人教版高中数学选修三6.2.4 组合数 课件
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6.2.4 组合数
课标要求
素养要求
通过研究组合数公式及解决有限制条件 1.能利用计数原理推导组合数公式.
的组合问题，提升逻辑推理及数学运算 2.能解决有限制条件的组合问题.
素养.
新知探究
某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2 号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组 去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较 大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方 法有多少种？
一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养． 2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的
点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将 几何问题抽象成组合问题来解决． 3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素 个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍 然是可区分的．
题型一 组合数公式的应用 【例 1】 求值：(1)3C38－2C25；
(2)C338n－n＋C32n1＋n. 解 (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
(2)∵00≤ ＜33n8－ ≤n2≤ 1＋3nn， ，∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝302× ×219＋31＝466.
①Cnm＝Cnn－m；②Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1(其中 n，m∈N*，m≤n)．
提示 成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．
2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？ 提示 在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式 Cnm＝AAmnmm常用于 n 为具体正 整数的题目，一般偏向于组合数的计算．公式 Cnm＝（n－mn）！！·m！常用于 n 为字母的 题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.
规律方法 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分 配．
(4)1 个球的编号与盒子编号相同的选法有 C14种，当 1 个球与 1 个盒子的编号相同时，用 局部列举法可知其余 3 个球的投入方法有 2 种，故共有 C14·2＝8(种)放法． (5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个 盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有 C34C13＝12(种) 放法． (6)(隔板法)先将编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子分别放入 0，1，2，3 个球，再把剩下的 14 个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这 14 个球中间的 13 个空中放 入三块隔板，共有 C313＝286(种)放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为 1， 2，3，4 的盒子分别放入 2，6，5，7 个球.
角度2 相同元素分配问题 【例4】 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子．
解 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，然后在小球之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一 块隔板，故共有 C35＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空 隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25种插法，然后将剩下的一块隔板与 前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有 C14种插法，故共有 C25·C14＝40(种)放法．
【训练3】 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数， 有多少种放法？
次一个比一个低，这样的排法种数是( )
A．5 040
B．36
C．18
D．20
解析 最高的同学站中间，从余下 6 人中选 3 人在一侧只有一种站法，另 3 人在另一侧
也只有一种站法，所以排法有 C36＝20(种)．
答案 D
3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0，1，2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0，
规律方法 (1)组合数公式 Cmn ＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）一般用于计算，而组 合数公式 Cnm＝m！（nn！ －m）！一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 Cmn 的隐含条件为 m≤n，且 m，n∈N*.
【训练 1】 (1)计算：C91800＋C129090； (2)证明：Cmn ＝n－n mCmn－1. (1)解 C91800＋C129090＝C2100＋C1200＝100× 2 99＋200＝4 950＋200＝5 150. (2)证明 n－n mCmn－1＝n－n m·m！（ （nn－ －11） －！ m）！＝m！（nn！ －m）！＝Cmn .
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种 插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有 C13种插法． 故共有 C15·(C23＋C13)＝30(种)放法．
1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个
B．36个
C．100个
D．225个
解析 从垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，从垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条，四
条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C26·C26＝15×15＝225.
答案 D
4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则 不同的安排方案共有________种(用数字作答)． 解析 安排方案分为两步完成：从 7 名志愿者中选 3 人安排在周六参加社区公益活动， 有 C37种方法；再从剩下的 4 名志愿者中选 3 人安排在周日参加社区公益活动，有 C34种 方法．故不同的安排方案共有 C37C34＝73× ×62× ×51×4＝140(种)． 答案 140
二、素养训练
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选
手必须在内，那么不同选法共有( )
A．26种
B．84种
C．35种
D．21种
解析 共有 C22·C37＝1×73××62××51＝35(种)选法． 答案 C
2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺
2．组合数公式 组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构 Cnm＝AAmnmm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）＝___m__！__（__nn_！－__m_）__！__ (n，m∈N*，m≤n)． 规定 C0n＝1.
[微判断] 1．C35＝5×4×3＝60.
提示 C35＝53× ×42× ×31＝10. 2．C22 001167＝C12 017＝2 017.
得到所有构成四面体的个数为 C410－C45＝205.
答案 A
题型三 分组、分配问题 角度1 不同元素的分组分配问题 【例3】 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 解 (1)每组 2 本，均分为 3 组的分组种数为C26AC2433C22＝15×66×1＝15. (2)一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本的分组种数为 C36C23C11＝20×3＝60. (3)一组 4 本，另外两组各 1 本的分组种数为C46AC1222C11＝15× 2 2＝15.
