1.8随机事件的独立性
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。
本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。
二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。
互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。
三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。
1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。
独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。
1.8 随机事件的独立性
例
一个均匀的正四面体，其第一面染成红色， 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白 色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种 第三面染成黑色，而第四面同时染上红， 颜色。现在我们以A 分别记投一次四面体出现红， 颜色。现在我们以A，B，C分别记投一次四面体出现红，白， 黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色， 黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此 P(A)=1/2 同理P(B)=P(C)=1/2， 同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出 P(B)=P(C)=1/2 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以A,B,C两两独立， 所以A,B,C两两独立，但是 A,B,C两两独立 P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)
独立的性质
若事件A 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立。 相互独立，则下列各对事件也相互独立。
A与B, A与B, A与B.
证 由于
P ( AB ) = P ( B − AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 相互独立， 相互独立， 所以 A与B相互独立，同样可证得A与B相互独立， 相互独立。 A与B相互独立。 = P ( B ) − P ( A) P ( B ) = P ( B )[1 −独立性
一般说来 P( A B) ≠ P( A) 然而有一类事件却可以使上式等号成立， 然而有一类事件却可以使上式等号成立，譬如 分别掷两枚均匀的硬币， 硬币甲出现正面} 例 分别掷两枚均匀的硬币，令A={硬币甲出现正面 硬币甲出现正面 B={硬币乙出现反面 求P(A)，P(A︱B). 硬币乙出现反面},求 硬币乙出现反面 ， ︱ 从直观上来看，它反映了B发生对于 是否发生不产生 从直观上来看，它反映了 发生对于A是否发生不产生 发生对于 任何影响，我们称这种特性为A对 独立 独立， 任何影响，我们称这种特性为 对B独立，即：
判断随机事件独立性的方法
判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。
判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。
1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。
具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。
数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。
2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。
根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。
如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。
2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。
具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。
如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。
否则，事件A和事件B不满足独立性条件。
2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。
协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。
具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。
概率论与数理统计习题集及答案
第1章 概率论的基本概念§1 。
8 随机事件的独立性1. 电路如图，其中A,B,C ，D 为开关.设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p ，求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。
A B L R C D1. 甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0。
4，0.5和0.6，是否命中,相互独立， 求下列概率： (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。
第1章作业答案§1 .8。
1： 用A,B,C,D 表示开关闭合,于是 T = AB ∪CD ， 从而，由概率的性质及A,B ，C ，D 的相互独立性P （T) = P （AB ） + P （CD) - P(ABCD)= P （A)P(B) + P(C ）P(D ） – P(A ）P(B)P(C ）P （D ）424222p p p p p -=-+=2： （1） 0。
4（1-0。
5）(1—0.6）+(1-0.4)0。
5(1—0。
6）+（1—0。
4)（1—0。
5)0.6=0.38；（2） 1—（1-0.4）(1-0。
5）(1—0。
6)=0.88.第2章 随机变量及其分布§2.2 10-分布和泊松分布1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求（1）每分钟恰有1次呼叫的概率;(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2 设随机变量X 有分布律： X 23 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6（1)P （X=2，Y ≤2)； (2)P （Y ≤2); (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。
§2。
3 贝努里分布2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0。
9 ？§2.6 均匀分布和指数分布2 假设打一次电话所用时间（单位:分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。
而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。
条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。
