【新结构】2023-2024学年辽宁省丹东市高三下学期总复习质量测试(一)数学试卷+答案解析

【新结构】2023-2024学年辽宁省丹东市高三下学期总复习质量测试
（一）数学试卷❖
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线的焦点到准线的距离为1，则()
A.2
B.1
C.
D.
2.已知i为虚数单位，复数，则对应的点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.已知等差数列的公差为d，其前n项和为，则“”是“”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余
弦值为()
A. B. C. D.
5.若，，，则()
A. B.
C. D.1
6.的展开式中常数项为()
A.24
B.25
C.48
D.49
7.已知椭圆，直线与C交于A，B两点，且与x轴和y轴分别
交于E，F两点，若，则C的离心率为()
A. B. C. D.
8.已知，，则()
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知甲乙两人进行射击训练，两人各试射5次，具体命中环数如下表最高环数为环，从甲试射命中的环数中任取3个，设事件A表示“至多1个超过平均环数”，事件B表示“恰有2个超过平均环数”，则下列说法正确的是()
人员甲乙
命中环数
A.甲试射命中环数的平均数小于乙试射命中环数的平均数
B.甲试射命中环数的方差大于乙试射命中环数的方差
C.乙试射命中环数的的分位数是
D.事件A，B互为对立事件
10.已知函数满足，且在上单调递减，则()
A.
B.为奇函数
C.的对称轴为，
D.在上有3个零点
11.已知圆，直线与C交于两点，点M为弦AB的中点，
，则()
A.弦有最小值为
B.有最小值为
C.面积的最大值为
D.的最大值为9
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合，，若，则a的取值范围是__________.
13.已知球O的直径为AB，C，D为球面上的两点，点M在AB上，且，平面MCD，若
是边长为的等边三角形，则球心O到平面BCD的距离为__________.
14.若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知面积为S，且
求C；
若，，求
16.本小题15分
不透明的盒中有六个大小形状相同的小球，它们分别标有数字，0，1，1，2，2，现从中随机取出3个小球．
求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
记取出的3个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望
17.本小题15分
如图，在四棱锥中，，，，，，点E在棱PD上．
求证：平面平面ABCD；
若平面ACE分两部分几何体PABCE与ACDE的体积之比，求二面角的正弦值．
18.本小题17分
已知函数
讨论函数的单调性；
当时，数列满足，
①求证：；
②求证：
19.本小题17分
我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点如图所示，其中PQ是反射镜面也是过点P处的切线已知双曲线
的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处
点
P在第一象限，经双曲线反射后过点
请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线PM所在的直线方程；
从处出发的光线照射到双曲线右支上的点A处，且三点共线，经双曲线反射后过点B，
，，延长，分别交两条渐近线于，点N是ST的中点，求证：
为定值;
在的条件下，延长PQ交y轴于点D，当四边形的面积为8时，求C的方程．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查抛物线标准方程，属于基础题.
利用抛物线的标准方程，即可求解.
【解答】
解：抛物线，可化为，
由的焦点到准线的距离为1，
可得，解得
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查几何与代数，涉及复数乘法运算、共轭复数、复数代数表示及其几何意义，属于基础题.先根据复数的乘法运算求出复数z，再根据共轭复数的定义和复数代数表示的几何意义即可得解.【解答】
解：
，
所以，
其对应的点为，在第三象限.
故选：
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查预备知识、函数，涉及充要条件的判定、数列前N项和等，属于基础题.
由题意利用作差法结合等差数列前n项和基本量的计算以及充要条件的定义即可求解.
【解答】
解：由可得，，
即
所以，
所以“”是“”的充要条件.
故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线与直线所成角的向量求法，属于中档题.
由题意建立适当的空间直角坐标系，求出异面直线与所在直线的方向向量，由空间向量夹角的余弦值的坐标公式即可运算求解.
【解答】
解：取BC中点D，连接AD，因为，所以，
以D为原点，分别为轴，过点D且垂直于面BAC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，注意到，
所以，
所以，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为
故选：
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查指对互化、对数换底公式等，属于基础题.
根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【解答】
解：由，，，
可得，
所以
，
则
故选：
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查指定项系数的求法，属于中档题.
利用二项式定理连续展开两次，然后令，从而满足题意的数组可以是：，将这些数组回代入展开式中即可运算求解.
【解答】
解：的展开式为
，
其中，
令，得满足题意的数组可以是：，
故所求为
故选：
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率，属于中档题.
不失一般性，设点，由可得，所以只需联立直线l的方
程与椭圆方程，化简后得到，即可得满足的关系，结合离心率公式以及
即可求解.
【解答】
解：示意图如下图所示.
分别令，得，
不失一般性，设点，
联立与得，
化简得，
而
，
所以，
若，
则，
即，
解得，
即，
则C的离心率为
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系，属于中档题.
首先结合二倍角公式、同角三角函数基本关系以及角的范围将已知等式变形为
，解得，两边平方即可求解.
