河北省NT20名校联合体2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷

A． b2 = 4c + 4
B．若1- b + c > 0 ，则 x02 < 1
C．若
x0
>
0
，则 cx2
- bx
+1
<
0
的解集为
æ ç
è
1 x0 +
2
,
1 x0
ö ÷ ø
D．
b
+
c
有最小值为
-
9 4
三、填空题
13．
x
>
0
时，
y
=
x2 (x +1)2
+
1 的值域为 x+1
.
14．写出一个函数 f ( x) 的解析式，满足：① f ( x) 是定义在 R 上的偶函数；② x ¹ 0 时，
æçè1,
16 9
ù úû
D．
é16 êë 9
,
2ùúû
二、多选题 9．已知 -1 £ a £ 3,1 £ b £ 2 ，则以下命题正确的是（ ）
A． -1 £ ab £ 6 C． -2 £ a - b £ 1 10．以下函数是偶函数的是（ ）
A． f ( x) = 2x + 2-x
B． 0 £ a + b £ 5
a
+ 2
b
³
2
-
ab ，即
a+
2
b ³ 4 ，即
a+
b ³2，
故
a
+b 2
³
2-
ab 是
a+
b ³ 2 的充要条件，故 D 错误.
故选：A. 8．D
【分析】分情况讨论1 < a < 2 时， a = 2 时，及 a > 2 时分段函数的值域，再根据集合间的关 系列不等式，解不等式.
【详解】若1 <
a
河北省 NT20 名校联合体 2023-2024 学年高一上学期 12 月
月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
{ 1．全集U = x∣x Î N* 且 x < 10}, A = {1,3,5, 7}, B = {6,7,8,9} ，则ðU ( A È B) = （ ）
0 = 1，即
<
c
<1 ；
综上所述： c < b < a . 故选：A. 6．C 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.
【详解】∵ a > 0 ， b > 0 ， a + b = 1，
∴b a
+
4 b
=
1a
a
+
4 b
=
1 a
+
4 b
-1
=
(
a
+
b)
æ çè
1 a
+
4 b
ö ÷ø
-1
=
b a
+
4a b
D． (a +1)(b -1) £ 4
B．
f
(x)
=
x2
1 -x
+1
C． f ( x) = ( x -1)
x x
+1 -1
(
x
¹
±1)
试卷第21 页，共33 页
D．
f
(
x)
=
lg
(10x
+1)
-
x 2
( ) 11．已知 f ( x) = log2 x2 - mx + m + 3 的定义域为 D ，值域为 M ，则（ ）
又 a > 1 ，故 f ( x) 在 R 上单调递增，
故排除 AB；
对 g ( x) ，由 a > 0 且 a ¹ 1，故 g ( x) 在定义域内单调递增，
故排除 C. 故选：D. 5．A
【分析】根据指数函数、对数函数单调性结合中间值“1”、“ 3 ”分析判断. 2
3
【详解】因为 22 = 2
2
<
1 a
成立不一定有
a
<
-1
，
答案第11 页，共22 页
所以“
a
<
1 a
”是“
a
<
-1
”的必要不充分条件.
故选：B 4．D
【分析】分类讨论判断出 f ( x) 图像性质及 g ( x) 图像性质即可得.
【详解】对 f ( x) = a(a-1)x ，该函数过定点 (0,1) ，且 f ( x) > 0 恒成立，
A．若 D = R ，则 M ¹ R
B．对任意 m Î R ，使得 f (-5) = f (-7)
C．对任意 m Î R, f ( x) 的图象恒过一定点
D．若 f ( x) 在 (-¥,3) 上单调递减，则 m 的取值范围是{6}
12． x2 - bx + c < 0 的解集为 ( x0, x0 + 2) ，则（ ）
A．{2}
B．{2, 4}
C．{7}
D．{2, 4,7}
2．已知 f ( x) = ax +1, g ( x) = x2 - 2x + 2a, $x1, x2 Î[0,1], f ( x1 ) > g ( x2 ) ，则 a 的取值范围
是（ ）
A．(-¥, 2)
B．(2, +¥)
C． ( -¥,1)
<
3<
3
4 ，可知： log2 22
<
log2 3 <
log2 4 ，即
3 2
<
a
<
2
；
3<5<3
3
=
3
32
，可知：
log 3 3
<
log3 5
<
3
log 3 3 2
，即1
<b
<3 2
；
答案第21 页，共22 页
1 5
>
0 ，可知： 0 <
1
æ 1 ö5 çè 3 ÷ø
<
æ 1 ö0 çè 3 ø÷
<
2
，当
x
£
1 2
时，
f
(
x)
=
(a
-1)x
在
æ çè
-¥,
1ù 2 ûú
上单调递减，此时
) f ( x)Î éë a -1, +¥ ，
当
x
>
1 2
时，
f
(x)
=
x
+
a x
-
2
³
2
a - 2 ，当且仅当 x =
a
>
1 2
时，等号成立，
又函数
f
(
x)
的值域
D
满足
D
Í
é êë
2 3
,
+¥
ö ø÷
，
则
ì ï ï ïí2 ï
) 又函数 f ( x) 的值域 D = éë2
2 - 2, +¥
，满足
D
Í
é êë
2 3
,
+¥
ö ÷ø
，成立；
( 若 a > 2 ，当 x £
1 2
时，
f
(
x
)
=
(
a
-
1)
x
在
æ çè
-¥,
1 2
ù úû
上单调递增，此时
f
(x)Î
0,
a -1ùû ，
(1)求 b, c ；
(2)证明： -1,3 也是方程 f ( f ( x)) = x 的解，并求 f ( f ( x)) = x 的解集.
