初三平行四边形练习题

初三平行四边形练习题
1. 证明以下命题：
命题一：对角线相等的四边形是平行四边形。

证明：
设四边形ABCD的对角线AC和BD相等。

连接AD和BC两条线段。

由ABCD为四边形可知，∠BAC+∠CDA=180°，
∠CBD+∠ADB=180°。

结合思想：如果两条平行线被一条横线截断，那么在这两条平行线的两侧，对应的内角之和是180°。

∠BAC=∠CBD，∠CDA=∠ADB。

因此，∠BAC+∠CDA=∠CBD+∠ADB，即
∠BAC+∠CDA+∠CBD+∠ADB=180°。

根据内角和定理可知，四边形ABCD是平行四边形。

命题二：平行四边形对角线的交点将对角线等分。

证明：
设平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点为O。

连接OB和AD两条线段。

由平行四边形的性质可知，∠DOC和∠BOC是对应角，∠DOA和∠BOA是内错角。

∠DOC+∠BOC=180°，∠DOA+∠BOA=180°。

∠DOC=∠BOC，∠DOA=∠BOA。

根据角度相等的性质可知，∠DOC=∠BOC=∠DOA=∠BOA。

因此，AO=OD，BO=OC。

根据长度相等的性质可知，对角线AC和BD被交点O等分。

2. 现有平行四边形PQRS，已知SP=4cm，QR=6cm，角SQR的度数为125°，求平行四边形PQRS的面积和周长。

解：
根据平行四边形的性质可知，对边相等，即PQ=RS=6cm。

因为平行四边形的对角线相等，所以PS=QR=6cm。

根据平行四边形的性质可知，对角线交点将对角线等分，所以
SQ=RP=3cm。

根据平行四边形的性质可知，对应角相等，所以
∠QSP=∠SRP=125°。

由三角形内角和定理可知，∠SPR=180°-∠SRP-∠RPS=180°-125°-∠RPS=55°。

因为∠SRP和∠SPR是线外角，所以
∠SRP=∠SPR+∠RPS=55°+∠RPS。

根据平行四边形的性质可知，对应角互补，所以∠RPS=180°-
∠SRP=180°-55°=125°。

∠QSP和∠RPS是相邻补角，所以∠RPS=180°-∠QSP=180°-
125°=55°。

根据正弦定理可知，SP/QP=QR/RP，4/6=6/RP，RP=9cm。

根据正弦定理可知，SQ/PQ=QR/PS，3/6=6/6，SQ=PQ=6cm。

根据正弦定理可知，∠SPQ=∠RPS，所以∠SPQ=∠RPS=55°。

根据正弦定理可知，SQ/SP=sin∠SPQ/sin∠RPS，3/4=sin55°/sin55°，SQ=3cm。

根据正弦定理可知，RP/RQ=sin∠RPS/sin∠SPQ，9/6=sin55°/sin55°，RP=9cm。

根据正弦函数可知，sin55°≈0.8192。

所以，平行四边形PQRS的面积为
S=QP*SP*sin∠SPQ=6*4*0.8192≈19.63cm²。

平行四边形PQRS的周长为P=2*(QP+SP)=2*(6+4)=20cm。

3. 已知平行四边形ABCD的边长为8cm，对角线AC的长为10cm，求平行四边形ABCD的对角线BD的长。

解：
设平行四边形ABCD的对角线BD的长为x。

根据平行四边形的性质可知，对角线相等，即AC=BD=10cm。

根据平行四边形的性质可知，对边相等，即AB=CD=8cm。

根据勾股定理可知，AB²+BC²=AC²，8²+BC²=10²。

解方程得，BC²=10²-8²=36，BC=6cm。

根据勾股定理可知，AD²+DC²=AC²，AD²+8²=10²。

解方程得，AD²=10²-8²=36，AD=6cm。

根据勾股定理可知，BD²=AD²+AB²，BD²=6²+8²=100。

解方程得，BD=√(6²+8²)=√100=10cm。

所以，平行四边形ABCD的对角线BD的长为10cm。

通过以上练习题的解答，我们更加熟悉了平行四边形的性质和相关定理，并且学会了应用这些定理进行证明和计算。