人教版七年级数学相交线与平行线之平移

相交线与平行线之平移
一、知识梳理
知识点一 平移的相关概念
1．在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫作平移。

如图，△ABC 沿着直线MN 方向平移到△A B C '''，点A 与点A '叫作对应点，点B 、C 与点B C ''、也分别是对应点；线段AB 与线段A B ''，线段BC 、CA 与线段B C C A ''''、也分别是对应线段；∠A 与∠A '是对应角，∠B 、∠C 与∠B C ''、∠也分别是对应角。

△ABC 平移的方向也可以看成是由点A （或B 、C ）到点A '（或B C ''、）的方向，平移的距离就是线段AA '（或BB CC ''、）的长度。

注：图形平移的方向不限于是水平或竖直的。

【重点剖析】（1）平移是一种运动形式，是图形变换的一种情况；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向；二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据，二者缺一不可；
（3）图形的平移是指图形的整体平移，即经过平移后的图形与原来的图形相比只是位置发生了变化，其余什么都没有改变，即平移不改变图形的大小和形状。

知识点二 平移的特征
1、平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

2、连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。

如图，△ABC 平移到△A B C '''的位置，则有：（1）A B ''∥AB ，B C ''∥BC ，A C ''∥AC ；
（2）A B ''＝AB ，B C ''＝BC ，A C ''＝AC ；（3）∠A '＝∠A ，∠B '＝∠B ，∠C '＝∠C 。

注：“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者不是原来的图形与平移后的图形上本身存在的，它是通过平移后连接产生的；而后者本身就存在于原来的图形与平移后的图形中
【重点剖析】（1）“连接各组对应点的线段”所指的方向实际上就是平移的方向，线段长度就是平移的距离；
（2）对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，这个基本特性既可作为平移的性质，又可作为画平移图形的依据。

知识点三平移作图的步骤
平移作图是平移基本性质的应用，其主要依据是“对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等”。

在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连。

（1）定：确定平移的方向和距离；
（2）找：找出表示图形的关键点；
（3）移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
（4）连：按原图形顺次连接对应点。

一、专题精讲
专题一、平移的识别
例1 在以下现象中：①用打气筒打气时气筒里活塞的运动；②直线传送带上，瓶装饮料的移动；③在平直的公路上行驶的汽车；④随风摆动的旗帜；⑤钟摆的摆动；⑥摇动的大绳；⑦从楼顶自由落下的球（球不旋转）。

属于平移的有（）
A、2个
B、3个
C、4个
D、5个
方法点拨：判断是不是平移，主要看对应点所连的线段是否是平行（或在同一条直线上）且相等，或根据平移的定义，看变化前后图形的形状、大小是否发生变化，位置是不是沿直线方向改变的。

变式训练
如图所示，四幅汽车标志设计中，能通过平移得到的是（）
A B C D
专题二、利用平移的性质进行计算
cm的直角三角形ABC沿BC方向平移至三角形DEF的位置，平移距离是BC长的2例2如图，面积为122
倍，则梯形
ABFD的面积是。

（例2）（触类旁通）触类旁通
如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为。

专题三、与图形重叠部分的面积问题
例3 如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，将长方形ABCD沿着AB的方向平移cm能使平移后的长方形EFGH与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为242
cm。

方法点拨：用平移前后连接对应点的线段的长等于平移的距离来解决问题。

触类旁通
如图，将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠部分的面积为32时，它移动的距离AA′等于。

专题四、平移作图问题
例4 （1）如图，四边形ABCD的顶点A平移到了
A′处，作出四边形ABCD平移后的图形。

方法点拨：画平移后图形的方法：首先分析题目要求，找出平移的方向和距离，再分析已知图形，确定构成
（2）如图所示，经过平移，△ABC的顶点
B移到了点E，作出平移后的三角形。

图形的关键点，然后根据平移的方向和距离平移每个关键点，最后连接所作的各个关键点，并标出相应字母，得到平移后的图形。

触类旁通
如图，将△ABC先向右平移12个单位长度得到△A′B′C′，再将△A′B′C′向下平移5个单位长度得到△A″B″C″。

△ABC是否可以直接平移得到△A″B″C″？如果可以，是沿哪个方向平移的？（图中每个小正方形的边长均为1个单位长度）
二、专题过关
1．下列右边四幅图案中能通过平移最左边的图案得到的是（）
2．如右图，△ABC经过怎样的平移得到△DEF（）
A．先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．先向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度
3．一个图形从一个位置平移到另一个位置，下列说法中错误的是（）
A．图形上任意一点的移动方向都相同B．图形上任意一点的移动距离都相同
C．图形上也可能存在不动点D．图形上任意一对对应点连线的长度相等
4．如果将一条长为6cm的线段AB向左平移4cm得到线段PQ，则PQ＝，AP＝。

