深圳光明中英文书院选修1-2第三章《推理与证明》测试题(答案解析)

一、选择题
1．观察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102.根据规律，可以得到
（ ）
A ．1205
B ．1225
C ．1245
D ．1275
2．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，已知正整数m 经过6次运算后才得到1，则m 的值为（ ） A ．5或32
B ．10
C ．64
D ．10或64
3．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电
B ．猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=
D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 4．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A ．高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人
B ．猜想数列
111
,,122334
⋯⋯⨯⨯⨯的通项公式为()1(1)n a n N n n +=
∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π= D ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质
5．苏格兰数学家纳皮尔发明了对数表，这一发明为当时的天文学家处理“大数运算”做出了巨大贡献.法国著名数学家和天文学家拉普拉斯曾说过：“对数倍增了天文学家的寿命.”比如在下面的部分对数表中，16，256对应的幂指数分别为4，8，幂指数和为12，而12对应的幂4096，因此162564096.⨯=根据此表，推算51216384⨯=（ ）
x 21 22 23 24 25
2x y = 2097152 4194304 8388608 16777216 33554432
A ．524288
B ．8388608
C ．16777216
D ．33554432
6．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1，3， 6，10
记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数，按从小到大的
顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测:19b =（ ） A ．1225 B ．1275 C ．2017 D ．2018
7．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的
一张相同的牌:
黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9
老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:
甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌. 甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（ ） A ．梅花3
B ．方块7
C ．红心7
D ．黑桃Q
8．定义两个运算：12
12
a b a lgb ⊗=+
，132a b lga b -
⊕=+．若925M =⊗，1
227
N =，则(M N += ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
9．下列说法中正确的个数是（ ）
①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；
②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±；
④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x
”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有1
2m x x +≥”.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，则2AB BD BC =⋅.拓展到空间，在四面体A BCD -中，AD ⊥面ABC ，点O 是
A 在面BCD 内的射影，且O 在BCD ∆内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是
（）
A ．2
ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ B ．2
ABD BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅ C ．2ADC DOC BOC S S S ∆∆∆=⋅ D ．2
BDC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅
11．观察下列各式：553125=，6515625=，7578125=，…，则20195的末四位数字为
（ ） A ．3125
B ．5625
C ．0625
D ．8125
12．若点()000,P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>内，则被0P
所平分的弦所在的直线方程是22
0000
2222x x y y x y a b a b
+=+，通过类比的方法，可求得：被()1,1P 所平分的双曲线2
214
x y -=的弦所在的直线方程是（ ） A ．430x y -+= B ．450x y +-= C ．450x y --=
D ．430x y ++=
二、填空题
13．如图，把数列{}n 中的所有项按照从小到大，从左到右的顺序写成如图所示的数表，且第k 行有12k -个数.若第k 行从左边起的第s 个数记为(),k s ，则2019这个数可记为______.
14．已知等差数列{}()
*
n a n N ∈中，若10100a =，则等式
()121220192019,*n n a a a a a a n n N -+++=++
+<∈恒成立；运用类比思想方法，
可知在等比数列{}()
*
n b n N ∈中，若1001b =，则与此相应的等式_________________恒成
立.
15．在三角形内，我们将三条边的中线的交点称为三角形的重心，且重心到任一顶点的距
离是到对边中点距离的两倍类比上述结论：在三棱锥中，我们将顶点与对面重心的连线段称为三棱锥的“中线”，将三棱锥四条中线的交点称为它的“重心”，则棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的______倍.
16．甲、乙、丙三个同学同时做标号为A 、B 、C 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下面说法正确的是_____.
（1）三个题都有人做对；（2）至少有一个题三个人都做对；（3）至少有两个题有两个人都做对．
17．对于大于1的自然数m ，其三次幂可用奇数按一下方式进行“分裂”：3235,=+
3337911,413151719,.=++=+++⋅⋅⋅对此，若3m 的“分裂数”中有一个是2017，则
m=_____.
18．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.
