新教材适用2023_2024学年高中数学第7章概率测评北师大版必修第一册

第七章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.下列关于古典概型的说法正确的是( ). ①试验中所有可能出现的样本点个数是有限的; ②每个事件出现的可能性相等; ③每个样本点出现的可能性相等;
④样本点总数为n ,若随机事件A 包含k 个样本点,则P (A )=k
n
.
A .②④
B .①③④ D .③④
2.已知事件A ,B ,若P (A )=15
,P (B )=12
,P (A ∪B )=7
10
,则A ,B 之间的关系一定为( ). A.两个任意事件 B.互斥事件
C.互斥但不对立事件
P (A )+P (B )=15
+1
2=
7
10
=P (A ∪B ),所以A ,B 之间的关系可能为互斥事件,但A ,B 一定不是
.因为P (A )+P (B )≠1.
(-∞,0)∪(0,+∞)上的四个函数y 1=x -1,y 2=x 2,y 3=3x
,y 4=3x ,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是( ). A.1 B.13 C.35 D.34
1000年发现勾股定理的一个特例,勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年,我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a ,b ,c )称为勾股数.现从
(3,4,5),(5,12,13),(6,8,10),(7,24,25),(8,15,17),(9,40,41),(9,12,15),(10,24,26),(15,20,25),(15,36,39)这10组勾股数中随机抽取1组,则被抽出的这组勾股数满足2b=a+c 的概率为( ). A .2 B.79 C.78 D.910
10组勾股数随机抽取1组,共10种抽取方法,其中满足2b=a+c 的有
(3,4,5),(6,8,10),(9,12,15),(15,20,25),共4种,故所求概率P=410=2
5.
,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是( ). B .0.28 C .0.3 D .0.7
,先由甲心中想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,其中a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为( ). A.1 B.29 C.718 D.49
|a-b|≤1.由于a ,b ∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得样本空间的样本点总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为1636=4
9
.故选D .
,一张的正反面分别画着老鼠和小鸡,另一张的正反面分别画着老鹰和蛇,现在有两个小孩随机地将两张卡片排在一起放在桌面上,不考虑顺序,则向上的图案是老鹰和小鸡的概率是( ). A.1 B.13
C.14
D.16
,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ). A.3 B.418
C.518
D.618
6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个样本点.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),所以包含10个样本点.故所求概率为5
18.
:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.从装有白球、红球和黑球各两个的口袋内一次取出两球,这些球除颜色外均相同.则下列事件能与事件“两球都为白球”互斥而非对立的为( ). A.两球都不是白球 B.两球恰有一个白球 C.两球至少有一个白球
,所有的样本点为白白,白红,白黑,,黑黑.除“两球都不是白球”外,还有其他事件可能发生,故A 与“两球都为白球”互斥.B,D 符合,理由同上.两球至少有一个白球,其中包含两个都是白球,故不互斥,故C 不符合.
10.在五件产品中,有三件一等品和两件二等品,从中任取两件,以7
10
为概率的事件不可能是( ). A.恰有一件一等品 B.至少有一件一等品 C.至多有一件一等品
1,2,3,两件二等品编号为4,5,从中任取两件有10种取
.其中恰有一件一等品的取
法有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),故恰有一件一等品的概率P 1=3
5;恰有两件一等品的取法有(1,2),(1,3),(2,3),故恰有两件一等品的概率P 2=3
10
,其对立事件是“至多有一件一等品”,概率P 3=1-P 2=1-310
=
7
10
.则至少有一件一等品的概率是P 4=P 1+P 2=910,都不是一等品的概率是P 5=1-P 4=1
10.
( ).
A.若P (A )+P (B )=1,则事件A 与B 是对立事件
B.若P (AB )=P (A )P (B ),则事件A 与B 是相互独立事件
C.若事件A 与B 是互斥事件,则A 与B 也是互斥事件
A 与
B 是相互独立事件,则A 与B 也是相互独立事件
A 选项,要使A ,
B 为对立事件,除P (A )+P (B )=1还需满足P (AB )=0,即A ,B 不能同时发生,所以A 选项错误.对于B 选项,根据相互独立事件的知识可知,B 选项正确.对于
C 选项,A 包含于B ,所以A 与B 不是互斥事件,所以C 选项错误.对于
D 选项,根据相互独立事件的知识可知,D 选项正确..