5．已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，把它沿AB方向平移6cm，平移后两个正方形重叠部分的面积是。

（第5题）（第6题）6．已知三角形ABC，点D是三角形ABC平移后点A的对应点，请作出平移后的图形并写出图中相等的线段、平行的线段和相等的角。

一、平移的应用之长度问题
1、某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，其剖面图如下图所示，楼梯高2m，水平长度为3m，则至少需要长的地毯。

（第1题）（第2题）
2、夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如上图所示的矩形荷塘上架设小桥。

若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为。

二、平移的应用之面积问题
如图，在宽为20m，长为30m的长方形花园中，要修建两条同样宽的长方形道路，余下部分进行绿化。

根据所给数据，求出绿化部分的面积。

三、平移的应用之线段和最短问题
如图，A、B两城市之间有一条国道，国道的宽为a，现要在国道上修建一座垂直于国道的立交桥，使通过A、B两城市路程最近，请设计建桥的位置，并说明理由。

学法升华
一、知识收获
1、平移的概念与性质
（1）概念；（2）平移的要素；（3）平移的特征；（4）平移的画法。

二、方法技巧总结
1、画平移后图形的方法：
首先分析题目要求，找出平移的方向和距离，再分析已知图形，确定构成图形的关键点，然后根据平移的方向和距离平移每个关键点，最后连接所作的各个关键点，并标出相应字母，得到平移后的图形。

课后作业
1．下列运动现象中，属于平移现象的是（）
A．汽车上雨刮器的运动B．跷跷板的运动
C．摩天轮的运动D．人在滑滑梯上的运动
2．下列说法中不正确的是（）
A．平移不改变图形的大小和形状B．经过平移，图形的对应线段、对应角分别相等
C．平移中，图形上每个点移动的距离可以不同
D．经过平移，连接图形对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等
3．如图，为保持原图案模式，应在空白处补上下图中的（）
4．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，
则所用铁丝的长度关系是（）
5．假定有一排蜂房，形状如下图，一只蜜蜂准备从左下角向右方（包括右上、右下）爬行到相邻的蜂房（只能向右爬），如：蜜蜂爬到1号蜂房的方法有：蜜蜂→1号；蜜蜂→0号→1号，共2种不同的方法。

那么蜜蜂从最初位置爬到4号蜂房的方法共有种。

（第5题）（第6题）6．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置。

若∠CAB＝50°，∠ABC＝100°，则∠CBE ＝。

7．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为。

（第7题）（第8题）（第9题）8．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝7cm，沿着与AB垂直的方向把△ABC平移8cm得到△DEF，则阴影部分的面积为。

9．如图，已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距离为3，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为。

10．如图，△ACE平移得到△BDF，AD＝m，BC＝n（m＞n＞0），则平移距离为。

（用含m、n的代数式表示）
A．甲种方案所用铁丝最长
B．乙种方案所用铁丝最长
C．丙种方案所用铁丝最长
D．三种方案所用铁丝一样长
（第10题）（第11题）11．植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个完全相同的四边形图案，每相邻两个四边形的平移距离为d厘米，如上图所示。

已知每个四边形图案水平方向的两端点距离为30cm。

（1）若d＝26cm，且该纹饰要231个四边形图案，则该纹饰的总长度为cm；
（2）当d＝20cm时，若保持（1）中纹饰总长度不变，则需要四边形图案个。

12．按要求作图
（1）如图1，已知△ABC，点C平移到点F，作出△ABC平移后的△DEF
（图1）（图2）（2）如图2，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形
13．某商场准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米180元，主楼梯道的宽为3m，其侧面如下图所示，则买地毯的费用至少是多少？
14．如图，M、N两个村庄分别位于一条河流的两岸，现两个村庄准备合作修建一座与河岸垂直的过河大桥，
大桥建在何处才能使由M到N的路线最短？请作图示意出来并说明理由。