第14讲 椭圆(教师版)-2023年新高二暑期数学衔接(新人教版)

第14讲椭圆
【学习目标】
1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义，标准方程及简单几何性质
3.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
4.了解椭圆的简单应用
【基础知识】
一、椭圆的概念
平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数：(1)若a >c ，则集合P 为椭圆；(2)若a ＝c ，则集合P 为线段；(3)若a <c ，则集合P 为空集．二、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a >b >0)图形
性质
范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a
对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0)
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b
焦距|F 1F 2|＝2c 离心率e ＝c
a ∈(0,1)a ，
b ，c
a 2＝
b 2＋
c 2
的关系
【解读】
1.利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．
2.注意长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c 的两倍.
3.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．
4.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
5.利用椭圆几何性质的注意点及技巧①注意椭圆几何性质中的不等关系
在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系．②利用椭圆几何性质的技巧
求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．三、焦点三角形
椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)中：
①当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；
②S ＝b 2tan θ
2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc.
四、焦点弦(过焦点的弦)
焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l min ＝2b 2
a .
五、弦长公式
AB 为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦(斜率为k )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则
弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝
1＋1
k
2|y 1－y 2|
六、求椭圆的离心率问题的一般思路
求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，构造关于a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程或不等式，求椭圆离心率或取值范围七、椭圆中的最值问题1.椭圆中距离的最值问题的解法
①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e )或利用均值不等式；②根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．2.椭圆中常见的最值问题
(1)椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。

(2)椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。

(3)椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。

(4)椭圆上的点P 到定点A 的距离与它到椭圆的一个焦点F 的距离的
e 1倍的和||1
||PF e
P A +的最小值(e 为椭圆的离心率)，可通过
e d
PF =|
|转化为d P A +||(d 为P 到相应准线的距离)最小值，取得最小值的点是A 到准线的垂线与椭圆的交点。

(5)以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。

(6)椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。

(7)椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。

(8)椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。

(9)椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。

八、椭圆中点弦问题
1.根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.
2.点差法:在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.九、椭圆中的一个定值问题
若点P 是椭圆C 上任意一点，点M ，N 是椭圆C 上关于过原点对称的两点，且不与点P 重合，则22
PM PN
k a
k b ⋅=-。