问题 上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问 题提？示 由于 5 号和 14 号一组，所以其他两个人只能是 1 到 4 号或 15 到 20 号中的两个，
故共有 C24＋C26＝21(种)方法．
从 n 个不同元素中____取__出__m__(m__≤__n_)个__元__素_____的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数．用符号 Cmn 表示．
答案 B
2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( )
A．504种
B．729种
C．84种
D．27种
解析 共有选法 C39＝93× ×82× ×71＝84(种)．
答案 C
3．计算 C010＋C1100＝__________．
解析 C010＋C1100＝1＋1＝2.
答案 2
[微思考] 1．下列两个等式成立吗？
题型二 与几何有关的组合应用题 【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点
C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3， (D1)4以. 这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解 (1)法一 可作出三角形 C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)． 法二 可作三角形 C310－C34＝116(个)， 其中以 C1 为顶点的三角形有 C25＋C15·C14＋C24＝36(个)． (2)可作出四边形 C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．
拓展深化
( ×) ( √)
3．“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2
个元素的组合数”．
(× )
提示 “从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中
取出2个元素的组合”．
[微训练]ຫໍສະໝຸດ 1．若 C2n＝10，则 n 的值为(
A．10
B．5
) C．3
D．4
解析 C2n＝n（2n×－11）＝10，解得 n＝5(n＝－4 舍去)．
解 (1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有 4×4×4×4＝44＝256(种)放法． (2)这是全排列问题，共有 A44＝24(种)放法． (3)法一 先将 4 个小球分为三组，有C24AC1222C11种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三 个盒子，有 A34种投放方法，故共有C24AC1222C11·A34＝144(种)放法． 法二 先取 4 个球中的两个“捆”在一起，有 C24种选法，把它与其他两个球共 3 个元 素分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A34种投放方法，所以共有 C24A34＝144(种)放法．
规律方法 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情 形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．
【训练2】 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无
四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205
B．110
C．204
D．200
解析 法一 可以按从共面的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类，则得到所
有的取法个数为 C05C45＋C15C35＋C25C25＋C35C15＝205.
法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，
课标要求
素养要求
通过研究组合数公式及解决有限制条件 1.能利用计数原理推导组合数公式.
的组合问题，提升逻辑推理及数学运算 2.能解决有限制条件的组合问题.
素养.
新知探究
某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2 号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组 去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较 大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方 法有多少种？
一、素养落地 1．通过本节课的学习，进一步提升逻辑推理及数学运算素养． 2．几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的
点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将 几何问题抽象成组合问题来解决． 3．分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素 个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍 然是可区分的．
题型一 组合数公式的应用 【例 1】 求值：(1)3C38－2C25；
(2)C338n－n＋C32n1＋n. 解 (1)3C38－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×52× ×41＝148.
(2)∵00≤ ＜33n8－ ≤n2≤ 1＋3nn， ，∴9.5≤n≤10.5. ∵n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C32n1＋n＝C2380＋C3301＝C230＋C131＝302× ×219＋31＝466.
①Cnm＝Cnn－m；②Cnm＋1＝Cmn ＋Cmn －1(其中 n，m∈N*，m≤n)．
提示 成立．它们是组合数的两个性质，在计算时可直接应用．
2．组合数公式的两种形式在应用中如何选择？ 提示 在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择．公式 Cnm＝AAmnmm常用于 n 为具体正 整数的题目，一般偏向于组合数的计算．公式 Cnm＝（n－mn）！！·m！常用于 n 为字母的 题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.
规律方法 “分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象． (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分 配．
(4)1 个球的编号与盒子编号相同的选法有 C14种，当 1 个球与 1 个盒子的编号相同时，用 局部列举法可知其余 3 个球的投入方法有 2 种，故共有 C14·2＝8(种)放法． (5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个 盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有 C34C13＝12(种) 放法． (6)(隔板法)先将编号为 1，2，3，4 的 4 个盒子分别放入 0，1，2，3 个球，再把剩下的 14 个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这 14 个球中间的 13 个空中放 入三块隔板，共有 C313＝286(种)放法，如○○|○○○○○|○○○|○○○○，即编号为 1， 2，3，4 的盒子分别放入 2，6，5，7 个球.
角度2 相同元素分配问题 【例4】 将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数．
(1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子； (3)恰有两个空盒子．
解 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，然后在小球之间 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一 块隔板，故共有 C35＝10(种)放法． (2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空 隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C25种插法，然后将剩下的一块隔板与 前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有 C14种插法，故共有 C25·C14＝40(种)放法．
【训练3】 将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中． (1)有多少种放法？ (2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？ (5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数， 有多少种放法？
次一个比一个低，这样的排法种数是( )
A．5 040
B．36
C．18
D．20
解析 最高的同学站中间，从余下 6 人中选 3 人在一侧只有一种站法，另 3 人在另一侧
也只有一种站法，所以排法有 C36＝20(种)．
答案 D
3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0，1，2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0，
规律方法 (1)组合数公式 Cmn ＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）一般用于计算，而组 合数公式 Cnm＝m！（nn！ －m）！一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数 Cmn 的隐含条件为 m≤n，且 m，n∈N*.
