2018学年高中数学选修2-3课件：1.2.1 第2课时 精品

解析： (1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法 为 A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有 A33·A44 ＝144 种排法．
(2)分两步：第 1 步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有 A44种排法；第 2 步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两 端)，有 A25种排法，共有 A44·A25＝480 种排法.

解析： 第 1 类，挂 1 面旗表示信号，有 A13种不同方法； 第 2 类，挂 2 面旗表示信号，有 A23种不同方法； 第 3 类，挂 3 面旗表示信号，有 A33种不同方法． 根据分类加法计数原理，共有 A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋ 3×2×1＝15 种可以表示的信号．
答案： 15
“在”与“不在”的问题
(2)用0,1,2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的 且没有重复数字的数：
①五位奇数； ②大于30 000的五位偶数．
解析： (1)不考虑任何条件限制共有 A66种排法，其中包括 不符合条件的有：
①数学排在最后一节，有 A55种； ②体育排在第一节，有 A55种； 但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第 一节的情况有 A44种(即重复)． 故共有 A66－2A55＋A44＝504 种．
(2)①要得到五位奇数，末位应从 1,3,5,7,9 五个数字中取， 有 5 种取法，取定末位数字后，首位就有除这个数字和 0 之外 的 8 种不同取法．首末两位取定后，十个数字还有八个数字可 供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有 A38种不同的排 列方法．因此由分步乘法计数原理共有 5×8×A38＝13 440 个没 有重复数字的五位奇数；
(2)特殊位置优先法：对于有特殊位置的排列问题，一般先 考虑___特__殊____位置，再考虑其他位置．
(3)相邻问题捆绑法：对于要求某几个元素相邻的排列问 题，可将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大”元素，与 其他元素一起排列，然后再对__捆__绑___元素内部进行排列．
(4)不相邻问题插空法：对于要求有几个元素不相邻的排列 问题，可先将其他元素排好，然后将_不__相__邻___的元素插入在已 排好的元素之间及两端空隙处．
B．960种
C．720种
D．480种
解析： 从 5 名志愿者中选 2 人排在两端有 A25种排法，2 位老人的排法有 A22种，其余 3 人和老人排有 A44种排法，共有 A25A22A44＝960 种不同的排法．
答案： B
3．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现 的错误共有________种．
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为
()
A．36
B．120
C．720
D．240
解析： 由于 6 人排两排，没有什么特殊要求的元素，故
排法种数为 A66＝720. 答案： C
2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成
一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种
“相邻”与“不相邻”问题
7人站成一排， (1)甲、乙两人相邻的排法有多少种？ (2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种？ (4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？
[思路点拨] 元素相邻，可以视为一个元素，即将甲、乙 或甲、乙、丙“捆绑”在一起，视为一个元素，与其他元素一 起排列．至于不相邻问题，可以用“总”的排法减去“相邻” 的排法，也可以用插空法解决．
(2)方法一(特殊元素法)：首先考虑特殊元素，让甲、乙先 站两端，有 A22种；再让其他 4 个人在中间 4 个位置作全排列， 有 A44种，根据分步乘法计数原理，共有 A22·A44＝48 种站法．
方法二(特殊位置法)：首先考虑两端两个位置，由甲、乙 去站，有 A22种站法；再考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 个人去 站，有 A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A22·A44＝48 种 站法．
◎从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保 洁四项工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作， 则选派方案共有多少种？
【错解】 因为甲、乙二人都不能从事翻译工作，所以让 他们二人从事导游、导购、保洁三种工作中的两种，有 A23种方 法．再从余下的 4 人中选择 2 人从事翻译及甲、乙二人余下的 工作，共有 A24种不同方法，所以共有 A23×A24＝72(种)不同选派 方案．
(3)方法一(间接法)：甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的 站法有 A55种，而甲在左端且乙在右端的站法有 A44种，故共有 A66－2A55＋A44＝504 种站法．
方法二(直接法)：以元素甲的位置进行考虑，可分两类： 第 1 类，甲站右端有 A55种；第 2 类，甲在中间 4 个位置之一， 而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余 4 个，有 A14·A14·A44种， 故共有 A55＋A14·A14·A44＝504 种站法．
(3)甲、乙两人先排好，有 A22种排法；再从余下的 5 人中选 3 人排在甲、乙两人中间，有 A35种排法；这时把已排好的 5 人 视为一个整体，与最后剩下的 2 人再排，又有 A33种排法；这样 总共有 A22A35A33＝720 种不同排法．
(4)不妨先排男生，有 A44种排法，在 4 名男生间 3 个间隔共 有 3 个位置安排 3 名女生，有 A33种，因此共有 A44·A33种排法符 合要求，故 4 名男生 3 名女生相间排列的排法共有 A44·A33＝144 种．
解析： 因为 good 有两个相同字母，所以可能出现 A44－ 3A22A22－1＝11 种错误．
答案： 11
4．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判， 通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．
(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？ (2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？
②要得偶数，末位应从 0,2,4,6,8 中选取，而要得比 30 000 大的五位偶数，可分两类：
