)求出a、b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 3
30
10
【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．
【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.
【答案】19
【解析】由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. 高频考点三 构造函数模型的实际问题
例3、某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2
，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )
A ．10.5万元
B ．11万元
C ．43万元
D ．43.025万元
【答案】C
【解析】设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2
＋2(16－x )＝－0.1x 2
＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×21
2
4
＋32.
因为x ∈[0,16]，且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,10
0.0075
≈1.017)( )
A ．1.5%
B ．1.6%
C ．1.7%
D ．1.8%
(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A ．略有盈利
B ．略有亏损
C ．没有盈利也没有亏损
D ．无法判断盈亏情况 【答案】(1)C (2)B
【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.
【答案】9
【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
9，0<x ≤3，8＋
x －＋1，3<x ≤8，
8＋2.15×5＋
x －＋1，x >8，
由y ＝22.6，解得x ＝9.
思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)
(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，
第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A．10B．11C．13D．21
【答案】(1)5 (2)A
高频考点四、构建函数模型解决实际问题
例4、为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解(1)当x≤6时，y＝50x－115，
令50x－115>0，解得x>2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6.
当x>6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.
【方法技巧】解函数应用题的一般程序
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．
【变式探究】
某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝log a(t－5)＋83(a＞0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求p＝f(t)的函数关系式；
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．
1. （2018年江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大
1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，
设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k>0），
则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
设f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
则．
令，得θ=，
当θ∈（θ0，）时，，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（，）时，
，所以f （θ）为减函数，
因此，当θ=时，f （θ）取到最大值．
答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
1、[2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是( ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A
【2016高考北京文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ） A.−1 B.3 C.7 D.8 【答案】C
【解析】由题意得，AB ：51
1(4)2924
y x y x --=
-⇒=-+-，
∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⋅-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C. 【2016高考北京文数】函数()(2)1
x
f x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1
()11121
f x x =+
≤+=-，即最大值为2. 【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年 【答案】B
【解析】设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得
【2015高考上海，文21】（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.
如图，C B A ,,三地有直道相通，5=AB 千米，3=AC 千米，4=BC 千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为)(t f （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设1t t =时乙到达C 地.
（1）求1t 与)(1t f 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11≤≤t t 时，求)(t f 的表达式，并判断)(t f 在]1,[1t 上得最大值是否超过3？说明理由.
【答案】（1）
h 83，8
41
3千米；（2）超过了3千米
.
当
18
7
≤<t 时，乙在B 点不动，设此时甲在P 点， 所以t AP AB PB t f 55)(-=-==.
所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤+-=1
87,558
783,184225)(2
t t t t t t f .
所以当
183≤≤t 时,]8
413,0[)(∈t f ，故)(t f 的最大值超过了3千米. 【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系
kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时
间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )
(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时 【答案】C。