第二节 与三角形有关的角(含答案)...八年级数学 学而思

第二节与三角形有关的角
1.三角形内角和定理
(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形两边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于ο0且小
180ο
于.
180ο
(2)三角形内角和定理：三角形内角和是.
注：①三角形内角和定理的证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角，在转化中借助平行线．
②有时需要设未知数利用列方程的方法进行求解．
2.三角形的外角
(1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫三角形的外角．
(2)性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内
角。

360ο
(3)三角形外角和定理：三角形的外角和等于.
1.三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数：
(1)直接根据两已知角求第三个角．
(2)依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角．
(3)在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
2.三角形外角的性质应用
(1)已知外角和与它不相邻两个内角中的一个，可求“另一个”；
(2)可证明一个角等于另两个角的和；
(3)利用它可作为中间关系式证明两角相等；
(4)利用它证明角的不等关系．
3.几何模型
例1．△ABC 中如图1-2-1所示，B ∠的外角平分线的与C ∠外角平分线相交于点P ，且AP 为BAC ∠的角平分线，
若,80ο
=∠BPC 则BAP ∠的度数为
121-- 221-- 321--
检测1.如图1-2-2所示，OC OB ,是ACB ABC ∠∠,的角平分线，,120ο
=∠BOC 则=∠A
ο60.A ο120.B ο110.C ο40.D
例2．如图1-2-3所示，在△ABC 中，BC AD BAC ⊥=∠,90ο
于点AE D ,平分,DAC ∠,50ο
=∠B 则=∠BAD
=∠AEC
检测2.如图1- 2-4所示，D 是△ABC 的BC 边上的一点，,80,ο
=∠∠=∠ADC BAD B .70ο
=∠BAC 则=∠B
=∠C
421--
例3．（重庆涪陵区期末）如图1-2-5所示，线段CD AB ,相交于点O ，连接,,CB AD 我们把形如图1-2-5的图形称
之为“8字形”，如图1-2-6所示，在图1-2-5的条件下，DAB ∠和BCD ∠的平分线AP 和CP 相交于点P ，
并且与CD ．AB 分别相交于M ，N.试解答下列问题：
(1)在图1-2-5中，请直接写出D C B A ∠∠∠∠,,,之间的数量关系；
521-- 621--
(2)仔细观察，在图1-2-6中“8字形”的个数是 (3)在图1-2-6中，若,36,40ο
ο
=∠=∠B D 试求∠P 的度数；
(4)如果图1-2-6中D ∠和B ∠为任意角时，其他条件不变，试问P ∠与B D ∠∠,之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结论即可）
检测3．如图1—2-7所示，=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A
例4．已知，,90ο
=∠AOB 点C ．D 分别在射线OB OA ,上，CE 是ACD ∠的平分线，CE 的反向延长线与CDO ∠
的平分线交于点F ．
(1)当ο
50=∠OCD （图1-2-8），试求.F ∠
(2)当C ，D 在射线OB OA ,上任意移动时（不与点0重合）（图1-2-9），F ∠ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出.F ∠
821-- 921--
检测4.（河北张家港市期末）在△ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于点D.
(1)如图1—2- 10所示，若BC AE C B ⊥=∠=∠,38,62ο
ο
于点E ，则=∠EAD
(2)如图1-2 -11所示，若点F 是AD 延长线上的一点，
BDF BAF ∠∠,的平分线交于点,,x B G =∠ο,y C =∠ο
则G ∠的度数为 （用x ，y 表示）．
1021-- 1121--
第二节 与三角形有关的角
7
21--
(建议用时:30分钟)
实战演练
1．（广东东莞期末）如图1-2-1所示，在△ABC 中，,30,40ο
ο
=∠=∠c B 延长BA 到D ，则CAD ∠的度数为( )
ο110.A ο80.B ο70.C ο60.D
2．（四川乐山中考）如图1-2-2所示，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若,35ο
=∠B ,60ο
=∠ACE 则=∠A
ο35.A o B 95. ο85.C ο75.D
3．（四川南江县期末）在三角形的三个外角中，锐角最多有( )个．
0.A 1.B 2.C 3.D
4．（湖北黄冈期末）如图1-2-3所示，D 是△ABC 中AC 边上的一点，E 是BD 上一点，则对A ∠∠∠,2,1之间的关系描述正确的是( )
21.∠<∠<∠A A A B ∠<∠<∠12. A C ∠>∠>∠21. D ．无法确定
5．（重庆江津区期末）三角形中，三个内角的比为,6:3:1它的三个外角的比为( )
6:3:1.A 1:3:6.B 4:7:9.C 9:7:4.D
121-- 221-- 321--
6．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( )
C B A A ∠=∠+∠. C B A B ∠=∠=∠3
1
21. 3:2:1::.=∠∠∠C B A C C B A D ∠=∠=∠32.