【考点剖析】
考点一：求椭圆的方程
例1．(2022学年广东省广州市育才中学高二下学期期中)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦
点分别为12,,F F P 是椭圆上一点，1210PF PF +=，则椭圆C 的标准方程为(
)
A ．221
2510
x y +=B ．22
1
2520x y +=C ．22
1
3020+=x y D ．22
1
4530
+=x y 【答案】B
【解析】根据椭圆定义可得12210PF PF a +==，所以5a =，由离心率5
c e a ==，所以c =，
由2
2
2
25520b a c =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为22
12520
x y +=.故选B
考点二：椭圆定义的应用
例2．已知椭圆22
143
x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于M ，N 两点，若1F MN △的
周长为()
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】D
【解析】由22
1243
x y a +=⇒=.因为M ，N 是椭圆的上的点，1F 、2F 是椭圆的焦点，所以
12122,2MF MF a NF NF a +=+=，因此1F MN △的周长为
1112212248MF MN NF MF MF NF NF a a a ++=+++=+==，故选D
考点三：求椭圆的离心率
例3．(2022学年广东省佛山市南海区高二上学期第一次大测)己知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左
右焦点分别1F 、2F ，过1F 且斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若1290F PF ∠=︒，则该椭圆C 的离心率e =______．
【解析】依题意，令2||2PF m =，在12Rt PFF △中，12tan 2PF F ∠=，则112|,|PF m F F ==，由椭圆定义知
12|2|||3a PF PF m =+=，焦距12|2|c F F ==，所以椭圆C 的离心率为22c c e a a ==考点四：求椭圆离心率的取值范围
例4．(2022学年四川省内江市第六中学高二下学期第一次月考)已知点A 、B 为椭圆
22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的长轴顶点，P 为椭圆上一点，若直线PA ，PB 的斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则
椭圆E 的离心率的取值范围是()
A ．12⎛ ⎝⎭
B ．2⎫
⎪⎪
⎝⎭
C ．41⎛⎫ ⎪ ⎪
⎝⎭
D ．11,43⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【答案】A
【解析】由题得222321,43PA PB
b k e a k ⎛⎫
=-=-∈-- ⎝⋅⎪⎭，所以1,23e ⎛∈ ⎝⎭
，故选A ．考点五：椭圆中的焦点三角形
例5．已知12,F F 分别是椭圆()22
2210x y
a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若
12PF =，则椭圆的离心率为(
)
A
-B ．2C 1
D ．
2
【答案】C
【解析】设2PF m =，则1PF =，由椭圆定义知：
)
12m a =；
12PF PF ⊥ ，2221212PF PF F F ∴+=，即2244m c =，m c ∴=，)
12c a ∴
=
，∴椭圆的离心率1
c e a
=
=.故选C.
考点六：与椭圆有关的最值
例6．(多选)(2022学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末)已知椭圆22
143
x y +=的左､右焦点分
别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则下列说法正确的是()
A ．2ABF 的周长为8
B ．椭圆的长轴长为2
C ．22AF BF +的最大值为5
D ．2ABF 面积最大值为3
【答案】ACD
【解析】由题可知，在椭圆22
143x y +=中，2,1a b c ===，2ABF 的周长为
221148AF AF BF BF a +++==,故A 项正确；椭圆的长轴长为24a =，故B 项错误；
因为228AF BF AB +=-，当且仅当12AB F F ⊥时，AB 最小，代入1x =-，解得3
2
y =±，故3AB =，所
以22AF BF +的最大值为5，故C 项正确；根据椭圆的性质可得，当且仅当12AB F F ⊥时，2ABF 面积最大，故121
32
S AB F F =
⋅=,故D 项正确.故选ACD.
考点七：直线与椭圆
例7．(2022学年江西省临川一中暨临川一博中学高二下学期第月考)已知椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b
+=>>
过点1,2⎛ ⎝⎭
，且离心率为22．(1)求该椭圆的方程；
(2)在x 轴上是否存在定点M ，过该点的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，使得22
11
||||AM BM +为定值？如
果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.
【解析】
(1)222c e a c a == ，22b c =，∴椭圆2222:12x y C c c +=，
将1,2⎛ ⎝⎭
代入可得21c =，故21b =，2
2a =，∴椭圆方程为：2
212x
y +=；
(2)当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，(,0)M n ，联立方程可得：
()222
22
2220220x my n m y mny n x y =+⎧⇒+++-=⎨+-=⎩，()()()
222