【解答】
解：因为，所以，所以，
所以
，
所以
，
即，
所以，
即，
所以
故选：
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查概率统计，涉及平均数、百分位数、方差、对立事件等属于中档题.
根据平均数和方差的计算公式直接求解判断选项AB，利用分位数的定义判断选项C，结合对立事件分析两事件的意义即可直接判断选项
【解答】
解：对于A，甲试射命中环数的平均数为
，
乙试射命中环数的平均数为
，故A错误；
对于B，甲试射命中环数相比乙试射命中环数，更为分散，
则甲对应的方差更大，故B正确；
对于C，乙试射命中环数排序为，
因为，所以分位数为，故C正确；
对于D，因为甲试射命中环数的平均数为，
且甲试射命中的环数中有两个超过平均数的，
则任取3个的情况为：“没有1个超过平均环数”、“有1个超过平均环数”和“有2个超过平均环数”，而事件A表示“没有1个超过平均环数”或“有1个超过平均环数”，
事件事件B表示“恰有2个超过平均环数”，
所以事件A，B互为对立事件，D正确.
故选：
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数，涉及正弦函数周期性、奇偶性、对称轴、零点等，属于中档题.
等先通过条件推知是的对称中心，以及是的的对称轴，然后结合在上单调递减得出，在上单调递减，再推知，然后逐项判定即可.【解答】
解：由于在上单调递减，，故对应的点是的对
称中心，即
同样地由于在上单调递减，故最小正周期
同时，由于对任意的实数a，方程在一个形如的区间上至多有两个根，且在有两个根的情况下，这两个根的平均值对应的直线一定是的的对称轴，而，
，从而故对应的直线一定是的的对称轴.
现在，由于是的对称中心，是的的对称轴，故是的对称轴.而在上单调递减，，故，在上单调递减.
再由是的对称中心，就知道，所以，故
此时得到，代入得，即
从而，由知，所以，即
经验证，满足条件.
然后逐一验证各个选项：
我们已经推出，故A正确；
由，知函数在处有定义但不过原点，从而不可能是奇函数，B错误；
由于当且仅当，即，即，故
的对称轴是，C正确；
由于当且仅当，即，即，故在上的全部零点是，只有2个，D错误.
故选：
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长、面积最值，属于拔高题.
问题易得直线过定点，根据点Q为弦AB的中点时，最小，即可判断A；
根据点M为弦AB的中点，可得，进而可得出点M的轨迹是以CQ为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点M到直线OC的距离最大即可，进而可判断C；设，
联立，利用韦达定理求出，进而可求出M的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断
【解答】
解：圆的圆心，半径，
直线过定点，
因为，所以点在圆内，
所以直线l与圆C一定相交，
当点Q为弦AB的中点时，有最小值，
此时直线l的斜率不存在，而直线l的斜率一定存在，
所以，
故A错误；
因为点
M为弦AB的中点，所以，即，
所以点M的轨迹是以CQ为直径的圆去除，圆心为，半径为1，
所以轨迹方程为，
因为，所以点O在圆外，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
要使面积取得最大值，只要点M到直线OC的距离最大即可，
直线OC的方程为，即，
圆心到直线OC的距离，
所以点M到直线OC的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，设，
联立，得，
则，故，
所以点M的坐标为，
则，
当时，，
当时，，
当时，，当且仅当，即时，取等号，
综上所述的最大值为9，故D正确.
故选：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查含参数的交集运算问题，解含参的一元二次不等式，属于基础题.
由题意可得，则有，继而求解.
【解答】
解：因为，，
所以，
则不等式无解，
所以
，解得
故a 的取值范围是
故答案为：
13.【答案】【解析】【分析】
本题考查空间中点面距离求法，属于中档题.
根据球的截面性质，可得球的半径为2，将球心O 到平面BCD 的距离转化为为M 到平面BCD 的距离的2倍，进而根据等体积法可得.【解答】解：因为，
AB 为球O 的直径，
所以
，
故球心O 到平面BCD 的距离即为M 到平面BCD 的距离的2倍，如图，
设球的半径为R ，由题意可知，
由，，
可得，故
如图，
由题意平面MCD ，
则
，
取
CD 中点为E ，，
且
，
设M 到平面BCD 的距离为d ，
则由
可得，
，
即，
得
，
则球心O 到平面BCD 的距离为
故答案为：
14.【答案】【解析】【分析】
本题考查集合，属于拔高题.
由题意设
，进一步得
，分析得到
与必然都是偶数，从而考虑80的分解方式得数组
的可能情况即可进一步求解.
【解答】
解：由题意设，则
，
注意到是偶数，所以
与
奇偶性相同，
否则若
和
中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与
是偶数矛盾，
注意到
是偶数，所以
与
必然都是偶数，
考虑80的分解方式，满足题意的数组
只可能是
三种情况，
所以x的取值可能是
故答案为：
15.【答案】解：因为，
即，
整理得，
即，
所以，
又，所以
因为，
，
即，又，
所以
【解析】本题考查余弦定理，三角形面积公式、向量的数量积的概念及其运算，属于中档题.
