集合、子集

集合、子集
集合.子集
一.学习目标
1.理解集合的概念．
2.掌握集合的表示法:列举法.描述法.图示法．
3.理解子集的概念,掌握〝属于.包含.相等〞三种关系的有关术语和符号,形成正确.简明的集
合语言．
二.例题
第一阶梯
1.什么是集合.集合的元素?怎样表示元素与集合的关系?集合有哪些基本性质?
参考答案:
一组对象的全体,就形成一个集合．集合里的各个对象叫做集合的元素．集合用大写拉丁字母表示,
如N.Z.Q等．元素用小写拉丁字母表示,如a．
集合和元素的关系是〝属于〞和〝不属于〞的关系,其符号是〝∈〞和〝〞．,如a是集合A的元素,
记作a∈A,如果a不是集合B的元素,记作aB．
集合的元素有两个基本性质:
(1)确定性对于集合A和元素_有明确的关系,是_∈A,还是_A,二者必居其一．
(2)互异性在同一集合中,任何两个元素必须是不同的,相同的元素,只能算
作一个．例如方程_2＋
2_＋1=0有相等二根:_1=－1,_2=－1,但在集合语言,方程_2＋2_＋1=0的解集应是{－1},而不
可写为{－1,－1}．
任何集合的元素都有上述两个共性,所以我们把元素的确定性和互异性称为集合的基本性质．
说明:
集合和元素是最原始的不定义概念,就和〝点〞.〝线〞.〝面〞一样,都是不加定义的．因此,你
不要追求集合的严格定义,只能用它的两个基本性质理解它．由元素的确定性和互异性,必然推出集
合的元素具有无序性,例如,{1,2,3}={1,3,2}．
请记住常用数集的代号:
N={自然数}={正整数}, Z={整数},
Q={有理数},Q＋={正有理数},
R={实数},R＋={正实数}
2.怎样表示集合?
参考答案:
3.什么叫子集.等集.真子集?什么叫空集?
参考答案:
任意的__Icirc; A _THORN;_THORN; __Icirc;B,则称A是B的子集,记作
A_Iacute;B,读作A包含于B,或说B包含A．
如果A_Iacute;B,且B_Iacute; A,则称A=B．
如果A_Iacute;B,且A≠ B,则称A是B的真子集,记作A_Igrave;B,不含任何元素的集合叫做空集,记作f ．
说明:
(1)关于子集和真子集有下列推论:
①A_Iacute;B _THORN;A_Igrave;B或A=B,且二者必居其一;
②A_Igrave;B _THORN;_THORN; A_Iacute;B;
③A_Iacute;A(A是任何集合);
④规定f _Iacute;A(A是任何集合)．
(2)子集与真子集是集合与集合的包含关系,等集是集合与集合的相等关系．〝包含〞与〝相等〞关
系都是集合与集合的关系,它们和元素与集合的关系不同,后者是属于(_Icirc;_Icirc; )与不属于(_Iuml;_Iuml; )
的关系．〝包含〞.〝相等〞.〝属于〞是重要的三大关系,易错易混,要注意区分．
第二阶梯
1.化简下列集合:
(1){_ _=_2};
(2){_ )} ;
(3){不超过10的质数}．
[提示]
用列举法来化简集合．
[参考答案]
(1){_ _=_2}={－1, 0, 1}.
(2)原集合化简为{－1,}．
(3)原集合化简为{2,3,5,7}．
[说明]
列举法具有化简有限集合的功能．
2.已知集合A{_,
_y, _y－1} , __Icirc;Z , y_Icirc;Z , 且y≠0. 如果0_Icirc;A,求A．[提示]
利用集合元素的互异性,分类讨论
[参考答案]
由0_Icirc;A,y≠0 _THORN;_THORN; _=0,或_y－1=0.