2122122Δ242202222mn m n n y y m mn y y m ⎧=-+->⎪⎪
-⎪=⎨+⎪
-⎪
+=⎪+
⎩
1||AM y ∴
，2||BM ，()()2
1212
2222222
12122111111||||11
y y y y AM BM m y y m y y +-⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭为常数，代入韦达定理可知2
2222222222212212mn n m m n m m ---⎛⎫
-⨯ ⎪++⎝⎭+⎛⎫ ⎪
+⎝⎭
，即()()222222242212n m n m n ++-⋅+-为常数，22222423n n n ∴+=-⇒=
，故3n =±，且22113||||AM BM +=，直线l
过定点M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
当直线l 斜率为0时，可检验
22
113||||AM BM +=
也成立，故存在定点M ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
.【真题演练】
1.(2021年新高考全国卷Ⅰ)已知1F ,2F 是椭圆22
:194
x y C +=的两个焦点,点M 在C 上,则12||||MF MF ⋅的最大
值为()
A ．13
B ．12
C ．9
D ．6
【答案】C
【解析】1F ,2F 是椭圆22
:194
x y C +
=的两个焦点,点M 在C 上,12||||6MF MF +=,所以2
1212||||||||(
)92
MF MF MF MF +⋅=,当且仅当12||||3MF MF ==时,取等号,
所以12||||MF MF ⋅的最大值为9．故选C ．
2.(2022学年四川省攀枝花市第七高级中学校高二上学期第一次月考)若方程22
1259
x y k k +=--表示的曲线为
焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为()
A ．()9,25
B ．()()
,925,+-∞∞ C ．()
17,25D ．()
25,+∞【答案】C
【解析】因为方程22
1259
x y k k +=--表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，所以9250k k ->->，解得
1725k <<，所以实数k 的取值范围为()17,25.故选C.
3．(2021年高考全国卷乙)设B 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足
||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是()
A ．2,12⎫
⎪⎪⎣⎭
B ．1,12⎡⎫⎪
⎢⎣⎭
C ．20,2⎛ ⎝⎦
D ．10,2
⎛
⎤ ⎥
⎝
⎦
【答案】C
【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为22
00
221x y a b
+=，222a b c =+，所以
()
()2
2
23422
22
2220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为0b y b -≤≤，当3
2b b c
-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可
得2
2
2a c ≥，即202
e <≤；当32b b c ->-，即22
b c <时，42222max
b PB a b
c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()
2
22
0c b -≤，显然该不等式不成立．故选C ．
4.(2022学年广东省佛山市南海区南海中学高二上学期第一次大测)以两条坐标轴为对称轴的椭圆C 过点P 和
(Q ，两焦点为
12,F F ，T 是C 上的动点，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆C 相
交于A B ，两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是()
A ．12TF F △面积的最大值为2
B ．若直线方程为1y x =+，则点M 坐标为14,33⎛⎫
⎪
⎝⎭
C ．若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为230
x y +-=
D ．12TF TF ⋅
的最大值为2
【答案】ACD
【解析】设椭圆C 方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，
因为椭圆C
过点P
和(Q ，所以2121m n m +=⎧⎨=⎩，解得12
1
4m n ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以，椭圆C 方程为22
124
x y +=，
设(,)T x y
，1211
||2||||22
TF F x c x S x =
⋅=⨯=
，又x ≤
，所以当x =()
12max
2TF F S = ，
故A 正确；若直线方程为1y x =+，联立方程221
12
4y x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩得23230x x +-=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则1223
x x +=-，12124
23y y x x +=++=，
故点M 坐标为12,33⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，故B 选项错误；
设()()1122,,,A x y B x y ，因为点M 坐标为(1,1)，故12122,2x x y y +=+=，
故22221122
1,12424
x y x y +=+=，进而由点差法知
2112211222y y x x x x y y -+=-=--+，即2AB k =-，所以直线方程为()121y x -=--，即230x y +-=，故C 选项正确；