19．已知111
()1......23f n n
=+
+++,(n ∈+N )经计算得()()35(2),42,822f f f =
>>,()()7
163,322
f f >>，由此可推得一般性结论为______________．
20．刘徽是中国古代最杰出的数学家之一，他在中国算术史上最重要的贡献就是注释《九章算术》，刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”，体现了无限与有限之间转化的思想方法，这种思想方法应用广泛.如数
式
12122+
+
+⋅⋅⋅
是一个确定值x (数式中的省略号表示按此规律无限重复)，该数式的值可以用如下方法求得：令原式x =，则1
2x x
+=，即2210x x --=，解得12x =正数得21x =
.666+++⋅⋅⋅_____________.
三、解答题
21．已知非零向量a b ，，且a b ⊥，求证：2a b a b
+≤+．
22．（13725 （2）用数学归纳法证明：()()()2
*1427311n n n n n N ⨯+⨯+
++=+∈.
23．（文科学生做）已知数列{}n a 满足65
2n n
n a +=
.
（1）求1a ，2a ，3a 的值，猜想并证明{}n a 的单调性； （2）请用反证法证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．
24．已知数列 {}n a 满足：112a =，()()11
312111n n n n a a a a ++++=--，()101n n a a n +<≥；数列 {}n b 满足：()2211n n n b a a n +=-≥．
（1）求数列 {}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）证明：数列 {}n b 中的任意三项不可能成等差数列．
25．已知数列{}n a 满足11
2n n
a a +=
-（n *∈N ），且10a =. （1）计算234,,a a a 的值，并猜想n a 的表达式； （2）请用数学归纳法证明你在（1）中的猜想.
26．已知动圆过定点(0,2)F ，且与定直线:2L y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；
（2）若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过(0,2)F ， 分别以A 、B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，证明:AQ BQ ⊥.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据所给等式，归纳出规律，利用求和公式即可求解. 【详解】
因为13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，13+23+33+43=(1+2+3+4)2，
1+2+ (50)
(150)50
2
+⨯=1275. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.
2．D
解析：D 【分析】
通过运算结果逐步倒推出m 的值即可.
【详解】
根据题意，正整数m 经过6次运算后得到1，利用倒推思想推理如下：
乘以2得2，减1再除以3得0（不符合题意），故正整数m 经过5次运算后得到2； 经同理推算，过4次运算后得到4；
经过3次运算后得到8或1（不符合题意，舍去）； 经过2次运算后得到16； 经过1次运算后得到32或5； 所以正整数m 的值为64或10. 故选：D. 【点睛】
本题考查了归纳推理的应用，进行逆向推理验证是解题关键，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解． 【详解】
根据合情推理与演绎推理的概念，可得:
对于A 中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理； 对于B 中， 猜想数列
111
122334
⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=
∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；
对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理； 对于D 中， 由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C 项，故选C ． 【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
4．C
解析：C 【分析】
根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可. 【详解】
对于A ，高二年级有12个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理；
对于B ，归纳出{}n a 的通项公式，是归纳推理；
对于C ，半径为r 的圆的面积2πS r =，则单位圆的面积πS =，演绎推理； 对于D ，由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，为类比推理.故选C ． 【点睛】
该题考查的是有关演绎推理的判断，涉及到的知识点有判断一个推理是合情推理还是演绎推理，关键是要明确合情推理和演绎推理的定义，属于简单题目.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
先通过阅读，理解题意后再进行简单的合情推理即可得解. 【详解】
由上表可知：95122=，14163842=，
即512，16384对应的幂指数分别为9，14，幂指数和为23，而23对应的幂为8388608，因此512163848388608⨯=． 故选B ． 【点睛】
本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题.