若_=0 , 则_y=0 , 此时A中的元素_._y相同,所以_≠0．
若_y－1=0,由于_ , y
_Icirc;Z,所以_=y=1,或_=y=－1．
当_=y=1时,A={1,1,0}P这与元素互异相矛盾,因此,只能_=y=－1．
所以,A={－1,1,0}．
3.下列命题中,正确的是( )．
(A) R＋_Icirc;
R (B) Z＋_Eacute;_Eacute; {_ _≥0 , __Icirc;Z} (C)空集是任何集合的真子集 (D) f _Icirc; {f }
[提示]
(A)中R＋不是元素,R＋与R的关系是包含关系,不是属于关系.
(B) 0_Icirc;{_ _≥0 , __Icirc;
Z},但0_Iuml;Z＋.
(C)当任何集合为空集时,即为反例.
(D){f}表示以空集f为元素的集合,故(D)正确．
[参考答案](D)
4.已知A={_ 1≤_≤2} , B={_ (_－1)(_－a)≤0 , a_Icirc; R} , 且A_Igrave;B,求实数a的取值集合
[提示]
用数轴表示数集A,B,比较端点,即可解．
[参考答案]
A={_ 1≤_＜2＝．如图4．
对于B:当a=1时,B={1},此时A_Igrave; B无解;
当a＜1时,B={_ a≤_≤1} ,此时A_Igrave;B也无解;
当a＞1时,B={_ 1≤_≤a},此时A_Igrave;B,得解a≥a,综上,a的取值集合是{a a≥2}．
[说明]
用数轴表示集合是集合的一种图示法,属于数形结合法,是解决集合问题的好方法．
第三阶梯
1.判定下列A和B的关系:
(1)
(2)
(3)
(4)
[提示]
利用子集.真子集和等集的概念解题．[参考答案]
(1)因为．
(2)因为A=φ,所以A=B．
(3)A={_ _≥3},B={y
y≥1},所以A_Eacute; B．
(4)
[说明]
判定两个集合之间的关系的通法:通过元素与集合的关系(),确定集合与集合的关系
();数形结合,用图示法．注意集合的列举法.描述法和图示法三法之间的相互转化,
其中描述法较难,常将描述法转化为列举法或图示法．
2.(1)列出下列集合的所有子集:
．
(2)试猜想有限集的子集个数
[提示]
(1)根据子集的定义,一一列举各集合的子集,注意列举和计数的规律．
(2)根据(1),用归纳法猜测．
[参考答案]
(1)A1的子集:φ,
A2的子集:φ,,,
(2)由(1)可知:A1,A2,A3的子集个数分别为21,22,23．∴猜想An的子集个数为2n．
三.练习题
1．方程组
( )
A． B. C. D.
2．已知,,．
如果a∈M0,b∈M1,c∈M2,那么a+b-c∈
A．B． C． D．
3． =
A．B． C． D．
4．集合M={1,2},P={_ a_－1=0},若P_Igrave; M,则满足条件的实数a的个数是(
)
A．无穷多
B．3 C．2 D．1
5．集合{12的正因数}用列举法表示为
6．集合{1,2,3}的所有真子集是
7.一次函数y=2_－2的图象与坐标轴的交点的集合是
8. 若{_ (a+1)__gt;a+1,a∈R}={_
__lt;1},那么a的取值范围是
9. 已知集合A={_ _2+_－2=0},
B={_ (_2+_－2)(_2+a_+4)=0},如果A_Igrave; B,那么实数a的取值集合
是
10.一次函数y=2_－2的图象与坐标轴的交点的集合是________________
11.若{_ (a+1)__gt;a+1,a∈R}={_
__lt;1},那么a的取值范围是________________
12．已知集合A={_ _2+_－2=0},
B={_ (_2+_－2)(_2+a_+4)=0),如果A_Igrave; B,那么实数a的取值集合是_______________
答案:
1---4 C,C,D,B
5. {1,2,3,4,6,12}
6. φ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}
7. {(1,0),(0,－2)}
8. a _lt; －1
9. {a a_gt;4,或a≤－4} 10．{(1,0),(0,－2)} 11．a _lt; －1
12．{a a_gt;4,或a≤－4}。