具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。
例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。
如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。
2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。
例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。
如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。
因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。
3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。
如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。
这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。
然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。
这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。
总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。
随机事件的独立性名词解释
随机事件的独立性名词解释随机事件独立性是概率论中的重要概念，用来描述两个或多个事件之间的关系。
独立事件指的是当一个事件的发生与其他事件无关时，它们在统计意义上是相互独立的。
本文将对随机事件的独立性进行详细的解释和探讨。
1. 事件的概念在概率论中，事件是指可能发生或不发生的某个结果。
举个例子，掷骰子的结果可以是1、2、3、4、5或6，每一个结果都是一个事件。
事件有时也被称为样本点。
2. 随机事件的定义随机事件是指我们无法确定结果的事件。
这些事件在重复试验的情况下可能出现不同的结果。
例如，在抛硬币的实验中，结果可以是正面或反面，而我们无法确定每一次抛硬币的结果。
3. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指两个或多个事件之间相互独立的性质。
当两个事件彼此无关时，它们在统计上是相互独立的。
独立性可以被定义为事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
例如，当抛一枚硬币两次时，每一次的结果都是独立的，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果。
4. 独立事件的计算方法为了判断两个事件是否独立，可以使用以下计算方法：- 如果事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)，则事件A和事件B是独立的；- 如果事件A和事件B同时发生的概率小于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) < P(A) * P(B)，则事件A和事件B是不独立的。
5. 独立事件的应用随机事件的独立性在概率论和统计学中有广泛的应用。
在实际生活中，许多事件的独立性决定了我们如何进行决策和预测。
举例来说，假设每天早上去上班的时间服从一个随机变量，而去上班的交通方式也服从另一个随机变量。
如果这两个随机变量是独立的，这意味着每天早上去上班的时间不会受到选择交通方式的影响，我们可以根据历史数据来估计早上去上班的平均时间。
然而，如果这两个随机变量是相关的，即选择不同的交通方式可能会导致不同的通勤时间，我们就不能简单地使用历史数据来预测早上去上班的时间了。
概率论随机事件的独立性
解 设需配备n门此型号火炮,并设事件 Ai 表示第i 门火炮击中敌机，则
P ( Ai ) 1 1 P ( Ai ) 1 0.2 0.999
n n i 1
n
ln 0.001 n 4.29 ln 0.2
故至少需配备 5 门此型号火炮 .
第一章 概率论的基本概念
考虑n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次 的概率, 记为 Pn ( k )
例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球 4 次,每次一个,求其中恰有2个白球的概率. 解一 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
n 5 , nB C 3 2
4
2 4
2
2
C 32 P( B) 0.3456. 5
第一章 概率论的基本概念
容易证明， 只要分母不为0,(1),(2),(3),(4)式 的成立，只需要以下一个等式就可保证：
P( AB) P( A) P( B) - - - - - - - - - - - - - - - (5)
所以，事件独立性的定义为：
设A、B是两个随机事件，如果满足
P( AB) P( A) P( B)
P ( A) 1 P ( B ) P ( A) P ( B )
第一章 概率论的基本概念
例1 设甲、乙两射手独立地射击同一目标， 他们击中目标的概率分别为0.9和0.8.求在 一次射击中，目标被击中的概率.
第一章 概率论的基本概念
三个事件的独立性 设A、B、C是三个随机事件，如果同时满足如下 四个等式：
则称事件A与B相互独立.
两事件相互独立的性质
事件A与任一概率为0或1的事件都相互独立. 若 P ( A ) 0, P ( B ) 0,
《随机事件的独立性》 知识清单
《随机事件的独立性》知识清单一、什么是随机事件的独立性在概率论中，随机事件的独立性是一个非常重要的概念。
简单来说，如果两个随机事件的发生与否互不影响，那么我们就称这两个事件是独立的。
举个例子，假设我们抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一个骰子，得到点数为6 记为事件B。
抛硬币的结果不会影响抛骰子的结果，反之亦然。
所以事件 A 和事件 B 就是相互独立的。
用数学语言来表述，如果事件 A 和事件 B 独立，那么 P(AB) ＝P(A)×P(B)。
其中 P(AB) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
二、独立事件与互斥事件的区别很多人会混淆独立事件和互斥事件，其实它们有着本质的区别。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
比如在一个袋子里摸球，摸到红球记为事件 C，摸到蓝球记为事件 D，因为一次摸球不可能既摸到红球又摸到蓝球，所以事件 C 和事件 D 是互斥的。
而独立事件强调的是两个事件的发生互不影响。
还是以摸球为例，如果我们先从一个袋子里摸一个球，然后再从另一个完全相同的袋子里摸一个球，第一次摸球的结果不会影响第二次摸球，这两次摸球的事件就是独立的。
从概率的角度来看，对于互斥事件 P(CD) ＝ 0，而对于独立事件P(CD) ＝ P(C)×P(D) （前提是 C 和 D 独立）。
三、如何判断两个事件是否独立判断两个事件是否独立，通常可以从实际情况的逻辑关系来考虑，也可以通过计算它们的概率是否满足独立事件的公式来确定。
如果从实际情况出发，就像前面提到的抛硬币和抛骰子的例子，很容易就能判断出它们是相互独立的。
如果要通过计算概率来判断，就需要先分别求出两个事件发生的概率 P(A) 和 P(B)，然后再求出它们同时发生的概率 P(AB)，看是否满足P(AB) ＝ P(A)×P(B)。
四、多个随机事件的独立性不仅仅是两个随机事件，多个随机事件也可以讨论独立性。
第58讲 随机事件的相互独立性与条件概率
考点二 条件概率
解:(1)从口袋中随机抽取1个球,抽取到白球的概率P==.