6．A
解析：A 【分析】
通过寻找规律以及数列求和，可得n a ，然后计算21k b -，可得结果. 【详解】
根据题意可知：12...n n a =+++ 则()12
n a n n +=
由14254556
,,22
b b a a ⨯⨯==
== 394109101011,22
b b a a ⨯⨯==
== …
可得()215512
k k k b --=
所以()
19510510112252
b ⨯⨯⨯-==
故选：A 【点睛】
本题考查不完全归纳法的应用，本题难点在于找到21k b -，属难题，
7．B
【分析】
根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可． 【详解】
解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】
本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．
8．B
解析：B 【分析】
根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案． 【详解】
根据题意，12
1
925925352
M lg lg =⊗=+
=+， 1
3112()232727
N lg -===+，
则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。

故选：B ． 【点睛】
本题考查对数运算与指数运算，关键是理解题目中所给的运算，考查基本运算求解能力．
9．C
解析：C 【分析】
根据命题的否定形式可判断出命题①的正误；利用反证法可得出命题②的真假；设等比数列的公比为q ，利用等比数列的定义和等比中项的性质可判断出命题③的正误；利用特称命题的否定可判断出命题④的正误. 【详解】
对于命题①，由于1x y ==可表示为1x =且1y =，该结论的否定为“1x ≠或1y ≠”，所以，命题①正确；
对于命题②，假设1a ≤且1b ≤，由不等式的性质得2a b +≤，这与题设条件矛盾，假设不成立，故命题②正确；
对于命题③，设等比数列1-、x 、y 、z 、4-的公比为q ，则
201
y
q =>-，0y ∴<. 由等比中项的性质得()()2
144y =-⨯-=，则2y =-，命题③错误； 对于命题④，由特称命题的否定可知，命题④为真命题，故选C.
本题考查命题真假的判断，涉及反证法、等比中项以及特称命题的否定，理解这些知识点是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
10．A
解析：A 【分析】
由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可求解，得到答案． 【详解】
由已知在平面几何中，若ABC ∆中，,,AB AC AE BC E ⊥⊥是垂足，则
2AB BD BC =⋅，
类比这一性质，推理出：若三棱锥A BCD -中，AD ⊥面,ABC AO ⊥面BCD ，O 为垂足，
则2
ABC BCD BCO S S S ∆∆∆=⋅． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了类比推理的应用，其中类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想），着重考查了推理能力，属于基础题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
先求895,5，寻找周期性规律，结合周期可求. 【详解】
895390625,51953125,==可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，
201950443=⨯+，所以20195的末四位数字为8125，故选D.
【点睛】
本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.
12．A
【解析】 【分析】
通过类比的方法得到直线方程是22
0000
2222x x y y x y a b a b
-=-，代入数据得到答案.
【详解】
0P 所平分的弦所在的直线方程是
22
0000
2222x x y y x y a b a b +=+，通过类比的方法， 可求得双曲线的0P 所平分的弦所在的直线方程是
22
0000
2222x x y y x y a b a b
-=- 代入数据()1,1P ，得到：1
143044
x y x y -=-⇒-+= 故答案选A 【点睛】
本题考查了类比推理，意在考查学生的推理能力.
二、填空题
13．【分析】前行用掉个自然数由可判断2019所在行即可确定其位置【详解】因为前行用掉个自然数而即2019在11行中又第11行的第1个数为则2019为第11行的第个数即第996个数即故答案为：【点睛】本题 解析：()11,996
【分析】
前k 行用掉1124221k k -+++⋯+=-个自然数，由101121201921-<<-可判断2019所在行，即可确定其位置. 【详解】
因为前k 行用掉1124221k k -+++⋯+=-个自然数， 而101121201921-<<-，
即2019在11行中，又第11行的第1个数为1021024=， 则2019为第11行的第201910241-+个数，即第996个数， 即11k =，996s =， 故答案为：()11,996． 【点睛】
本题主要考查了归纳推理，等比数列求和，属于中档题．
14．【分析】根据等差数列的性质有等比数列的性质有类比即可得到结论【详解】已知等差数列中由等差数列的性质得等比数列且有等比数列的性质得所以类比等式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质结合
解析：()*12
112
199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈
【分析】
根据等差数列的性质有12019101020n n a a a +-+==，等比数列的性质有2
1199100=1n n b b b +-=，
类比即可得到结论. 【详解】
已知等差数列{}()
*
n a n N ∈中，
12122019n n a a a a a a -+++=+++ 1122019n n n a a a a a +-++
=++
++,
12201820190n n n a a a a ++-∴++++=.