因为12(,),()TF x y TF x y =--=-
，2224x y +=，所以22212·22TF TF x y x =+-=-+
，
因为x ≤≤，所以202x ≤≤，故12TF TF ⋅
的最大值为2，D 项正确．故选ACD
5.(2022学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期中)已知椭圆2
2:14
x M y +=，若P 在椭圆M 上，1F 、2F 是
椭圆M 的左、右焦点，则下列说法正确的有(
)
A ．若12PF PF =，则1230
PF F ∠=
B ．12F PF △
C ．12PF PF -
的最大值为D ．满足12F PF △是直角三角形的点P 有4个
【答案】ABC
【解析】在椭圆M 中，2a =，1b =
，c =
12F F =A 选项，当12PF PF =时，则
122PF PF a ===
，由余弦定理可得222
1122
12112
cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=
=
⋅120180PF F <∠<
，所以，1230PF F ∠=
，A 对；对于B 选项，当点P 为椭圆M 的短轴顶点时，点P 到x 轴的距离最大，
所以，12F PF △
面积的最大值为1
22c b bc ⨯⨯==B 对；对于C 选项，因为2a c PF a c -≤≤+
，即
222PF ≤，所以，(
)12222222PF PF a PF a a c c -=-≤--==，C 对；
对于D 选项，当112PF F F ⊥或212PF F F ⊥时，12PF F 为直角三角形，此时满足条件的点P 有4个，
当P 为直角顶点时，设点()00,P x y ，则220044x y =-
，
()
100F P x y =+
，()
200F P x y =- ，222
120003130F P F P x y y ⋅=-+=-= ，
所以，03y =±
，03
x =±，此时，满足条件的点P 有4个，综上所述，满足12F PF △是直角三角形的点P 有8个，D 错.故选ABC.
6.(2022年新高考全国卷Ⅰ)已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,C 的上顶点为A ,两个焦点为1F ,2F ,离心率为
1
2
．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ,E 两点,||6DE =,则ADE 的周长是________．
【答案】13
【解析】∵椭圆的离心率为1
2
c e a =
=,∴2a c =,∴22223b a c c =-=,∴C 的方程可化为22222
2213412043x y x y c c c
+=+-=，即,不妨设左焦点为1F ,右焦点为2F ,如图所示,∵222AF a OF c a c ===，，,∴23
AF O π
∠=
,∴12AF F △为正三角形,∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ,E 两点,DE 为线段2AF 的垂直平分线,直线DE
的方程：x c =-,代入椭圆方程22234120x y c +-=,
整理化简得221390y c --=,∴
12226461313
c
y D E =-=⨯
=⨯⨯⨯=,∴138c =
,得13
24
a c ==,∵DE 为线段2AF 的垂直平分线,根据对称
性,22AD DF AE EF ==，,∴ADE 的周长等于2F DE △的周长,利用椭圆的定义得2F DE △周长为413a =
.
7.(2022年新高考全国卷II)已知直线l 与椭圆22
163
x y +=在第一象限交于A ,B 两点,l 与x 轴,y 轴分别交于M ,N 两点,
且||||,||MA NB MN ==则l 的方程为_______．
【答案】0
x +-=【解析】解法一：设AB 的中点为E ,因为MA NB =,所以ME NE =,
设()11,A x y ,()22,B x y ,则2211163
x y +=,22
22631x y +=,所以2222
121206633x x y y -+-=,即()()()()12121
212063
x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+,即12
OE AB k k ⋅=-,设直线:AB y kx m =+,0k <,0m >,令0x =得y m =,令0y =得m x k =-,即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭
,()0,N m ,所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,即1222m k m k
⨯=--,
解得2k =-或22k =(舍去),
又MN =,即
MN ==,解得2m =或2m =-(舍去),所以直线2:22
AB y x =-
+,
即0x +-=解法二：()()(),0,0,0,0M m N n m n >>,设AB 的中点为E ,则,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,设()11,A x y ,()22,B x y ,
则2211163x y +=,2222631x y +=,所以2222121206633x x y y -+-=,即()()()()12121
212063
x x x x y y y y -++-+=所以()()()()
1212121212y y y y x x x x +-=--+,即12n n m m ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭,所以2m n =,由23MN =得2223m n +=,两式联立解得22,2m n ==,所以所以直线AB 方程为12
22x
y +=,即2220x y +-=8.(2021年新高考全国卷Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b
+=>>,右焦点为2,0)F ,且离心率为63
．(1)求椭圆C 的方程；