课堂考点探究
(2)记事件A=“第一次抽取到白球”,事件B=“第二次抽取到白球”,则P(AB)=×=,P(A)==,所以在第一次抽取到白球的条件下第二次仍抽取到白球的概率P(B|A)===.
课前双基巩固
0.4
[解析]记事件A=“射中第一个目标”,事件B=“射中第二个目标”,则P(A)=0.8,P(B|A)=0.5,所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.8×0.5=0.4,即这个选手能过关的概率为0.4.
3. [教材改编]设甲乘汽车或火车前往某目的地的概率分别为0.6,0.4,汽车和火车正点到达目的地的概率分别为0.9,0.8,则甲正点到达目的地的概率为 .
A
B
课前双基巩固
2.条件概率与乘法公式(1)条件概率的定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在 发生的条件下, 发生的条件概率,简称条件概率. (2)条件概率与独立性的关系当P(A)>0时,当且仅当事件A与B 时,有P(B|A)=P(B). (3)乘法公式定义:对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)= .这称为概率的乘法公式.
课堂考点探究
练习2 某班有包括男生甲和女生乙在内的6名班干部,其中男生4人,女生2人,从中任选3人参加义务劳动.(1)求男生甲或女生乙被选中的概率;(2)记事件A=“男生甲被选中”,事件B=“女生乙被选中”,求P(A)和P(A|B).
解:(1)男生甲和女生乙都没有被选中的概率为==,故男生甲或女生乙被选中的概率为1-=.(2)由题得P(A)===,P(B)===,P(AB)===,所以P(A|B)===.
概率论之随机事件的独立性
的概率相等，都是 pk (1 p)nk ，故由概率的有限可
加性有 Pn (k) Cnk pk qnk , q 1 p, k 0,1, 2, , n
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
考研（2007，4 分）某人向同一目标独立重复射击， 每次射击命中目标的概率为 p （ 0 p 1 ），则此人 第 4 次射击时恰好第二次命中目标的概率为 （ C ）. （A） 3 p(1 p)2 ；（B） 6 p(1 p)2 ；
随机事件及其概率
定理 若事件 A, B 相互独立，则事件 A 与 B ，A 与
B ， A 与 B 也独立.
证明 只证 A 与 B 独立 P( AB) P( A) P( AB)
P(A) P(A)P(B)
P( A)[1 P(B)] P( A)P(B)
§4随机事件的独立性
实际问题
P( A) 1 p ，
则称试验 E 为伯努利（Bernoulli）试验．称 n 重独立 重复贝努利试验为 n 重伯努利试验．
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
定理 （伯努利定理）在 n 重伯努利试验中，若每次
试验中事件 A 发生的概率为 p(0 p 1) ，则在这 n 次
试验中事件 A 恰好出现 k(0 k n) 次的概率为
则称事件 A1, A2 ,, An 相互独立（Independence each
other）.