10100a =,由等差数列的性质得， 1201922018101020n n n n a a a a a +-+-+=+=
==.
等比数列{}()
*
n b n N ∈，且1001b =，有等比数列的性质得，
211992198100==
=1n n n n b b b b b +-+-=.
所以类比等式()*121220192019,n n a n a a a a a n N -++
+=++
+<∈，可得
()*12112
199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.
故答案为：()*12112
199199,N n n n b b b b b b b n n --=<∈.
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，得出结论,属于中档题.
15．3【分析】由类比推理及线线平行的判定及运用可得：在中MN 分别为AEBE 的三等分点则即即从而可得解【详解】在四面体ABCD 中E 为CD 的中点连接AEBE 且MN 分别为的重心ANBM 交于点G 在中MN 分别为A
解析：3 【分析】
由类比推理及线线平行的判定及运用可得：在ABE 中，M ，N 分别为AE ，BE 的三等分点，则
EM EN 1
AE BE 3
==，即MN //AB ，AB 3MN =，即AG 3GN =从而可得解. 【详解】
在四面体ABCD中，E为CD的中点，
连接AE，BE，且M，N分别为ACD，BCD的重心，AN，BM交于点G，
在ABE中，M，N分别为AE，BE的三等分点，则EM EN1 AE BE3
==，
所以MN//AB，AB3MN
=，
所以AG3GN
=，
故棱锥重心到顶点的距离是到对面重心距离的3倍，
故答案为3
【点睛】
本题考查了类比推理及线线平行的判定及运用，属中档题．
16．③【分析】运用题目所给的条件进行合情推理即可得出结论【详解】若甲做对乙做对丙做对则题无人做对所以①错误；若甲做对乙做对丙做对则没有一个题被三个人都做对所以②错误做对的情况可分为这三种：三个人做对的都
解析：③
【分析】
运用题目所给的条件，进行合情推理，即可得出结论.
【详解】
若甲做对A、B，乙做对A、B，丙做对A、B，则C题无人做对，所以①错误；
若甲做对A、B，乙做对A、C，丙做对B、C，则没有一个题被三个人都做对，所以②错误.
做对的情况可分为这三种：三个人做对的都相同；三个人中有两个人做对的相同；三个人每个人做对的都不完全相同，分类可知三种情况都满足③的说法.
故答案是：③.
【点睛】
该题考查的是有关推理的问题，属于简单题目.
17．45【解析】【分析】归纳可知的三次方就是个连续奇数相加且从2开始这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现由此规律即可找出的分裂数中有一个是2017时的值【详解】由归纳可得从到正好用去从3开始的连续
解析：45
【解析】
【分析】
归纳可知，n 的三次方就是n 个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出3m 的“分裂数”中有一个是2017时n 的值. 【详解】
由333235,37911,413151719,.=+=++=+++⋅⋅⋅， 归纳可得，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共
()()21234 (2)
m m m +-++++=
个，
2017是从3开始的第1008个奇数，
当44m =时，32到344，用去从3开始的连续奇数共
()()4424498192
+-=个，
当45m =时，32到345，用去从3开始的连续奇数共
()()45245110092
+-=个，
所以3m 的“分裂数”中有一个是2017，则45m =，故答为45. 【点睛】
本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
18．【解析】分析：先找到数的分布规律求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数每一列的数字都是从大大小按排列的且每一列的数字个数等于列数继而求出答案详解：由排列的规律可得第n 列结束的时候排了个数每一列的数字
解析：【解析】
分析：先找到数的分布规律，求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案． 详解：由排列的规律可得，第n 列结束的时候排了()1
123112
n n n +++⋯+-=+个数． 每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数， 而第13列的第一个数字是
()1
13131912
⨯⨯+=，第14列的第一个数字是()1
141411052
⨯⨯+=， 故100应在第14列． 故答案为：14
点睛：此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题
19．【解析】分析：根据已知中的等式：我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系归纳推断后即可得到答案详解：观察已知中等式：得f （4）＞2f （16）＞3…则f （2n ）≥（n ∈N*）故答案为：f （2n ）
解析：2
(2)2
n
n f +≥
【解析】
分析：根据已知中的等式：()()()352,42,822f f f =
>>,()()7
163,322
f f >>我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案． 详解：观察已知中等式： 得 ()3
22
f =
， f （4）＞2，
()582
f >
， f （16）＞3， …， 则f （2n ）≥
2
2
n +（n ∈N *） 故答案为：f （2n ）≥
2
2
n +（n ∈N *） 点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.