由余弦定理及面积公式可得结果;
根据向量数量积的定义及余弦定理可得结果.
16.【答案】解：总取法数目，
考虑全部的取出的3个小球上的数字两两不同的情况，
3个小球上的数字可能是，0，1或，0，2或，1，2或0，1，2，分别有2，2，4，4种情况，
故所求概率
如果取出的3个小球上的数字包含0，此时取出的3个小球上的数字之积为0，总的情况数有种；如果取出的3个小球上的数字为，1，1，此时取出的3个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；如果取出的3个小球上的数字为，1，2，此时取出的3个小球上的数字之积为，总的情况数有4种；如果取出的3个小球上的数字为1，1，2，此时取出的3个小球上的数字之积为2，总的情况数有2种；
如果取出的3个小球上的数字为，2，2，此时取出的3个小球上的数字之积为，总的情况数有1种；如果取出的3个小球上的数字为1，2，2，此时取出的3个小球上的数字之积为4，总的情况数有2种.
而总的情况有种，
故，，，
，，，
所以X的分布列为
X024
P
数学期望
【解析】本题考查概率统计，涉及古典概型、离散型随机变量等，属于中档题.
考虑所有可能的小球数字组合，一共有4种情况，再分别计算各自的取法数目，从而得到总的满足条件
的取法数目，最终除以总取法数目，即可得到所求概率；
对X的所有可能取值分情况列举对应的取法数目，进一步可对每个数目除以总取法数目以得到每种情况的概率，从而得到分布列，最后根据数学期望的定义即可计算出数学期望. 17.【答案】证明：取AC的中点O，连接，
因为，，所以，
因为，，所以，
因为，O为AC的中点，
所以，，
而，故，
所以，
又平面ABCD，
所以平面ABCD，
又平面PAC，
所以平面平面ABCD；
解：连接OD，过点E作于F，
在中，，则，所以，
又因为，所以为等边三角形，
因为O为AC的中点，所以且，
又平面POD，
所以平面POD，
又平面POD，所以，
所以即为二面角的平面角，
因为几何体PABCE与ACDE的体积之比，
所以，
，
设点E到平面ACD的距离为h，则，
则，解得，
因为平面POD，平面POD，所以，
又平面ABCD，所以平面ABCD，所以，
所以，
则，所以，
所以，故，
在中，，
所以二面角的正弦值为
【解析】本题考查几何与代数，涉及面面垂直的判定、二面角的求解，属于中档题.
取AC的中点O，连接，易得，利用勾股定理证明，即可得平面ABCD，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
连接
OD，过点E作于F，证明平面POD，则可得即为二面角的平面角，根据体积之比确定E点的位置，再解即可.
18.【答案】解：
由函数，可得其定义域为，且，
当时，，可得在上单调递增；
当时，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
证明：①当时，，
令，可得
由知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即，
所以，即，
又由函数在为单调递增函数，
因为，则，
所以，即，所以
②因为，且，可得
当时，，，，
，所以，所以，
所以当时，，
所以，
则，
所以，所以
【解析】本题考查函数，涉及导数与单调性关系、数列与不等式等，属于拔高题.
根据题意，求得，分和，两种情况讨论，即可求解；
①令，可得，由得到函数在的单调性，证得
，得到，即，进而证得结论；
②根据题意，求得，进而得到，结合对数的运算性质，
求得，即可得证.
19.【答案】解：因为，，
所以，，
故双曲线方程为，
直线的方程为，
由，
解得，
即，
所以，
故反射光线PM所在的直线方程为：
，
即；
证明：因为为直角三角形，
故，
可令，
则，
由双曲线的定义可得，即，所以，
所以，
所以，
在直角中，
，
所以直线的方程为：，
由，
得，
所以，
即，
所以两条渐近线的方程为，
联立，
解得，
设，
则，
故，
所以，
所以，
所以，
则为定值；
由双曲线的光学性质可得，
直线PQ平分，
所以，
在中，由正弦定理得：
，
则，
在中，由正弦定理得：
，
则，
因为，
所以，
所以，
即，
所以，
故，
而，
所以
，
所以直线PQ的方程为，故点D的坐标为，
设四边形的面积为S，
则，
所以，
故，
所以C的方程为
【解析】本题考查几何与代数，涉及双曲线的性质、定值问题，面积问题等，属于难题.
先求出双曲线的方程及直线的方程，联立方程求出点P的坐标，进而可得出答案；
易得，可令，则，根据双曲线的定义求出t，即可求得，再在直角中，求出，即可得直线的方程，再利用勾股定理求出的关系，进而可得渐近线方程，再联立直线和渐近线方程，设
，利用跟与系数的关系求得，即可得点N的坐标，进而可得出结论；
先利用角平分线定理可得，即可得点Q的坐标，再求出，即可得直线PQ 的方程，进而可得点D的坐标，再根据四边形的面积求出，即可得解.。