高中数学选修2-1第二章圆锥曲线检测题(二)

选修2-1第二章圆锥曲线检测题
时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
1．对抛物线y 2＝4x ，下列描述正确的是( )
A ．开口向上，焦点为(0,1)
B ．开口向上，焦点为⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，116
C ．开口向右，焦点为(1,0)
D ．开口向右，焦点为⎝ ⎛⎭
⎪⎫116，0 2．若方程mx 2＋(2－m )y 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．(0,1)
3．椭圆x 2m 2＋y 2
3－m ＝1的一个焦点为(0,1)，则m ＝( )
A ．1 B.－1±172
C ．－2或1
D ．－2或1或－1±172
4．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±2x C ．y ＝±12x
D ．y ＝±2
2x
5．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9＝
1的( )
A ．焦距相等
B ．实半轴长相等
C ．虚半轴长相等
D ．离心率相等
6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 2
9＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标和渐近线方程分别为( )
A ．(±4,0)，y ＝±3
3x B ．(±4,0)，y ＝±3x C ．(±2,0)，y ＝±33x D ．(±2,0)，y ＝±3x
7.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 25－y 2
20＝1 B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 225－3y 2
100＝1
D.3x 2100－3y 2
25＝1
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )
A ．1 B.3
2 C ．2 D ．3
9．椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 10．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP
→＝4FQ →，则|QF | ＝( )
A.72 B ．3 C.5
2 D ．2
11．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( )
A.2
B.32
C. 3
D.6
2 12．已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2
b 22
＝1(a 2>b 2>0)的焦点相同且a 1>a 2，给出如下四个结论：
①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点； ②a 21－a 22＝b 21－b 2
2；③a 1a 2>b 1b 2；④a 1－a 2<b 1－b 2.
其中，所有正确结论的序号是( )
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．双曲线x 216－y 2
9＝1的两条渐近线的方程为________． 14．抛物线焦点在y 轴上，且被y ＝1
2x ＋1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为________．
15．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y
2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，
过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)
17．(10分)若已知椭圆x 210＋y 2m ＝1与双曲线x 2
－y 2b ＝1有相同的焦
点，又椭圆与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
103，y ，求椭圆及双曲线的方程．
18．(12分)已知椭圆C 短轴的一个端点为(0,1)，离心率为22
3. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线y ＝x ＋b 交椭圆C 于A ，B 两点，若|AB |＝63
5，求b .
19．(12分)已知抛物线y 2
＝4x ，椭圆x 29＋y 2
m ＝1，它们有共同的焦
点F 2，并且相交于P ，Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值；(2)P ，Q 两点的坐标；(3)△PF 1F 2的面积．
20.(12分)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点
为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
21.(12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .
(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；
(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．
22.(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .
(1)求轨迹C 的方程．
(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)．求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．
第二章单元质量评估(二)
1．C 抛物线y 2＝4x 开口向右，焦点为(1,0)，因此选C. 2．D 将椭圆方程变形为x 21m ＋y 2
12－m ＝1，当焦点在x 轴上时，则
有1m >12－m
>0，解得0<m <1.
3．C
{ 3－m >m 2 (3－m )－m 2＝1得m ＝－2或1.
4．B 由离心率为3，可知c ＝3a ，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±b
a x ＝±2x ，故选B.
5．A 因为0<k <9，所以方程x 225－y 29－k ＝1与x 225－k －y 29＝1均表
示焦点在x 轴上的双曲线．双曲线x 225－y 2
9－k ＝1中，其实轴长为10，
虚轴长为29－k ，焦距为225＋9－k ＝234－k ；双曲线x 225－k －y 2
9＝
1中，其实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为225－k ＋9＝234－k .因此两曲线的焦距相等，故选A.
6．B 本题考查了椭圆和双曲线的相关性质．
易知椭圆焦点(±4,0)，双曲线离心率e ＝c
a ＝2，c ＝4，可知a ＝2. 又因为a 2
＋b 2
＝c 2
，可得b ＝23，双曲线的渐近线方程：y ＝±b a x ，
即y ＝±3x .故选B.