【训练 1】 (1)计算：C91800＋C129090； (2)证明：Cmn ＝n－n mCmn－1. (1)解 C91800＋C129090＝C2100＋C1200＝100× 2 99＋200＝4 950＋200＝5 150. (2)证明 n－n mCmn－1＝n－n m·m！（ （nn－ －11） －！ m）！＝m！（nn！ －m）！＝Cmn .
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种 插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有 C13种插法． 故共有 C15·(C23＋C13)＝30(种)放法．
1，2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个
B．36个
C．100个
D．225个
解析 从垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，从垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条，四
条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C26·C26＝15×15＝225.
答案 D
4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则 不同的安排方案共有________种(用数字作答)． 解析 安排方案分为两步完成：从 7 名志愿者中选 3 人安排在周六参加社区公益活动， 有 C37种方法；再从剩下的 4 名志愿者中选 3 人安排在周日参加社区公益活动，有 C34种 方法．故不同的安排方案共有 C37C34＝73× ×62× ×51×4＝140(种)． 答案 140
二、素养训练
1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选
手必须在内，那么不同选法共有( )
A．26种
B．84种
C．35种
D．21种
解析 共有 C22·C37＝1×73××62××51＝35(种)选法． 答案 C
2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺
2．组合数公式 组合数公式可以由排列数公式表示，注意公式的结构 Cnm＝AAmnmm＝n（n－1）（n－m2！）…（n－m＋1）＝___m__！__（__nn_！－__m_）__！__ (n，m∈N*，m≤n)． 规定 C0n＝1.
[微判断] 1．C35＝5×4×3＝60.
提示 C35＝53× ×42× ×31＝10. 2．C22 001167＝C12 017＝2 017.
得到所有构成四面体的个数为 C410－C45＝205.
答案 A
题型三 分组、分配问题 角度1 不同元素的分组分配问题 【例3】 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)． 解 (1)每组 2 本，均分为 3 组的分组种数为C26AC2433C22＝15×66×1＝15. (2)一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本的分组种数为 C36C23C11＝20×3＝60. (3)一组 4 本，另外两组各 1 本的分组种数为C46AC1222C11＝15× 2 2＝15.
问题 上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问 题提？示 由于 5 号和 14 号一组，所以其他两个人只能是 1 到 4 号或 15 到 20 号中的两个，
故共有 C24＋C26＝21(种)方法．
从 n 个不同元素中____取__出__m__(m__≤__n_)个__元__素_____的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数．用符号 Cmn 表示．
答案 B
2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( )
A．504种
B．729种
C．84种
D．27种
解析 共有选法 C39＝93× ×82× ×71＝84(种)．
答案 C
3．计算 C010＋C1100＝__________．
解析 C010＋C1100＝1＋1＝2.
答案 2
[微思考] 1．下列两个等式成立吗？
题型二 与几何有关的组合应用题 【例2】 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点
C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3， (D1)4以. 这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 解 (1)法一 可作出三角形 C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)． 法二 可作三角形 C310－C34＝116(个)， 其中以 C1 为顶点的三角形有 C25＋C15·C14＋C24＝36(个)． (2)可作出四边形 C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．
拓展深化
( ×) ( √)
3．“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2
个元素的组合数”．
(× )
提示 “从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中
取出2个元素的组合”．
[微训练]ຫໍສະໝຸດ 1．若 C2n＝10，则 n 的值为(
A．10
B．5
) C．3
D．4
解析 C2n＝n（2n×－11）＝10，解得 n＝5(n＝－4 舍去)．
解 (1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有 4×4×4×4＝44＝256(种)放法． (2)这是全排列问题，共有 A44＝24(种)放法． (3)法一 先将 4 个小球分为三组，有C24AC1222C11种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三 个盒子，有 A34种投放方法，故共有C24AC1222C11·A34＝144(种)放法． 法二 先取 4 个球中的两个“捆”在一起，有 C24种选法，把它与其他两个球共 3 个元 素分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子，有 A34种投放方法，所以共有 C24A34＝144(种)放法．
规律方法 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情 形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． (2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．
【训练2】 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无
四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205
B．110
C．204
D．200
解析 法一 可以按从共面的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类，则得到所
有的取法个数为 C05C45＋C15C35＋C25C25＋C35C15＝205.
法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，