§4随机事件的独立性
随机事件及其概率
当 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立时
P( A1 A2 An ) P(A1)P(A2 ) P(An )
P( A1 A2
1 P(A1 A2
An )
《随机事件的独立性》课件
# 随机事件的独立性 ## 什么是随机事件？ - 随机事件的定义 - 随机事件的例子 ## 什么是事件的独立性？ - 独立事件的定义 - 独立事件的特点 ## 什么是条件概率？ - 条件概率的定义 - 条件概率的计算方法 ## 独立事件和条件概率的关系 - 独立事件的条件概率 - 条件概率的独立事件 ## 非独立事件的条件概率 - 非独立事件的定义 - 非独立事件的条件概率的计算方法
非独立事件的条件概率
定义
非独立事件是指两个事件之间存在某种关联，一个 事件的发生会影响另一个事件的发生概率。
条件概率的计算方法
非独立事件的条件概率可以通过已知的条件和事件 的发生次数进行计算。
总结
1 随机事件的独立性的
重要性
2 独立事件和条件概率
的适用范围
3 非独立事件的条件概
率的应用场景
了解随机事件的独立性可以 帮助我们更好地分析和理解 概率问题。
什么是条件概率？
定义
条件概率是指当已知与之相关的一些条件时，事件发生的概率。Байду номын сангаас
计算方法
条件概率可以通过已知的条件和事件的发生次数进行计算。
独立事件和条件概率的关系
1
独立事件的条件概率
在独立事件中，条件概率的计算结果与事件的发生与否无关。
2
条件概率的独立事件
在条件概率中，独立事件的发生与否不会影响条件概率的结果。
什么是随机事件？
定义
随机事件是在一次试验中，有多种可能结果中的某 种结果发生的事件。
例子
抛一枚硬币，正面朝上或反面朝上都是随机事件。
什么是事件的独立性？
定义
独立事件是指两个事件之间互不影响，一个事件的 发生不受另一个事件的发生与否的影响。
随机事件的独立性与条件概率
随机事件的独立性与条件概率随机事件的独立性和条件概率是概率论中的重要概念，它们在统计学和实际应用中有着广泛的应用。
了解和理解这些概念对于正确分析和解释随机事件具有重要意义。
首先，我们来看随机事件的独立性。
两个事件A和B被称为独立事件，当且仅当事件A的发生与事件B的发生是相互独立的，即事件A的发生与事件B的发生没有任何关联。
数学上可以用概率的乘法定理来描述独立事件的概率关系。
假设事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则当且仅当P(A∩B) = P(A) × P(B)时，事件A和B是独立的。
例如，假设我们有一副扑克牌，抽出一张牌的事件A是抽出红心，抽出一张牌的事件B是抽出Q牌。
如果P(A) = 1/4，P(B) = 1/13，而P(A∩B) = 1/52，则事件A 和B是独立的，因为P(A∩B) = P(A) × P(B)。
另外一个重要的概念是条件概率。
条件概率是指在已经发生了某个事件的条件下，另一个事件发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率”。
条件概率可以通过概率的除法定理来计算。
假设事件A和事件B是两个不独立的事件，则P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
以前面的例子为例，已经抽出的牌是红心的条件下，抽出Q牌的概率即为P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
根据前面的数据，我们可以计算得到P(B|A) = (1/52) / (1/4) = 1/13，即在已经抽出红心的条件下，抽出Q牌的概率为1/13。
通过条件概率的概念，我们可以进一步引入贝叶斯公式。
贝叶斯公式是一种计算条件概率的方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯公式可以用于计算在一些已知条件下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)。
贝叶斯公式的应用非常广泛，例如在医疗诊断、信号处理和机器学习等领域中都有重要的应用。
第一章续7-8节随机事件的独立性
定理1 定理 乘积： 乘积：
二独立事件的交的概率等于这二事件的概率的
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
定理2 有限个独立事件的交的概率等于这些事件的概 定理 率的乘积： 率的乘积：
P( A1 A2 L An ) = P( A1 ) P( A2 )L P( An )
返回
例1 一批产品共有N个，其中有M个是次品.从这批产品 一批产品共有N 其中有M个是次品. 中任意抽取一个检查，记录其等级后，仍放回去， 中任意抽取一个检查，记录其等级后，仍放回去，如此连续 抽查n 这种抽样方式叫做放回抽样 重复抽样） 放回抽样或 抽查n次（这种抽样方式叫做放回抽样或重复抽样）.求n次 都取得合格品的概率. 都取得合格品的概率. 设事件Ai表示第 次抽样时取得合格品(i=1,2,…,n)， 表示第i次抽样时取得合格品 解 设事件 表示第 次抽样时取得合格品 ， 则事件A1,A2,…,An是独立的，并且 则事件 是独立的， N −M P ( Ai ) = (i = 1, 2, L , n ) N 所求的概率
P( A) = ∑P( Bi ) P( A Bi )
i =1
n
L P ( An A1 A2 L An −1 )