(2)设M ,N 是椭圆C 上的两点,直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ,N ,F 三点共线的充要条件
是||3MN =．
【解析】(1)由题意,椭圆半焦距2c =
63c e a ==,所以3a =又2221b a c =-=,所以椭圆方程为2
213
x y +=；(2)由(1)得,曲线为221(0)x y x +=>,
当直线MN 的斜率不存在时,直线:1MN x =,不合题意；
当直线MN 的斜率存在时,设()()1122,,,M x y N x y ,
必要性：
若M ,N ,F 三点共线,可设直线(:2MN y k x =-即20kx y k --=,
由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>
1
=,解得1k =±,
联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩
可得
2430x -+=,
所以1212,3
24x x x x +=⋅=,
所以
MN ==,
所以必要性成立；
充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=,
由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>
1=,所以2
21b k =+,
联立2213y kx b
x y =+⎧
⎪⎨+=⎪⎩可得()
222136330k x kbx b +++-=,
所以2121222633
,1313kb b x x x x k k -
+=-⋅=++,
所以
MN ==
22413k =
+=化简得()22310k -=,所以1k =±
,
所以1
k b =⎧⎪⎨=
⎪⎩或1
k b =-⎧⎪
⎨=⎪
⎩,所以直线:MN y x
=或y x =-,
所以直线MN 过点F ,M ,N ,F 三点共线,充分性成立；
所以M ,N
,F 三点共线的充要条件是||MN =【过关检测】
1.椭圆以坐标轴为对称轴，经过点()3,0，且长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为(
)
A ．2
2
4199x y +=B ．22
1
369y x +=C ．2
2
4199x y +=或22
1369y x +=D ．224199x y +=或22
4
1
99y x +=【答案】C
【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，由题意过点()3,0，故3a =，32b =，椭圆方程为224199
x y +=，当椭圆的焦点在y 轴上时，3b =，6a =，椭圆方程为221369
y x +=，故选C.2.(2020-2021学年甘肃省平凉市泾川县高二下学期期末)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，直线y x =与直线AB 的交点为P ，若OBP 的面积是OAB 面积的2倍(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为(
)
A ．1
3B ．2
3C D 【答案】C
【解析】由题可知(,0)(0,)A a B b -，，故():b b AB y x a x b a a
=+=+，所以AB 与直线y x =的交点P 坐标为
,ab ab a b a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，由OBP 的面积是OAB 面积的2倍知，2ab a a b =-，23a b =．所以22225,9a c a b e =-=．故选C
3.(2022学年四川省攀枝花市第三高级中学校高二上学期月考)已知p 是椭圆22
:198x y C +=上的动点，且与C 的四个顶点不重合，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若点M 在12F PF ∠的平分线上，且10MF MP ⋅= ，则OM 的取值范围是(
)
A ．()
0,2B ．(0,C ．(0,3-D ．()
0,1【答案】D
【解析】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且10MF MP ⋅= ，即PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因为P 与C 的四个顶点不重合，设(),P m n ，则()0,3m ∈，22198
m n +=
则1193
PF m ==+，所以()12,4PF ∈，又20F N >，所以()20,2F N ∈，()210,12
OM F N =∈
∴||OM 的取值范围是()0,1.故选D.
4.(多选)平面上，动点M 满足以下条件，其中M 的轨迹为椭圆的是(
)
A ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为4
B ．M 到两定点()0,2，()0,2-的距离之和为6
C ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为6
D ．M 到两定点()3,0，()3,0-的距离之和为8
【答案】BD
【解析】因为两定点()0,2，()0,2-的距离为46<，所以选项A 不符合椭圆定义，选项B 符合椭圆定义；因为两定点()3,0，()3,0-的距离为68<，所以选项C 不符合椭圆定义，选项D 符合，故选BD
5.(多选)(2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期3月月考)已知椭圆1C ：2255x y +=，2C ：2211612x y +=，则()
A ．1C ，2C 的焦点都在x 轴上
B ．1
C ，2C 的焦距相等
C ．1C ，2C 没有公共点
D ．2C 离心率2e 比1C 离心率1e 小【答案】BCD
【解析】因为椭圆1C 的标准方程为2215
y x +=，所以1C 的焦点在y 上，所以A 不正确；因为椭圆1C
的焦距为4=，椭圆2C
的焦距为4=，所以B 正确；
联立椭圆1C ，2C 的方程22225511612