22．已知
f
(x)
=
1 x+
2
- mx +
n
的图象的对称中心为
æ çè
-2m
-
2n,
7 4
ö ÷ø
.
(1)求 m, n ；
(2)若在区间[a,b](a > -2) 上， f ( x) 的值域为[a,b] ，求 a, b .
，
b
=
49 25
，有
a+
b
=
8 5
<
2
，
故 a + b ³ 2 不是 a + b ³ 2 的一个充分条件，故 B 错误； 答案第31 页，共22 页
对 C 选项：取 a = b =
1， 4
有
a+
b =1< 2，
故
1 a
+
1 b
³
2
不是
a+
b ³ 2 的一个充分条件，故 C 错误；
( ) 对
D
选项：由
16．教材必修 1 第 87 页给出了图象对称与奇偶性的联系：若 y = f ( x) 为奇函数，则
y
=
f
(x
- a) + b 的图象关于点 (a,b) 中心对称，易知：
f
(x)
=
2x 2x
-1 +1
是奇函数，则
g
(x)
=
2x 2x
+ +
3 2
图象的对称中心是
.
四、解答题
{ } 17．已知集合 A = x∣x2 + mx -12 < 0 , B = {x∣x - 2 < m}(m > 0) .
a -1 a-
³ 2
2 3
³
2 3
，解得
16 9
£
a
<
2
；
ï1 < a < 2
ïî
答案第41 页，共22 页
若
a
=
2
，
f
(
x)
=
ìïï1, x í
ï ïî
x
+
£
2 x
1 2
-
2,
x
>
1 2
当
x
£
1 2
时，
f
(
x)
=1 ，
当
x
>
1 2
时，
f
(x)
=
x
+
2 x
-
2
³
2
2 - 2 ，当且仅当 x =
2 时，等号成立，
【分析】解出不等式
a
<
1 a
，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
( ) 【详解】不等式
a
<
1 a
等价于
a
-
1 a
<
0
等价于
a2 -1 a
<
0
，所以
a
a2 -1
< 0，
即 a (a -1)(a +1) < 0 ，解得 0 < a < 1 或 a < -1 ，
故
a
<
-1
能推出
a
<
1 a
成立，但是
a
对 g ( x) = xa ，该函数过定点 (0, 0) ，
若 0 < a < 1 ，对 f ( x) = a(a-1)x ， a -1 < 0 ， 则 (a -1) x 在 R 上单调递减，
又 0 < a < 1 ，故 f ( x) 在 R 上单调递增，
若 a > 1 ，对 f ( x) = a(a-1)x ， a -1 > 0 ，则 (a -1) x 在 R 上单调递增，
D． (1, +¥)
3．“
a
<
1 a
”是“
a
<
-1
”的（
）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 a > 0 且 a ¹ 1， f ( x) = a(a-1)x 与 g ( x) = xa 的图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
a
=
log2
3,
b
=
log3
f
(
x)
=
-
f
æ çè
1 x
ö ÷ø
，则
f
(
x)
=
.
15．全集U = {1, 2,3, 4,5,6,7,8}, A = {1, 2, 4,5, 6} ， B = {1, 2,3, 4, 7}, C = {2,3,5,6, 7} ，如图
试卷第31 页，共33 页
中阴影部分的集合为 M ，若 $x Î M 使得： x2 - mx + 4m - 3 < 0 ，则 m 的取值范围是 .
5,
c
=
æ çè
1 3
1
ö5 ÷ø
，则
a,
b,
c
的大小关系为（
）
A． a > b > c
B． b > a > c 试卷第11 页，共33 页
C． c > b > a
D． c > a > b
6．已知
a
>
0
，
b
>
0
，
a
+
b
=
1，则
b a
+
4 b
的最小值为（
）
A．4
B．6
C．8
D．9
7．已知 a > 0 ， b > 0 ，则 a + b ³ 2 的一个充分不必要条件是（ ）
试卷第41 页，共33 页
(1)求 a ；
(2)证明： f ( x) 是 R 上的增函数.
( ) ( ) 20． f ( x) = 2x - 2-x 2 + t 2x + 2-x .
(1)若 t
=
-
9 10
，求
f
(x)
<
0
的解集；
(2)若 f ( x) 最小值为 1，求 t . 21．已知二次函数 f ( x) = x2 + bx + c, f ( x) = x 的解为 -1,3 .
(1) m = 1时，求 A Ç B ； (2)若 B Í A ，求 m 的取值范围.
18．已知
f
(
x)
满足
f
æ çè
2x -1ö x - 2 ÷ø
=
x
.
(1)求 f ( x) 的解析式；
(2)解不等式 f (1- )x2 < f (-1- x ) .
( ) 19．已知 f ( x) = log2 x2 + a + x 是奇函数.
当 a<0 时， f ( )x1 max = 1 ，即 2a -1 < 1，得a < 1 ，所以 a<0
当 a > 0 时， f ( )x1 max = 1+ a ，即1+ a > 2a -1，得 a < 2 ，所以 0 < a < 2 ， 综上： a 的取值范围是 (-¥, 2) .