P(A) = P(B )P(A B ) + P(B2)P(A B2) + P(B3)P(A B3) 1 1 P(B) = P( A)P(B | A) + P( A)P(B | A)
返回
1.7节 续 第1.7节 全概率公式
若
P ( A B ) = P ( A) (事件A与B独立) 事件A 独立)
由
P ( A) = P ( B ) P ( A B ) + P ( B ) P ( A B ) P ( A) = P ( B ) P ( A) + P ( B ) P ( A B )
《随机事件的独立性》 知识清单
《随机事件的独立性》知识清单一、什么是随机事件的独立性在概率论中，随机事件的独立性是一个非常重要的概念。
如果两个随机事件 A 和 B 满足以下条件：P(AB) ＝ P(A)P(B)，那么我们就说事件 A 和事件 B 是相互独立的。
简单来说，事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，这两个事件就是独立的。
例如，抛一枚硬币，正面朝上记为事件 A，抛一次骰子，点数为 6记为事件 B。
这两个事件就是相互独立的，因为抛硬币的结果不会影响抛骰子的结果，反之亦然。
二、独立事件与互斥事件的区别很多同学容易混淆独立事件和互斥事件，其实它们有很大的不同。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，即 P(AB) ＝ 0。
比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件。
而独立事件强调的是两个事件的发生概率互不影响。
举个例子，明天是否下雨（事件A）和你考试是否及格（事件B），通常来说这两个事件就是相互独立的。
需要注意的是，互斥事件一定不是独立事件，独立事件也不一定是互斥事件。
三、多个随机事件的独立性不仅两个随机事件可能独立，多个随机事件也可能相互独立。
对于三个事件 A、B、C，如果同时满足以下条件：P(AB) ＝ P(A)P(B)P(AC) ＝ P(A)P(C)P(BC) ＝ P(B)P(C)P(ABC) ＝ P(A)P(B)P(C)那么我们就说事件 A、B、C 相互独立。
多个独立事件的情况在实际问题中也经常出现。
四、独立事件的性质1、如果事件 A 和 B 相互独立，那么 A 和 B 的补事件（非 A 和非B）也相互独立。
例如，如果抛硬币正面朝上（事件A）和抛骰子点数为6（事件B）相互独立，那么抛硬币反面朝上（非 A）和抛骰子点数不为 6（非 B）也相互独立。
2、若事件 A 和 B 相互独立，则 P(A|B) ＝ P(A)，P(B|A) ＝ P(B)。
这意味着在已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率不变。
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。
理解这两个概念对于解决各种概率问题、分析随机现象具有关键作用。
首先，咱们来聊聊互斥性。
互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现 1 点”和“出现 2 点”这两个事件就是互斥的，因为骰子在一次投掷中不可能既出现 1 点又出现 2 点。
再举个例子，从一副扑克牌中抽一张牌，“抽到红桃”和“抽到黑桃”这就是互斥事件。
如果事件 A 和事件 B 是互斥的，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。
从概率的角度来看，如果 A 和 B 互斥，那么 P(A 或 B) ＝ P(A) ＋P(B)。
比如说，掷骰子出现奇数点（1、3、5）的概率是 1/2，出现偶数点（2、4、6）的概率也是 1/2，因为这两个事件互斥，所以出现奇数点或者偶数点的概率就是 1/2 ＋ 1/2 ＝ 1，这是必然会发生的。
接下来，咱们说说独立性。
独立事件指的是一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天考试及格，这两件事通常就是相互独立的，今天下不下雨不会影响明天考试及格的概率。
再比如，先后两次抛硬币，第一次抛硬币出现正面和第二次抛硬币出现正面，这两个事件就是独立的。
如果事件 A 和事件 B 是独立的，那么 P(A 且 B) ＝ P(A) × P(B)。
假设抛一枚均匀的硬币，第一次抛出现正面的概率是 1/2，第二次抛出现正面的概率也是 1/2，那么两次都出现正面的概率就是 1/2 × 1/2 ＝ 1/4。
需要注意的是，互斥事件和独立事件并不是一回事。
互斥事件强调的是两个事件不能同时发生，而独立事件强调的是一个事件的发生不影响另一个事件的概率。
有时候，人们容易混淆这两个概念。
比如说，有人可能会认为“掷骰子出现 1 点”和“掷骰子出现偶数点”是独立事件，其实它们是互斥事件，因为这两个事件不可能同时发生。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1.8 随机事件的独立性
两事件的独立性
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次， •
设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，
显然
P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发
生的概率,这时称事件A、B独立.