x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消除2y ，得21728x -=，所以x 无解，故椭圆1C ，2C 没有公共点，
所以C 正确；因为椭圆1C 的离心率为1e =
=2C 的离心率为212e =，所以12e e >，所以D 正确．故选BCD.6.(多选)(2022学年河北省衡水市第二中学高二下学期期中)如图，已知椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是E 上异于顶点的一动点，圆I (圆心为I )与12PF F △的三边1PF ，12F F ，2PF 分别切于点A ，B ，C ，延长PI 交x 轴于点D ，作1DH PF ⊥交1PF 于点H ，则()．
A ．12PF PF +为定值
B ．12PF PF ⋅为定值
C ．PA 为定值
D ．PH 为定值
【答案】ACD 【解析】A ：根据椭圆的定义，得122PF PF a +=，则A 正确；B ：设122F F c =，12F PF θ∠=，1PF m =，2PF n =，由余弦定理，得222122cos F F m n mn θ=+-，即()()()22221cos c m n mn θ=+-+，解得2
21cos b mn θ
=+，由于P 在E 上运动，所以θ的值也随之变化，从而mn 不是定值，则B 错误；
C ：根据切线长定理和椭圆的定义，得122PA AF PC CF a +++=，且12122AF CF BF BF c +=+=，则22PA PC c a ++=，所以PA PC a c ==-为定值，则C 正确；
D ：连接IA ，则1IA PF ⊥，由()()1212121122
IA PF PF F F DH PF PF ++=+，解得IA a DH a c =+；
由PA IA a PH DH a c ==+，得()()2a c a c b PH a a
+-==为定值，则D 正确．故选ACD ．
7.(2022学年安徽省滁州市部分学校高二下学期4月联考)已知椭圆C 则椭圆C 的长轴长与短轴长的比值为______．
【答案】5
【解析】由题设4c e a ===，解得b a =8.(2022学年江苏省镇江市丹阳高中高二上学期12月月考)已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>的离心率为
2
，过右焦点F 且倾斜角为π4的直线与椭圆C 形成的弦长为85，且椭圆C 上存在4个点M ，N ，P ，Q 构成矩形，则矩形MNPQ 面积的最大值为_________.
【答案】4
【解析】由于
2
c a =，所以2243a c =，222213b a c c =-=，故椭圆方程为：222443x y c +=，设过右焦点F 的直线为y x c =-，与椭圆方程联立得：2285803x cx c -+=，设直线与椭圆C 的两交点为()()1122,,,x y x y ，
则由1285c x x +=，212815c x x =85=，解得：c =22443a c ==，22113b c ==，所以椭圆方程为：2
214
x y +=，不妨设点M 位于第一象限，坐标为(),m n ，则2244m n +=，矩形MNPQ 面
积为2222444m n mn m n ⋅=≤+=，当且仅当2m n =，即m n =MNPQ 面积最大值为4
9.(2021－2022学年北京市清华大学附属中学高二下学期统练)已知椭圆G ：()222210x y a b a b +=>>的左，右顶点分别为
A ，
B ，AB =，点P 是椭圆G 上一动点(不与点A ，B 不重合)，PAB △的面积的最大值为
B 作BP 的垂线l ，交直线x =于点Q ．
(1)求椭圆G 的方程；
(2)求证：A ，P ，Q 三点在同一条直线上．
【解析】(1)依题意2a =a
设()00,P x y ，()00y ≠，则0012
PAB S y AB ==≤△0y ≤
又因为0b y b -≤≤且00y ≠
，所以b =，所以椭圆方程为22
162
x y +=；(2)由(1)
可得)B
，()
A 设()00,P x y ，()00y ≠
，则BP k =
00l x k y =-所以:
l (00x y x y =-
，令x =
006y y -=-
，即006Q y ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
所以AP k =
003AQ x k y ==-，由2200162
x y +=，即220036y x =-
，所以
((000000022000
633AP AQ y x y x y x x k k x y y ======---，所以A ，P ，Q 三点在同一条直线上
10．(2022学年黑龙江省大庆外国语学校高二上学期期末)已知定点()1,0M -，圆N ：()22116x y -+=，点Q 为圆N 上动点，线段MQ 的垂直平分线交NQ 于点P ，记P 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程；
(2)过点M 与N 作平行直线1l 和2l ，分别交曲线C 于点A ，B 和点D ，E ，求四边形ABDE 面积的最大值．
【解析】(1)由题意可得42MP NP PQ NP MN +=+=>=，
所以动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C 的方程为：22
143
x y +=；(2)由题意可设2l 的方程为1x ty =+，
联立方程得()
22
22134690431x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设()11,D x y ，()22,E x y ，则由根与系数关系有122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-
⎪+⎩
，所以DE =
()2
212134
t t +==+，根据椭圆的对称性可得()
2
212134t DE AB t +==+，1l 与2l 的距离即为点M 到直线2l 的距离，为d =
所以四边形ABDE 面积为22434S t =+()1u u =≥得224241313u S u u u
==++，由对勾函数性质可知：当且仅当1u =，即0=t 时，四边形ABDE 面积取得最大值为6．。