7．A 由于双曲线焦点在x 轴上，且其中一个焦点在直线y ＝2x ＋10上，所以c ＝5.
又因为一条渐近线与l 平行，因此b
a ＝2，可解得a 2＝5，
b 2＝20，故双曲线方程为x 25－y 2
20＝1，故选A.
8．C 设A 点坐标为(x 0，y 0)，则由题意，得S △AOB ＝|x 0|·|y 0|＝ 3.抛物线y 2
＝2px 的准线为x ＝－p 2，所以x 0＝－p 2，代入双曲线的渐近线
的方程y ＝±b a x ，
得|y 0|＝bp 2a .由⎩⎨⎧
c a ＝2，a 2＋b 2＝c 2，
得b ＝3a ，所以|y 0|＝3
2
p .所以S △AOB ＝34p 2
＝3，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)．
9．B 设P 点坐标为(x 0，y 0)，则x 204＋y 20
3＝1，
kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，于是kP A 1·kP A 2＝y 2
0x 20－22＝3－34x 20x 20－4＝－3
4.
故kP A 1＝－341
kP A 2
.
∵kP A 2∈[－2，－1]，∴kP A 1∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
38，34.故选B.
10．B 如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p ＝|FM |＝4. 过Q 作QH ⊥l 于H ，则|QH |＝|QF |. 由题意，得△PHQ ∽△PMF ，
则有|HQ ||MF |＝|PQ ||PF |＝34， ∴|HQ |＝3.∴|QF |＝3.
11．C 不妨设P 是双曲线右支上的一点，根据定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a .∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，又|F 1F 2|＝2c ，且c >a ，∴△PF 1F 2的最小内角为∠PF 1F 2＝30°，根据余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝(4a )2＋(2c )2－(2a )22·4a ·2c ＝32，又e ＝c a ，即c ＝ae 代入化简可得e ＝ 3.
12.C 由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 2
2，而a 1>a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 2
2，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 21＋a 22，则a 1b 2，a 2b 1的大小关
系不确定，a 1a 2
>b 1
b 2
不正确，即③不正确；∵a 1>b 1>0，a 2>b 2>0，∴a 1＋
a 2>
b 1＋b 2>0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2<b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④，故应选C.
13．y ＝±3
4x
解析：由题意可知所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 14．x 2＝4y 或x 2＝－20y
解析：设抛物线方程为x 2＝my ，联立抛物线方程与直线方程y ＝12x ＋1并消元，得2x 2－mx －2m ＝0，所以x 1＋x 2＝m
2，x 1x 2＝－m ，所以5＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122·(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2，把x 1＋x 2＝m 2，x 1x 2＝－m 代入解得m ＝4或－20.所以抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝－20y .
15.52
解析：由双曲线方程可知，它的渐近线方程为y ＝b a x 与y ＝－b
a x ，
它们分别与x －3y ＋m ＝0联立方程组，解得A ⎝
⎛⎭⎪⎫
－am a －3b ，－bm a －3b ，B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
－am a ＋3b ，bm a ＋3b . 由|P A |＝|PB |知，可设AB 的中点为Q ，
则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a －3b ＋－am a ＋3b 2，－bm a －3b ＋bm a ＋3b 2
，
由PQ ⊥AB ，得k PQ ·k AB ＝－1，
解得2a 2＝8b 2＝8(c 2－a 2
)，即c 2
a 2＝54.
故c a ＝52. 16．x 2＋3
2y 2＝1
解析：设B 在x 轴上的射影为B 0，由题意得，|B 0F 1|＝13|F 1F 2|＝2c
3，
得B 0坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫－5c 3，0，即B 点横坐标为－5c
3.设直线AB 的斜率为k ，
又直线过点F 1(－c,0)，
∴直线AB 的方程为y ＝k (x ＋c )．
由⎩⎨⎧
y ＝k (x ＋c )，x 2＋y 2
b 2＝1
得(k 2＋b 2)x 2＋2ck 2x ＋k 2c 2－b 2＝0， 其两根为－5c
3和c ，由韦达定理得
⎩⎪⎨⎪⎧
－5
3c ＋c ＝－2ck 2k 2＋b 2
，
－53c ×c ＝k 2c 2－b 2k 2
＋b 2
，
解之，得c 2
＝13，∴b 2＝1－c 2
＝23. ∴椭圆方程为x 2
＋32y 2
＝1.
