江苏省南通市数学学科基地命题2017年高考模拟试卷5含答案

（第9题）
F E
D
C
B
A
(第4题)
n ←n 1
2017年高考模拟试卷（5）
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
． 1． 设集合{1,2,3},{2,3,6}A B ==，那么A
B 2． 假设复数z 知足i 1i z =+，那么z 3. 用系统抽样方式从400名学生随机地编号为400~1假设第1抽取的号码为 ▲ ．
4. 如图是一个算法流程图，假设输入n S 的值
是 ▲ ．
5． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，
每一个盒子的放球数量不限，那么1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ ． 6． 设x ∈R ，那么“2log 1x <”是“220x x --<”的 ▲ 条件．
（从“充分没必要要”、“必要不充分”、“既不充分也没必要要”、“充要”当选择）． 7． 已知圆22(1)4x y ++=与抛物线22y px =（0p >）的准线交于A 、B 两点，且AB =
则p 的值为 ▲ ．
8． 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，7193()S a a =+，则
5
4
a a 的值为 ▲ ． 9． 如图，三棱锥BCD A -中，E 是AC 中点，F 在AD 上，且FD AF =2，
假设三棱锥BEF A -的体积是2，那么四棱锥ECDF B -的体积 为 ▲ ．
10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3
f f αβ==
（βα≠），那么=+βα ▲ ．
11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥0，
－x ＋1，x ＜0．
假设函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点，那么实数k
的取值范围
是 ▲ ．
12．已知△ABC 外接圆O 的半径为2，且2AB AC AO +=，||||AB AO =，那么CA CB ⋅=
▲ ．
13．设a b c ，，是三个正实数，且()a a b c bc ++=，那么a b c +的最大值为 ▲ ．
14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[1
2，1]）的图象为C ．若是任何斜率不小于1的直线与C
都最多有一个公共点，那么a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答. 解答时应写出文字 说明、证明进程或演算步骤． 15．(本小题总分值14分)
在△ABC 中，a ，b ，c 别离为角A ，B ，C 所对边的长．假设a cos B ＝1，b sin A ＝2，且A －B ＝π
4．
（1）求a 的值； （2）求tan A 的值．
16．(本小题总分值14分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知底面ABCD 为矩形，且 AB ＝2，BC ＝1，E ，F 别离是AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．
17．(本小题总分值14分)
某市2016年新建住房面积为500万m 2，其中安置房面积为200万m 2.打算以后每一年新建住房
面积比上一年增加10% ，且安置房面积比上一年增加50万m 2. 记2016年为第1年.
（第16题）
（1）该市几年内所建安置房面积之和第一次不低于3 000万m 2？
（2）是不是存在持续两年，每一年所建安置房面积占昔时新建住房面积的比维持不变？并说明理由.
18．(本小题总分值16分)
已知椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b
+=>>，点A ，B 别离为其左、右极点，点12,F F 别
离为其左、右核心，以点A 为圆心1AF 为半径作圆A ，以点B 为圆心OB 为半径作圆B ．假
设直线l
：y x =
被圆A 和圆B
．
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）已知a =7，问在x 轴上是不是存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B
截得的弦长之比为34
，假设存在，请求出所有点P 的坐标；假设不存在，请说明
理由．
19．（本小题总分值16分）
已知函数()(1)e x f x x k =--（e 为自然对数的底数，e 2.71828≈，k ∈R ）． （1）当0x >时，求()f x 的单调区间和极值；
（2）①假设关于任意[1,2]x ∈，都有()4f x x <成立，求k 的取值范围；
②假设12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x k +<．
20．(本小题总分值16分)
给定数列{}n a ，记该数列前i 项12i a a a ，，，中的最大项为i A ，该数列后n i -项 12i i n a a a ++，，，中的最小项为i B ，i i i d A B =-（1231i n =-，，，，）
． （1）关于数列：3，4，7，1，求出相应的123d d d ，，；
（第21—A 题）
（2）假设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意*n ∈N ，有21(1)33n n S a n λλ-=-++，
其中0λ>且1λ≠． ① 设23(1)
n n b a λ=+
-，判定数列{}n b 是不是为等比数列；
② 假设数列{}n a 对应的i d 知足：1i i d d +>对任意的正整数1232i n =-，，，，恒
成立，
求λ的取值范围．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．假设多做，那么按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP ||||1x y +=10103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎣
⎦M
C ．选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕ
ϕϕ=⎧>>⎨
=⎩
为参数），且 曲线C
上的点M 对应的参数π3ϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐
标系．
（1）求曲线C 的一般方程；
（2）假设12π(,)(,)2A B ρθρθ+，是曲线C 上的两点，求221211ρρ+的值．
D ．选修4－5：不等式选讲
已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求12a ＋1＋2
b ＋1 的最小值．
22．【必做题】此题总分值10分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.