由乘法公式知，当事件A、B独立时，
则称A、B独立，或称A、B相互独立.
定理1 设A, B是两事件，若A, B 相互独立，
P(B) 0, P( A | B) P( A). 反之亦然.
例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
问事件A、B是否独立？ •
解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2
证明:
仅证A与
B
独立 •
A、B独立
概率的性质 P(AB)= P(A - A B)
= P(A)- P(AB)= P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)]= P(A) P(B)
故A与 B 独立 .
§1.8 随机事件的独立性
有限个事件的独立
n个事件 A1, A2,, An 称为是相互独立的，如果这 些事件中的任一事件 Ai (i 1,2,• , n)与其它任意几个 事件的交是独立的，即
P( Ai Aj Ak) P( Ai ),
m
其中Aj Ak 表示除事件 Ai 外的其它n 1个事件中 任意m (m 1,2,, n 1)个事件的交.
§1.8 随机事件的独立性
独立等于这二事件的概
率的乘积：
•
P( AB) P( A)P(B).
仍相互独立；
若设n个独立事件 A1, A2,…, An 发生的概率
分别为 p1,, pn,
则“ A1, A2,…, An 至少有 一• 个发生”的概率为
P(A1+…+An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出：
“ A1, A2,…, An 至少有一个不发生”的概率为
P( A1 A2 … An ) 1 P( A1)P( A2 )… P( An )
=1- p1 … pn
例 3 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、 二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的,求加工出来的
•
零件的次品率.
解 本题应先计算合格品率, 这样可以使计算简便.
设 A1, A2 , A3 , A4 为四道工序发生次品事件, D 为 加工出来的零件为次品的事件, 则 D 为产品合格
[定理4] 有限个相互独立事件的交的概率等于这些 事件的概率的乘积：
P( A1A2 An ) P( A1)P( A2 )P( An ).
对独立事件，许多概率计算可得到简化：
例2 三人独立地去破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1/5，1/3，• 1/4，问三人中至 少有一人能将密码译出的概率是多少？
的事件, 故有
D A1 A2 A3 A4 , P(D ) P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
例 3 加工某一零件共需经过四道工序, 设第一、 二、三、四道工序的次品率分别是2%, 3%, 5%, 3%, 假定各道工序是互不影响的,求加工出来的
•
零件的次品率. 解 本题应先计算合格品率, 这样可以使计算简便.
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
说明事件A、B独立.
前面我们是根据两事件独立的定义作出 结论的，也可以通过计算条件概率去做:
从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 •
A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}
则 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立.
在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立.
例如
甲、乙两人向同一目标射 •击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的
概率，故认为A、B独立 .
（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]
1 4 2 3 3 0.6 534 5
性质1 若事件 A1, A2 ,, An(n 2) 相互独立，
则其中任意
k(1
k
n)
个事件也相互独立； •
性质2 若 n 个事件 A1, A2 ,, An(n 2)相互独 立，则将 A1, A2 ,, An 中任意 m(1 m n) 个事件换成它们的对立事件，所得的 n 个事件
有
P(AB)=P(A) P(B)
P(AB)=P(B)P(A|B) •
用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用
P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制约.
两事件独立的定义
若两事件A、B满足
P(AB)= P(A) P(B) •
(1)
又如：一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2
若抽取是有放回的, 则A1•与A2独立.
因为第二次抽取的结果
不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立.
因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响.
定理2：若两事件A、B独立，则
A与B, A与B, A与B 也相互独立.
解：将三人编号为1，2，3， 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1+A2+A3)
1
3
已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 •
P(A1+A2+A3) 1 P( A1 A2 An )
2
1 P( A1A2 A3)
1 P( A1)P( A2 )P( A3)
P(D ) P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 ) (1 2%)(1 3%)(1 5%)(1 3%) 87.59779% 87.60%;