20．3【分析】根据题干中给出的提示利用和自身的相似性列出方程求解【详解】由题得令原式则化简为解得：故答案为：3【点睛】本题考查了知识迁移能力是一道中档题
解析：3 【分析】
根据题干中给出的提示，利用和自身的相似性列出方程求解。

【详解】
由题得，令原式x =，则x =()2
600x x x --=≥，解得：3x =.
故答案为：3 【点睛】
本题考查了知识迁移能力，是一道中档题.
三、解答题
21．证明见解析 【分析】
a b ⊥⇔0a b ⋅=．同时注意，22
||a a =，将要证式子等价变形，用分析法即可获证．
【详解】
解：∵a b ⊥∴0a b ⋅=， 要证
2a b a b
+≤+，
只需证2a b a b +≤
+，
只需证(
)2
2
22
|2|22a a b b a a b b
++≤+⋅+，
只需证2222
|2|22a a b b a b ++≤+，
只需证22||2a b a b +-≥0，即2
()0a b -≥， 上式显然成立， 故原不等式得证． 【点睛】
用分析法证明，即证使等式成立的充分条件成立．注意应用条件a b ⊥⇔0a b ⋅= 和22||a a =．
22．（1）见解析；（2）见解析. 【分析】
（1）利用分析法逐步平方得出2125<成立，可证明出原不等式成立；
（2）先验证1n =时等式成立，然后假设当()
n k k N *
=∈时等式成立，可得出
()()
2
1427
311k k
k k ⨯+⨯+
++=+
，然后再等式两边同时加上()()1
34k k ++，并在
所得等式右边提公因式，化简后可得出所证等式在
1n k =+时成立，由归纳原理得知所证
不等式成立. 【详解】
（1
<
(
2
2
<成立，
即证明1020+<5<成立，即证明2125<成立， 因为2125<<
（2）①当1n =时，314n +=，等式左边144=⨯=，右边2124=⨯=，等式成立； ②设当n k =时，等式成立，即()()2
1427311k k k k ⨯+⨯+++=+，
则当1n k =+时，
()()()()()()
2
1427310311341134k k k k k k k k ⨯+⨯+⨯+
+++++=++++()()()()2
2134111k k k k k k =++++=+++，
即1n k =+成立， 综上所述，()()2
1427311n n n n ⨯+⨯+++=+．
【点睛】
本题考查分析法与数学归纳法证明不等式以及等式问题，证明时要熟悉这两种方法证明的基本步骤与原理，考查逻辑推理能力，属于中等题. 23．(1) 123111723,,248
a a a ===，猜想该数列为单调递减数列，证明见解析. (2)见解析. 【解析】
分析：（1）由题可直接计算1a ，2a ，3a 的值，根据数值的增减性可猜想单调性；（2）反证法证明，先假设结论的反面成立，然后根据假设结合题设找出矛盾即可得原命题正确. 详解： （1）计算得，猜想该数列为单调递减数列.
下面给出证明：，
因为
，故
，所以
恒成立，即数列为单调递减数列.