（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值.
23．【必做题】此题总分值10分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．
设a ＞b ＞0，n 是正整数，A n ＝1n ＋1(a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋a 2b n －2 ＋ab n －
1＋b n ) ，B n
＝(a ＋b 2)n ．
（1）证明：A 2＞B 2；
（2）比较A n 与B n （n ∈N*）的大小，并给出证明．
题图
B
C
D A 1 B 1
C 1
第22题图
2017年高考模拟试卷(5)参考答案
一、填空题
1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．2
9． 6．充分没必要要． 7．4． 8．76
． 9．10．
10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1
()()3f f αβ==（βα≠），那么=+βα
▲ ．
10．76π．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，因此
()()3π222332
αβππ+++=⨯， 因此76
αβπ+=．
11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．
作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数
y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点．
12．12．由2AB AC AO +=可得OB OC +=0，即BO OC =，因此圆心在BC 上，且AB AC ⊥．
注意到||||=2AB AO =，因此ππ,,4,36B C BC AC ====，因此12CA CB ⋅=．
13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a
==，则1x y xy ++=，
1a
b c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，因此2x y ++≥a b c
+的最大值
． 14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[1
2，1]）的图象为C ．若是任何斜率不小于1的直线与C 都最多有
一个公共点，那么a 的取值范围是 ▲ ．
14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都最多有一个公共点，也即x ∈[1
2，1]时，曲线()y f x =上
任意两点连线的斜率都小于1，因此()1f x '≤在x ∈[1
2，1]上恒成立．由2()31f x a ax '=-≤，
即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，因此
142
a -≤≤．
二、解答题
15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①
又a cos B ＝1， ②
①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 因此a ＝3（负值已舍）；
（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B
＝2，即tan B ＝2，
因为A －B ＝π
4
，
因此tan A ＝tan(B ＋π
4)＝tan B ＋tan
π
41－tan B tan
π4 ＝1＋21－2
＝－3－22．（14分）
16．证：（1）方式1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .
因为F 为PC 的中点，因此FM ∥CD ，且FM ＝1
2
CD .
因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，
因此EA ∥CD ，且EA ＝1
2
CD .
因此FM ∥EA ，且FM ＝EA .
因此四边形AEFM 为平行四边形．因此EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 因此EF ∥平面P AD .
方式2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .
因为四边形ABCD 为矩形，因此AD ∥BC ， 因此∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，因此△CEB ≌△NEA . 因此CE ＝NE .
又F 为PC 的中点，因此EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 因此EF ∥平面P AD .
方式3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ . 在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，
因此AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .
因此四边形AEQD 为平行四边形， 因此EQ ∥AD .
又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 因此EQ ∥平面P AD .(2分)
因为Q 、F 别离为CD 、CP 的中点， 因此FQ ∥PD .
又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，因此FQ ∥平面P AD .
又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，因此平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，因此EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .
在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，
E 为AB 的中点，因此DA AE ＝CD
DA
＝ 2.
又∠DAE ＝∠CDA ，因此△DAE ∽△CDA ， 因此∠ADE ＝∠DCA .
又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 因此∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .
因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，因此PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，因此PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 因此DE ⊥平面P AC ，
又DE ⊂平面PDE ，因此平面P AC ⊥平面PDE .
17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和第一次不低于3 000万m 2， 依题意，每一年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦
m 2，
则(1)
200502
n n n -+
⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.
答：8年内所建安置房面积之和第一次不低于3 000万m 2.
（2）依题意，每一年新建住房面积是以500为首项，为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占昔时新建住房面积的比为()p m ， 则11
20050(1)
3()500(10.1)10 1.1
m m m m p m --+-+=
=⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，
13410 1.110 1.1m m
m m -++=⨯⨯，解得7m =.
