职业春季高考数学试卷

一、选择题（每题4分，共40分）
1. 已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$，则该函数的对称轴为：
A. $x = 2$
B. $x = -2$
C. $y = 2$
D. $y = -2$
2. 若$a^2 + b^2 = 1$，则$ab$的最大值为：
A. $1$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $0$
3. 在直角坐标系中，点A(2, 3)关于直线$y = x$的对称点为：
A. (2, 3)
B. (3, 2)
C. (3, -2)
D. (-2, 3)
4. 下列函数中，奇函数是：
A. $f(x) = x^2$
B. $f(x) = |x|$
C. $f(x) = \frac{1}{x}$
D. $f(x) = x^3$
5. 已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则第$n$项$a_n$的通项公式为：
A. $a_n = a_1 + (n-1)d$
B. $a_n = a_1 - (n-1)d$
C. $a_n = a_1 + nd$
D. $a_n = a_1 - nd$
6. 若$sin\alpha + cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$，则$sin2\alpha$的值为：
A. $1$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $-1$
7. 在平面直角坐标系中，直线$y = kx + b$与圆$x^2 + y^2 = 1$相切，则$k$和$b$的关系为：
A. $k^2 + b^2 = 1$
B. $k^2 + b^2 = 2$
C. $k^2 + b^2 = 0$
D. $k^2 + b^2 = -1$
8. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f(x)$的极值点为：
A. $x = 0$
B. $x = 1$
C. $x = -1$
D. $x = 3$
9. 在三角形ABC中，$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，则$\cos A$的值为：
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{5}{4}$
D. $\frac{3}{4}$
10. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数）满足$|z - 1| = |z + 1|$，则$z$位于：
A. 实轴上
B. 虚轴上
C. 第一象限
D. 第二象限
二、填空题（每题5分，共20分）
11. 函数$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$的定义域为______。

12. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n = 5n^2 - 4n$，则该数列的首项$a_1$为______。

13. 在直角坐标系中，点P(1, 2)到直线$3x - 4y + 5 = 0$的距离为______。

14. 已知函数$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1$的导数$f'(x)$为______。

15. 若等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1 = 2$，$a_4 = 32$，则$q$的值为______。

三、解答题（每题20分，共60分）
16. 已知函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$，求：
（1）$f(x)$的导数$f'(x)$；
（2）$f(x)$的极值点及对应的极值。

17. 在三角形ABC中，$a = 5$，$b = 6$，$c = 7$，求$\cos B$的值。

18. 已知复数$z = 2 + 3i$，求$|z|^2$的值。

注意：本试卷共100分，考试时间为120分钟。

请将答案填写在答题卡上。