17．解：由椭圆与双曲线有相同的焦点，得10－m ＝1＋b ，即m ＝9－b .①
又点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
103，y 在椭圆、双曲线上， 得⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝89m ， ②
y 2
＝b 9. ③
解由①，②，③组成的方程组，得m ＝1，b ＝8，
∴椭圆方程为x 210＋y 2＝1，双曲线方程为x 2－y
2
8＝1.
18．解：(1)由题意可设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)． 由已知b ＝1，∴a 2－
c 2＝1. ∵e ＝c a ＝22
3，∴a 2＝9，b 2＝1. ∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 2
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧
y ＝x ＋b ，
x 29＋y 2
＝1，
得x 2＋9(x ＋b )2－9＝0,10x 2＋18bx ＋9b 2－9＝0，
∴x 1＋x 2＝－9
5b ，x 1x 2＝9b 2－910， ∴|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2
8125b 2
－4×9b 2－910＝635，
∴81b 225－18b 2
－185
＝5425，解得b ＝2. 19.解：(1)∵抛物线方程为y 2＝4x ， ∴2p ＝4，∴p
2＝1，
∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，
∴9＝m ＋1，∴m ＝8.
(2)解方程组⎩⎨⎧
y 2
＝4x ，
x 29＋y 28＝1，
得⎩⎨⎧
x ＝32，y ＝6，
或⎩⎨⎧
x ＝32
，y ＝－6，
∴点P ，Q 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫32，6，⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，－6.
(3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y P |＝1
2×2×6＝ 6.
20．解：(1)根据c ＝a 2－b 2
及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2
a ，2
b 2＝3a
c . 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ， 解得c a ＝12，c
a ＝－2(舍去)．
故C 的离心率为1
2.
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1
与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2
a ＝4，
即b 2＝4a . ①
由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |， 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，
则⎩⎪⎨⎪⎧
2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，
即⎩⎨
⎧
x 1＝－3
2c ，y 1＝－1，
代入C 的方程，得9c 24a 2＋1
b 2＝1. ②
将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋1
4a ＝1.
解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.
21．解：设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.
因为点C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，13在椭圆上，
所以169a 2＋19
b 2＝1.解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2
＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，
所以直线AB 的方程为x c ＋y
b ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x c ＋y b ＝1，
x 2
a 2＋y 2
b 2＝1，
得⎩⎨⎧
x 1＝2a 2c a 2＋c
2，
y 1
＝
b (
c 2
－a 2
)
a 2
＋c 2
，
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
2a 2c a 2＋c
2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.
又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)
a 2＋c 2－0
2a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)
3a 2c ＋c
3，直线AB 的斜率为－b
c ，且F 1C ⊥AB ，
所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－b c ＝－1. 又b 2
＝a 2
－c 2
，整理得a 2
＝5c 2
.故e 2
＝1
5.
因此e ＝5
5.
22．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2
＝|x |＋1，
化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ，x ≥0，0，x <0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)． 依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y －1＝k (x ＋2)，
y 2＝4x ，
可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① ⅰ)当k ＝0时，此时y ＝1.
把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝1
4.
故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，1.
ⅱ)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则
由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1
k . ③
(a)若⎩⎪⎨⎪⎧
Δ<0，x 0<0，
由②③解得k <－1，或k >12.
即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与
C 2有一个公共点，
故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．
(b)若⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧
Δ>0，x 0≥0，
由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－1
2≤k <0.
即当k ∈⎩⎨⎧
⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．
当k ∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧
⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共
点．
(c)若⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ>0，
x 0<0，
由②③解得－1<k <－12，或0<k <12.
即当k ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，
故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．
综合ⅰ，ⅱ可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，＋∞∪{0}时，直线l
与轨迹C 恰好有一个公共点；
当k ∈⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫－12，0∪⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；
当k ∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．。