（2）假设{}n a 中存在三项成等差数列，不妨设为,,p q r a a a ()p q r <<这三项， 由（1）证得数列{}n a 为单调递减数列，则
，即
6565652222q p r
q p r +++⨯
=+， 两边同时乘以，则等式可以化为，（※）
因为，所以
均为正整数，故()1
652
r q q -++⋅与()652
r p
p -+⋅为
偶数，
而65r +为奇数，因此等式（※）两边的奇偶性不同，故等式（※）不可能成立， 所以假设不成立，故数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．
点睛：考查反证法，对反证法的运用难点在于矛盾的得出，通常等式的矛盾一般根据奇数偶数，有理数无理数，整数小数等矛盾进行研究，属于常规题. 24．（1） ()11
321211.4343n n n n n a b ---⎛⎫⎛⎫=--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，（2） 见解析
【解析】
分析：（1）化简可得()
2
212113
n n a a +-=
-，令 2
1n n c a =-，从而判断}{n c 是首项为 134c =，公比为 23 的等比数列，从而得到1
2
32143n n a -⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
，从而求出{}n a ，{}n b 的通
项公式；
（2）用反证法证明即可.
详解：（1） 由题意可知()
2
2
1211,3
n n a a +-=
- 令 2
1n n c a =-，则12,3
n n c c +=
又 2
11314c a =-=
，则数列 }{n c 是首项为 134c =，公比为 2
3
的等比数列，即1
32,43n n c -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
故1
1
22323211,4343n n n
n
a a --⎛⎫
⎛⎫
-=⇒=- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
又 1102a =>，10n n a a +<，故()11n n a -=- 11
22
132321211.434343n n n n n n b a a --+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-
⋅--⋅=⋅⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2） 假设数列 {}n b 存在三项 r b ，s b ，t b ()r s t << 按某种顺序成等差数列， 由于数列 {}n b 是首项为
14，公比为 2
3
的等比数列， 于是有 r s t b b b >>，则只有可能有 2s r t b b b =+ 成立．所以
1
1
1
1212122434343s r t ---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
①
两边同乘 11432t r --⨯，化简得
32223t r t r s r t s ----+=⨯②
由于 r s t <<，所以 ② 式左边为奇数，右边为偶数，故 ① 式不可能成立，导致矛盾． 故数列 {}n b 中任意三项不可能成等差数列．
点睛：本题考查了等比数列与等差数列的综合应用，同时考查了反证法，用反证法证明要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的． 25．(1) 234123
,,234a a a ====.猜想1n n a n
-=（n *∈N ）.(2)见解析. 【解析】
试题分析：(1) 根据题意，求解234,,a a a 的值，由此可猜想数列的通项公式； (2)利用数学归纳证明即可. 试题
(1) 23412311113
,,22224
a a a a a a =
====---. 由此猜想1
n n a n
-=
（*n N ∈）. (2)证明：①当1n =时，10a =，结论成立；
②假设n k =（1k ≥，且*k N ∈）时结论成立，即1
k k a k
-=
. 当1n k =+时，
()11111
1212k k k a k a k k
++-=
==--+-，
∴当1n k =+时结论成立，
由①②知：对于任意的*n N ∈，1
n n a n
-=恒成立. 26．（1）28x y =（2）详见解析 【解析】
试题分析：（I ）由题意可得：动圆圆心到定点（0，2）与到定直线y=-2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程即可；（II ）设AB ：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用切线的几何意义即可求得过抛物线上A 、B 两点的切线斜率关系，从而解决问题 试题
（1）依题意，圆心的轨迹是以(0,2)F 为焦点，:2L y =-为准线的抛物线 因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是28x y = （2）
,AB x 直线与轴不垂直: 2.AB y kx =+设1122(,),(,).A x y B x y
22,{1.
8
y kx y x =+=由可得28160x kx --=，
128x x k +=，
抛物线方程为
所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是
1114k x =
，2214
k x =. 121212111
14416
k k x x x x ⋅=
⋅=⋅=- 所以，AQ BQ ⊥ (注:也可设
,再由
,设
则直线AQ:,联立直线和抛物线方程,由直线和抛物线相切得
可得1114k x =
，同理可得221
4
k x =，从而证）
考点：1.轨迹方程；2.直线与抛物线相交的相关问题。