【高一函数培优班】6含参不等式恒成立问题

第六讲含参不等式恒成立问题
定理：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切；
max ()()f x x I f x αα<∈⇔<对一切恒成立。

参数和主元：题中给定区间的字母为主元，求取值范围的未知量当做参数。

例1：对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，因为[1,1]a ∈-，所以把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2
>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。

解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。

当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。

当2≠x 时，应有⎩
⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或。

故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ 。

例2：对于满足40≤≤p 的所有实数p ，使不等式342
-++p x px x ＞恒成立的x 的取值范围。

1
3-＜或＞
x x 1.若不等式()
1122--x m x ＞对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的取值范围。

112-+<X<132
+2.已知不等式0122
＜+--m x mx ；（1）若对所有的实数x ，不等式恒成立，求m 的取值范围；
（2）设不等式对满足2≤m 的一切m 的值都成立，求x 的取值范围。

3.已知不等式442-++m x mx x ＞；（1）若对于40≤≤m 的所有实数m ,不等式恒成立，求实数x 的取值范围。

（2）若对于1≤x 的所有实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

秒杀秘籍：一次函数型：
y
例3：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2）01≠-m 时，只需⎩
⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。

例4．设22)(2
+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。

秒杀秘籍：二次函数在区间的恒成立问题()2;
f x ax bx c =++O x
y x -1
例5、若[]2,2x ∈-时，不等式2
3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

A ．1b <-或2b >
B ．1b -≤或2b ≥
C ．12b -<<
D ．12
b -≤≤5.若函数2()320f x x ax =-≤在(02)，内恒成立，则实数a 的取值范围是（
）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03
a <<6.若函数2()320f x x ax =-≤的解集为(02)，，则实数a 的取值范围是（
）A ．3a ≥B ．3a =C ．3a ≤D ．03
a <<7.已知函数2()4220f x x ax x =+-≥在区间[]11-，恒成立，则实数a 的取值范围为______．
8.若函数2()4220f x x ax x =+-≤在区间(2)-∞-，与(2)+∞，上恒成立，则实数a 的取值范围为______．
9.已知函数()2321f x x ax =+-()R a ∈若()0f x ≤在()1,0上恒成立，求a 的最大值10.已知函数2()21f x ax x =-+．已知且()0f x ≥在区间(01]，上恒成立，求a 的取值范围．
11.已知函数()221f x x ax =-+-．⑴当3a =时，求函数()f x 的单调递增区间；⑵若()0f x ≤在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，求实数a 的取值范围．
12.已知函数()1f x bx =-，()2
g x ax =若2-=a 时，函数()()()0h x f x g x =-≥在区间()0,+∞恒成立，求b 的取值范围；
b<0成立
b≥0时0≤b≤13.已知函数()1f x x =
，()g x ax b =+若2-=a 时，(1)函数()()()0h x f x g x =-≥在区间()0,+∞恒成立，求b 的取值范围；(2)在（1）的结论下，设函数[]2(),1,2,x x bx x ϕ=-∈求函数()x ϕ的最小值。

b≤2
14.若不等式210x ax ++≥对一切[)0,x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围。

（1）ɑ>0成立
（2）ɑ≤0，-2≤ɑ≤2-2≤ɑ≤0
15.已知函数()228f x x x =--；（1）求不等式()0f x <的解集；（2）若对一切2x >，均有()()215f x m x m ≥+--成立，求实数m 的取值范围．
（1）m≤0，m,3，m,0
（2）m>0，-6≤m≤2,0<≤≤2
16.已知二次函数()2f x ax bx c =++，且不等式()2f x x >-的解集为（1，3）．
（1）若方程()60f x a +=有两个相等的根，求()f x 的解析式；（2）若()()()2131f x a x a x ≥--+对()1,2x ∈恒成立，求a 的取值范围．。