答：第7年和第8年，所建安置房面积占昔时新建住房面积的比维持不变. ·····14分 18．解：（1）别离过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ， 由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112
a AA BB ==，
因为圆A 以1AF 为半径，因此半径为c ，被直线l
截得的弦长为
圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l
截得的弦长为因为直线l
：y =被圆A 和圆B
，
==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）. 因为c e a =，因此所求的离心率为34
,
（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34
，
设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =
-, 直线截圆A 所得的弦长为
, 直线截圆B 所得的弦长为
34
=
=,
化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），
由（1）离心率为34，得22169c a =，
即方程（*）为0)1)(49(002
=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(
-；
当
10-=x 时，||6||8k k ⎧
<⎪⎨<
⎪⎩k <
<，
当49
0-=x 时，||42||56k k
⎧<⎪⎨<
⎪⎩k <<,
即有无数条直线；
故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．
19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．
（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．
（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；
∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值．
（2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<，
因为e 0x >，因此41e x x x k --<
，即41e x
x k x >--对任意[1,2]x ∈恒成立， 记4()1e
x x
g x x =--，那么4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=
， 因为[1,2]x ∈，因此()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，
故2max
228e 8()(2)1e e g x g -==-=．因此实数k 的取值范围为22e 8
(,)e
-+∞．
②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知，
0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，
又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．
不妨设121<<<+x k x k ，现在2x k >，12->k x k ，
故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设
()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()k
x x
x k x k x k -+-=---<e e e ， 2()e ()()e e k x
x
x k h x x k -'=--22()()k x x x k --=
e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，
故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ． 20．解：（1）111312A B d ===，，；
222413A B d ===，，；
333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分
（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，因此11a =；
当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，那么1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)3n n n a a a λλλ--=-++，即123
n n a a λ-=+， 因此11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣
⎦．
……………………………6分 因为112313(1)3(1)
b a λλλ-=+
=--， 因此当13λ≠时，数列{}n b 知足1
n n b
b λ-=（2n ≥），
即数列{}n b 是以313(1)
λλ--为首项，λ为公比的等比数列；
当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分
② 由①知，当13
λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；
当13λ=时，23(1)n a λ=--． (10)
分
又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，， {}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，．
由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，
因此由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．
因此{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立，
即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠． (12)
分
因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，
因此1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．
当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 现在10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；
当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，
现在10i i d d +-<，符合1i i d d +>．
综上所述，λ的取值范围是()
113
，． ……………………………………………………16分
第II 卷（附加题，共40分）
21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，因此∠PAB ＝∠ACB ．
因为PD ∥AC ，因此∠EDB ＝∠ACB ， 因此∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．
又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分
21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭对应的变换作用
下取得的点为(,)x y ''，那么0010103x
x y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，因此003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分 因此曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭对应的变换作用下取得的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为122
2233⨯⨯= .……10分
21C ．解：（1
）将M 及对应的参数3
π
ϕ=
代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕ
ϕϕ=⎧>>⎨
=⎩为参数）
，
得2cos 3
sin 3a b ππ
⎧
=⎪⎪=，因此42a b =⎧⎨=⎩，因此曲线1C 的一般方程为
221164x y +=. ……4分
（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 116
4
ρθ
ρθ
+
=，将12(,),(,)2
A B π
ρθρθ+代
入 得
222211cos sin 1
164
ρθ
ρθ
+
=，
222222sin cos 1
16
4
ρθ
ρθ
+
=，因此
2
212
11
5
16
ρρ+=
. ……10分
21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，因此(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，
从而(12a ＋1＋2
b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2
≥5＋2
2b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)
2b ＋2
＝9． …………………… 6分 因此12a ＋1＋2b ＋1
≥9
5．
当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2
，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝2
3 时，
12a ＋1＋2b ＋1
取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，
因此别离以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，成立空间直角坐标系，
则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,
因为D 是BC 的中点，因此(1,2,0)D ，……………………………………………………2分
（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)A C A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，
则1111100
n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取1113
01x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
因此平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 因此111111
335
cos ,n DB n DB n DB ⋅<>=
=⋅， 因此直线1DB 与平面11A C D 5分
（2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，
则2112100
n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取2220
32x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，
因此121212
130
cos ,n n n n n n ⋅<>=
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⋅， 二面角111B A D C --．……………………………………………10分
23．（1）证明：0)(12
1
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-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；
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n n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，
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n n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2
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