50名学生的成绩作为样本,得到频率分布表如下:
以下结论正确的有( ). A.表中①位置的数据是12 B.表中②位置的数据是0.30
C.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取6名学生进行第二轮考核,则第三组抽取2人
D.在第三、四、五组中用分层随机抽样法抽取的6名学生中录取2名学生,则2人中至少有1名是 0.5
50-(8+15+10+5)=12,正确;②位置的数据为15
50=0.30,B 正确;由分层随机抽样3,2,1,C 错误;设抽取的6人为a ,b ,c ,d ,e ,f (其中第四组的两人分别为d ,e ),则从6人中任取2人的所有情况为
ab ,ac ,ad ,ae ,af ,bc ,bd ,be ,bf ,cd ,ce ,cf ,de ,df ,ef ,共15种.记“2 人中至少有1名是第四组的”
为事件A ,则事件A 所含的样本点的个数为9.所以P (A )=915=3
5,故2人中至少有1名是第四组的概率为3
,D 错误,故选AB .
:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.口袋中装有100个大小、质地相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,0.23,则摸出黑球的概率为 .
摸出红球的概率为45
100
=0.45,因为摸出红球、摸出白球和摸出黑球两两互斥,因此摸出黑球的1-0.45-0.23=0.32.
.32
,随机出手一次,则甲不输的概率是 .
,如图所示.
从树状图可以看出,所有可能的结果共有9种,这些结果出现的可能性相等,P (甲获胜)=13
;P (平局)=1
3
,则玩一局甲不输的概率是1
3+1
3=2
3.
5个球,分别标记1,2,3,4,5这5个号码,设号码为x 的球的质量为(x 2
-5x+30)克,这些球以同等的机会(不受质量的影响)从口袋里取出.若同时从袋内任意取出2个球,则它们的质量相等的概率是 .
2个球的号码分别为m ,n (m ≠n ),则有m 2-5m+30=n 2
-5n+30,所以m+n=5. 个球中任意取2个球的样本空间为
Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},样本点总数为10.
符合题意的只有两种,即2个球的号码分别是1,4或2,3.所以所求概率P=210=1
5.
A,B 两枚质地均匀的小正方体(正方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏,记小丽掷出A 正方体朝上的数字为x ,小明掷出B 正方体朝上的数字为y ,那么他们各掷一
次所确定的点P (x ,y )落在抛物线y=-x 2
+4x 上的概率为 .
A 正方体一次,小明掷
B 正方体一次,出现的结果(x ,y )有36种可能,易得在抛物线y=-(1,3),(2,4),(3,3),共3种.
因此所求的概率为336=1
12.
:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)对一批
(1)计算表中各次品率;
U 盘中任取一个是次品的概率约是多少?
表中次品率从左到右依次为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.
(1)计算得到的次品率知,当抽取件数a 越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U 盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.
18.(12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率: (1)所得的三位数大于400; .
1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651,共6个.设“所得的三位数大于A ,“所得的三位数是偶数”为事件B. 由古典概型的概率公式可得
(1)P (A )=46=2
3. (2)P (B )=2
6=1
3.
19.(12分)已知关于x 的一元二次方程x 2-2(a-2)x-b 2
+16=0,若a ,b 是一枚质地均匀的骰子连续抛,求方程有两个不相等的正实数根的概率.
36个,且a ,b ∈{1,2,3,4,5,6}.
a-2>0,16-b 2>0,Δ>0,即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b 2
>16. 设“一元二次方程有两个不相等的正实数根”为事件A ,则事件A 所包含的样本点为
(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),共4个.故所求概率为P (A )=436=1
9.
20.(12分)某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4
5
,且各株大树是否成活互不影响,求移栽的4株大树中,至少有1株成活的概率.
A k 表示第k 株甲种大树成活,k=1,2,
B l 表示第l 株乙种大树成活,l=1,2,则A 1,A 2,B 1,B 2相互独立,且P (A 1)=P (A 2)=5
6,P (B 1)=P (B 2)=4
5.
至少有1株成活的概率P=1-(1-56)2
×(1-45)2
=899
900
.
21.(12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据(单位:人)如下表:
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,3名女同学B 1,B 2,B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A 1被选中且B 1未被选中的概率.
由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,故至少参加上述一个社团的共有45-30=15(人),所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P 1=
1545
=
13
.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,样本空间
Ω={(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,B 3),(A 4,B 1),(A 4,B 2),(A 4,B 3),(A 5,B 1),(A 5,B 2),(A 5,B 3)},共15个样本点.
根据题意,这些样本点的出现是等可能的.事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的样本点有(A 1,B 2),(A 1,B 3),共2个.
因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P 2=2
15
.
22.(12分)如图,甲、乙是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字. 小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:
同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).
(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率;
(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则.
解:(1)列表法:
或树状图:
根据列表或树状图可知,共有12种等可能的结果,其中和小于9的可能结果有6种,故小明获胜的
概率为P 1=612=1
2.
(2)这个游戏不公平.因为小明获胜的概率为P 1=1
2,小红获胜的概率为P 2=3
12=1
4,显然1
2≠1
4,所以,这
个游戏规则对小红不公平.
设计一种公平的游戏规则:当指针所指区域内的数字之和小于9时,小明获胜;当指针所指区域内的数字之和不小于9时,小红获胜.。