(ⅰ)末位数字从 0,2 中选取，则首位可取 3、4、5、6、7、 8、9 中任一个，共有 7 种选取方法，其余三个数位可从除首末 两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共 A38种取法．所以 共有 2×7×A38种不同情况．
6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站 法？
(1)甲不站右端，也不站左端； (2)甲、乙站在两端； (3)甲不站左端，乙不站右端．
[思路点拨]
解析： (1)方法一(位置分析法)：因左右两端不站甲，故 第一步先从甲以外的 5 个人中任选两人站在左右两端，有 A25种； 第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上，有 A44种，由 分步乘法计数原理共有 A25·A44＝480 种站法．
方法二(元素分析法)：因甲不能站左右两端，故第一步先 让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A14种；第二步再让余 下的 5 个人站在其他 5 个位置上，有 A55种，故共有 A14·A55＝480 种站法．
方法三(间接法)：在做排列时，我们对 6 个人，不考虑甲 站位的要求，做全排列，有 A66种；但其中包含甲在左端或右端 的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数 2A55种，于是共有 A66－2A55＝480 种站法．
第2课时 排列的应用
自主学习 新知突破
1．掌握常见的几种有限制条件的排列问题． 2．能应用排列与排列数公式解决简单的实际应用问题．
甲、乙、丙三人排成一排，你能写出甲必须站在乙左侧的
全部排法吗？
[提示] 3 种．
甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙．实际上排法共有AA3322＝
解决排列问题常用的方法
(1)特殊元素优先法：对于有特殊元素的排列问题，一般应 先考虑___特__殊____元素，再考虑其他元素．
[规律方法] 排列问题的实质是“元素”占“位子”问 题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排 在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的 方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特 殊位子．
2 ． (1) 某 天 课 程 表 要 排 入 政 治 、 语 文 、 数 学 、 物 理 、 化 学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数 学，一共有多少种不同的排法？
720 种排法.
9分
(4)(插空法)将其余 4 人排好，有 A44种排法．将甲、乙、丙
插入 5 个空中，有 A35种排法．
故共有 A44×A35＝1 440 种排法.
12 分
[规律方法] 元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
解题策略
通常采用“捆绑”法，即把相邻元素 元素相邻
看作一个整体参与其他元素排列
A22×A66＝3 600(种).
6分
方法二(插空法)：将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人
之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排
法．故共有 A55×A26＝3 600 种方法.
6分
(3)(捆绑法)将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余 4 人全排
列，有 A55种排法，甲、乙、丙三人有 A33种排法，共有 A55×A33＝
元素不相邻
通常采用“插空”法，即先考虑不受 限制的元素的排列，再将不相邻元素 插在前面元素排列的空档中
3．4个男同学和3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的 排法？ (4)男生与女生相间排列的方法有多少种？
[提示] 上述解答是首先考虑甲、乙两个特殊元素，但 考虑不周全，甲、乙二人还可能选不上呢，或者只选甲、乙二 人中的一人呢，所以应分三类情况．
(1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣 小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排 列．
因此不同的安排方法有A＝5×4×3＝60种． (2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元 素可以重复，不是排列问题． 由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择 完才算完成这件事．由分步乘法计数原理得，共有5×5×5＝ 125种报名方法．
[规律方法] 没有限制条件的排列问题，即对所排列的元 素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清 元素和位置即可．
1．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆 上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序 表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．
解析： (1)3 个女同学是特殊元素，优先安排，共有 A33种 排法；由于 3 个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学 为一整体，再与男同学排队，这时是 5 个元素的全排列，应有 A55种排法．由分步乘法计数原理，共有 A33A55＝720 种不同的排 法．
(2)先将男生排好，共有 A44种排法，再在这 4 个男生的中间 及两头的 5 个空当中插入 3 个女生，有 A35种方案，故符合条件 的排法共有 A44A35＝1 440 种．
(1)(捆绑法)将甲、乙两人“捆绑”为一个元
素，与其余 5 人全排列，共有 A66种排法．甲、乙两人可交换位
置，有 A22种排法，故共有 A66×A22＝1 440 种排法.
3分
(2)方法一(间接法)：7 人任意排列，有 A77种排法，甲、乙
两人相邻的排法有 A22×A66(种)，故甲、乙不相邻的排法有 A77－
(ⅱ)末位数字从 4,6,8 中选取，则首位应从 3、4、5、6、7、 8、9 中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有 A38种选法，所以共有 3×6×A38种不同情况．
由分类加法计数原理，比 30 000 大的无重复数字的五位偶 数共有 2×7×A38＋3×6×A38＝10 752(个)．
合作探究 课堂互动
无限制条件的排列问题
(1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(2)班 的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不 同的安排方法？
(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小 组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方 法？
[思路点拨] (1)选出3个课题进行排列； (2)每个学习小组都选一个课题．