7．如图1-2-4所示，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ．XZ 分别经过点B ，C ，△ABC 中，,30ο
=∠A 则=∠+∠ACX ABX
o A 60. ο45.B ο30.C ο25.D
8．如图1-2-5所示，2,1∠∠是△ABC 的外角，已知A ∠=∠+∠,26021ο
的度数是
9．如图1-2-6所示，在△ABC 中，AE BC AD ,⊥平分,BAC ∠若,202,301ο
ο
=∠=∠则=∠B
421-- 521-- 621--
10.如图1-2-7所示，,32,28,50ο
ο
ο
=∠=∠=∠ACO ABO A =∠BOC 度．
11．（河南沈丘县期末）如图1-2-8所示，AD 是△ABC 边BC 上的高，BE 平分ABC ∠交AD 于点 E.若
.
70
,
60ο
=
∠
=
∠BED
C o则
=
∠ABC ，=
∠BAC
12.（江西九江期末）如图1-2-9所示，七星形中+
∠
+
∠
+
∠
+
∠D
C
B
A=
∠
+
∠
+
∠G
F
E
7
2
1-
-8
2
1-
-9
2
1-
-10
2
1-
-
13.（山东黄岛区期末）如图1-2 - 10所示，在△ABC中，1
∠是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE.求证：.2
1∠
>
∠
14.（山东定陶县期末）一个零件的形状如图1-2 -11所示，按规定A
∠应等于C
B
o∠
∠,
,
90应分别等于ο
21和,
32ο现测量得,
148O
BDC=
∠你认为这个零件合格吗，为什么．
15.如图1—2- 12所示，△ABC中，,
BC
AD⊥AE平分BAC
∠交BC于点E.
,
70
,
30
)1(o
C
B=
∠
=
∠ο求EAD
∠的大小；
(2)若B
C
EAD
C
B∠
-
∠
∠
∠
<
∠与
2,是否相等？若相等，请说明理由．
16.如图1-2 - 13所示，在四边形ABCD中，E，F分别是两组对边延长线的交点，EG，FG分别平分,
,DFC
BEC∠
∠若,
80
,
60ο
ο=
∠
=
∠ABC
ADC求EGF
∠的度数．
17．（江苏南京校级期末）如图1-2 - 14所示．
(1)如图①，DBC
∠与ECB
∠分别为△ABC的两个外角，试探究A
∠与ECB
DBC∠
+
∠间存在怎样的数量关系直接写出答案；
(2)如图②，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，=
∠
-
∠
=
∠C
2
,
130
1则
ο
11
2
1-
-
12
2
1-
-
13
2
1-
-
(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③所示，在△ABC 中，CP BP ,分别平分外角,,ECB DBC ∠∠则P ∠ 与A ∠有何数量关系？请直接写出答案
(4)如图④，在四边形ABCD 中，CP BP ,分别平分外角,,FCB EBC ∠∠则P ∠与,A ∠D ∠有何数量关系？为什么（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）?
1421--
18．如图1-2 - 15所示．
(1)如图①，在△ABC 中，AD 平分,40,,ο
=∠⊥∠B BC AE BAC ,70ο
=∠C 则DAE ∠度数为
(2)如图②，在△ABC 中，若把,BC AE ⊥变成点F 在DA 的延长线上，,BC FE ⊥其他条件不变，则DFE ∠的
度数为
(3)如图③，若把△ABC 变成四边形ABEC ，把BC AE ⊥变成EA 平分,BEC ∠其他条件不变，DAE ∠的度数是
否变化？说明理由，
1521--
拓展创新
19.如图1-2- 16所示，在△ABC 中，CBA CAB C ∠∠=∠,,90ο
的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，则
=∠ADE
1621-- 1721-- 1821--
拓展1．如图1—2 - 17所示，△ABC 中，ACB ABC ∠∠,的三等分线交于点E ，D ．若,118,132ο
ο
=∠=∠BGC BFC
则A ∠的度数为( )
ο65.A ο66.B ο70.C ο78.D
拓展2．如图1—2 - 18所示,BE 平分CF ABD ,∠平分CF BE ACD ,,∠交于点G ，若BDC ∠,110,140ο
ο
=∠=BGC
则=∠A
拓展3．如图1-2 - 19所示，在△ABC 中，.α=∠A 在图①中C B ∠∠,的角平分线交于点,1O 则可计算得
;2
1
901α+=∠οC BO 在图②中，设C B ∠∠,的两条三等分角线分别对应交于,O ,21O 则=∠C B 2O
请你猜想，当C B ∠∠,同时被n 等分时，)1(-n 条等分角线分别对应交于,,,,121-n O O O Λ如图③所示，则
=
∠-C BO n 1
（用含n 和α的代数式表示）．
1921--
极限挑战
20.如图1-2- 20所示，在ABC Rt ∆中，,31,90DAB DAF C ∠=
∠=∠ο
=∠EBG ,3
1
EBA ∠则射线AF 与BG( ) A ．平行 B ．延长后相交 C ．反向延长后相交 D ．可能平行也可能相交
2021--
答案
11。